1.5.6. Свойства булевых функций
Часто возникает вопрос: всякая ли булева функция представима суперпозицией формул f0, f1,..f15? Для того, чтобы определить возможность формирования любой булевой функции с помощью суперпозиции этих формул, необходимо определить их свойства и условия использования функционально полной системы.
1.5.6.1. Самодвойственные булевы функции
Функция f(x1; x2;…xn) называется самодвойственной, если f(x1;x2;…xn)=`f(`x1;`x2;…`xn).
Например, функции f3(x1;x2)=x1, f5(x1;x2)=x2, f10(x1;x2)=`x2 и f12(x1;x2)=`x1 являются самодвойственными, т. к. при изменении значения аргумента они изменяют свое значение.
Любая функция, полученная с помощью операций суперпозиции из самодвойственных булевых функций, сама является самодвойственной. Поэтому множество самодвойственных булевых функций не позволяет формировать не самодвойственные функции.
1.5.6.2. Монотонные булевы функции
Функция f(x1; x2;…xn) называется монотонной, если для каждого s1i£s2i булевых векторов (s11; s12;……;s1n) и (s21;s22;……;s2n) выполняется условие: f(s11;s12;…;s1i;…;s1n)£f(s21;s22;…;s2i;…;s2n).
Например, для функций f(x1; x2) монотонными функциями являются:
если (0; 0)£(0; 1), то f(0; 0)£f(0; 1),
если (0; 0)£(1; 0), то f(0; 0)£f(1; 0),
если (0; 1)£(1; 1), то f(0; 1)£f(1; 1),
если (1; 0)£(1; 1), то f(1; 0)£f(1; 1).
Таким условиям удовлетворяют следующие функции:
f0(x1; x2)=0; f1(x1; x2)=(x1×x2); f3(x1; x2)=x1; f5(x1; x2)=x2; f7(x1;x2)=(x1Úx2); f15(x1; x2)=1.
Любая функция, полученная с помощью операции суперпозиции из монотонных булевых функций, сама является монотонной. Поэтому множество монотонных функций не позволяет формировать не монотонные функции.
1.5.6.3. Линейные булевы функции
Алгебра Жегалкина, опирающаяся на базис F4={×; Å; 1}, позволяет любую логическую функцию представить полиномом, каждый член которого есть конъюнкция I булевых переменных булевого вектора в пределах 0in:
P(x1; x2;…xn)=b0×1 Å bi×xi Å1£j¹k£n bj×xj×xk Å……Å b2n-1×x1×x2×...×xn.
Например, для логических функций f8(x1; x2)
полином Жегалкина имеет вид: P(x1; x2)=1Å x1Å x2Å x1×x2.
Преимущества алгебры Жегалкина состоят в “арифметизации” логических формул, а недостатки - в сложности, особенно при большом числе двоичных переменных.
Полиномы Жегалкина, не содержащие конъюнкции двоичных переменных, т.е. P(x1; x2;…;xn)=b0×1Åb1×x1Å…Åbn×xn называют линейными.
Например, f9(x1; x2)=1Åx1Åx2, или f12(x1;x2)=1Åx1.
Основные свойства операции сложения по модулю 2 приведены в таблице 1.18.
Если логическая функция задана таблицей или формулой в любом базисе, т.е. известны значения булевой функции для различных наборов булевых переменных, то можно вычислить все
коэффициенты bi полинома Жегалкина, составив систему уравнений по всем известным наборам двоичных переменных.
-
таблица 1.18
Наименование закона
Эквивалентные формулы
коммутативности
x1 Å x2=x2 Å x1
ассоциативности
x1Å (x2 Å x3)=(x1Å x2) Å x3;
дистрибутивности
x1×(x2 Å x3)=x1×x2 Å x1×x3;
свойство “1”
xÅ 1=`x;
свойство “0”
xÅ 0=x;
сложение по модулю 2
xÅ x=0; xx=1.
Пример: дана булева функция f(x1;x2)=x1Úx2 . Значение этой функции известны для всех наборов булевых переменных.
f(0;0)=0=b0×1Å
b1×0
Å
b2×0
Å
b3×0×0;
f(0;1)=1=b0×1Å b1×0 Å b2×1Å b3×0×1;
f(1;0)=1=b0×1Å b1×1Å b2×0Å b3×1×0;
f(1;1)=1=b0×1Å b1×1Å b2×1Å b3×1×1;
Откуда находим b0=0; b1=1; b2=1; b3=1.
Следовательно, (x1Úx2)=x1Åx2Åx1×x2, т. е. дизъюнкция есть нелинейная булева функция.
Пример: дана булева функция f(x1;x2)=(x1®x2). Значение этой функции также известны для всех наборов двоичных переменных.
f(0;0)=1=b0×1Å b1×0 Å b2×0 Å b3×0×0;
f(0;1)=1=b0×1Å b1×0 Å b2×1Å b3×0×1;
f(1;0)=0=b0×1Åb1×1Åb2×0Åb3×1×0;
f(1;1)=1=b0×1Åb1×1Åb2×1Åb3×1×1;
Откуда находим b0=1; b1=1; b2=0; b3=1.
Следовательно, (x1®x2)=1Å x2 Å x1×x2.
В таблице 1.19 приведены полиномы Жегалкина для основных представителей булевых функций из таблицы 1.15.
-
таблица 1.19
fi
эквивалентные формулы
f7
(x1Úx2)=x1Å x2Å x1×x2;
f8
(x1¯x2)=ù(x1Úx2)=1Å x1Å x2Å x1×x2;
f9
(x1«x2)=(`x1×`x2Úx1×x2)=1Å x1Å x2;
f12
`x1=1Å x1;
f13
(x1¯x2)=(`x1Úx2)=1Å x1Å x2Å x1×x2;
f14
(x1½x2)=ù(x1×x2)=1Å x1×x2.
Если дано аналитическое выражение логической функции и неизвестны ее значения для различных наборов двоичных переменных, то можно построить полином Жегалкина, опираясь на конъюнктивный базис алгебры Буля F2={` ; ×}:
Пусть f(x1; x2)=(x1Úx2).
Тогда (x1Úx2)=ù(`x1×`x2)=((x1Å 1)×(x2Å 1))Å 1=x1×x2Å x1×1Å x2×1Å 1×1Å1=
(x1Åx2Åx1×x2).
Пусть f(x1;x2)=(x1 ®x2).
Тогда (x1 ®x2)=(`x1Úx2)=ù(x1×`x2)=x1×(x2Å 1)Å 1=x1×x2Å x1×1Å 1= =(1Åx1Åx1×x2).
Пусть f(x1;x2)=(x1 «x2).
Тогда (x1«x2)=(`x1×`x2Úx1×x2)=ù(ù(`x1×`x2)×ù(x1×x2))=(((x1Å1)×(x2Å1))Å1) ×(x1×x2Å)Å1=(x1×x2Åx1Åx2Å1Å1)×(x1×x2Å1)Å1=x1×x2Åx1×x2Åx1×x2Åx1Å
x1×x2Åx2Å1=(1Åx1Åx2).
Любая функция, полученная с помощью операции суперпозиции из линейных логических функций, сама является линейной. Поэтому множество линейных функций не позволяет формировать нелинейные функции.