1.3.2. Нечеткое отношение

Наряду с нечеткими отображениями существуют нечеткие отношения , когда четко заданы элементы множества X, а значение функции принадлежности _r’(x_i, x_j)/(x_i, x_j) каждой пары элементов (x_i, x_j)XX или степень принадлежности формирует нечеткое отношение: r’={_r’1(x_i, x_j)/(x_i, x_j)| x_i,x_jX}.

Нечеткие отношения удобно описывать с помощью матриц, строки которых есть прообразы нечеткого отношения, а столбцы – образы. Тогда в клетках таблицы (x_i, x_j) будут указаны _h’(x_i, x_j).

Если дано n-арное отношение r’(x₁, x₂, ,x_n): X^n-1X, то значение функции принадлежности должно быть найдено для каждого набора (x_1i, x_2i, ,x_ni), т.е.

r’={_r’ (x₁, x₂, ,x_n)/(x₁, x₂, ,x_n)| x₁, x₂,..x_nX}.

Пример: пусть в результате стихийного бедствия нарушились транспортные связи между населенными пунктами a, b, c, d, e. Эксперты установили степень принадлежности нечеткому отношению смежности между населенными пунктами, как показано на рис.1.3 и в таблице 1.9.

Для нечетких отношений также могут быть определены свойства нечетких рефлексивности, симметричности и транзитивности, которые позволят формировать классы нечетких отношений. Подробнее о вычислении нечетких классов см. 1.7.

таблица 1.9.
	r	a	b	c	d	e
	a	0	0,8	0	0,4	0
	b	0,8	0	0,3	0,7	0,8
	c	0	0,3	0	0	0,5
	d	0,4	0,7	0	0	0
	e	0	0,8	0,5	0	0

1.4. Элементы общей алгебры

Одной из важных характеристик упорядоченного множества является наличие граней. Если среди элементов множества X задан частичный порядок (x_i, x_j), то найдется такой элемент x_, для которого выполняется условие (x_i, x_) для любого x_iX и найдется такой элемент x_, для которого выполняется условие (x_, x_i) для любого x_iX.

Наименьший элемент из нескольких x_ формирует верхнюю грань упорядоченного множества:

min{x_}=SupX_i, где X_i={x_i, x_j}.

Наибольший элемент из нескольких x_ формирует нижнюю грань упорядоченного множества:

max{x_}=Inf X_i, где X_i={x_i, x_j}.

Для строго упорядоченных множеств x_X_i и x_X_i, а для частично упорядоченных x_=max{x_iX_i} и x_=minx_iX_i}.

Поиск граней есть операции над множествами.

Поэтому множество и операций над его элементами формируют общую алгебру, т.е.

A=<X; F>,

где X={x₁, x₂,..x_m} - носитель алгебры,

={f₁, f₂,..f_k} - cигнатура алгебры, содержащая унарные и бинарные операции.

Унарные операции имеют один операнд x_iX, а бинарные операции - два x_i, x_jX.

Результаты исполнения операций принадлежат тому же множеству X.

Для общей алгебры справедливы аксиомы:

• коммутативности: x_if_kx_j = x_jf_kx_i; операнды одной операции f_k можно менять местами,

• ассоциативности: x_if_k(x_jf_kx_k) = (x_jf_kx_j)f_kx_k; при исполнении одной бинарной операции f_k над несколькими операндами скобки можно не расставлять, а операции исполнять в любом порядке,

• дистрибутивности: x_if_k(x_jf_mx_k) = (x_if_kx_j)f_m(x_if_kx_k); при исполнении двух бинарных операций f_k и f_m над различными операндами первая операция f_k исполняется с каждым операндом второй операции f_m, а вторая операция f_m с результатами исполнения первой операции f_k,

• идемпотентности: x_if_kx_i = x_i; результатом исполнения бинарной операции f_k над одним и тем же операндом x_i будет значение операнда,

• поглощения: x_if_k(x_if_mx_j)=x_i; результатом исполнения двух различных бинарных операций f_k и f_m, но содержащих общий операнд x_i, будет значение операнда x_i .