3.2. Описание графа

Граф может быть задан списком или матричными структурами.

Списки. При описании графа списками используют модели G=<X; r> и G=<X; h>.

Первая форма - список отношений - применяется в тех случаях, когда необходимо хранить информацию о весе ребра (протяжённость, загрузка, пропускная способность линии связи и т.п.) и поиска инцидентных вершин.

В таблице 3.1 приведены характеристики графа, описанного рис.3.11а) по модели G=<X; r>.

Таблица 3.1.
ri	r1	r2	r3	r4	r5	r6	r7
(xi, xj)	(x1,x2)	(x5,x6)	(x2,x5)	(x2,x3)	(x1,x4)	(x3,x4)	(x3,x6)
l(ri)	2	4	5	8	4	8	5

Вторая форма - список смежности - применяется в тех случаях, когда необходимо хранить информацию о весе вершины (время исполнения оператора, надёжность контактной площадки или загруженность узла и т.п.) и поиска смежных вершин.

В таблице 3.2.приведены характеристики графа, описанного рис.3.11b) по модели G=<X; h>.

Таблица 3.2
xi	x1	x2	x3	x4	x5	x6
h(xi)	x2, x3, x4	x1, x3, x5	x1, x4, x6	x1, x3	x2, x6	x3, x5
p(xi)	0,9	0,8	0,8	0,6	0,8	0,9

При описании графа матрицами используют, прежде всего, матрицы инциденции и матрицы смежности

Матрица инциденции. Поскольку инциденция есть отношение принадлежности элемента одного множества другому, то для графа G=<X, r> матрица инциденции ||q|| фиксирует эту принадлежность элемента множества r элементу множества X на множестве {0, 1}. Строки матрицы есть элементы множества r, а столбцы – элементы множества X. Элементы матрицы инциденции неориентированного графа определяются по формуле:

1, если r_i=(x_i, x_j) инцидентно x_j,

q(i. j) =

0, в противном случае.

В каждой строке матрицы количество единиц равно двум, а в каждом столбце - степени вершины - _i .

В таблице 3.3. приведена матрица инциденции для неориентированного графа, представленного на рис. 3.2.

Особый интерес представляют петли на графе. Например, у вершины x₄ есть петля, концевые вершины которой принадлежат x₄. При задании графа с петлями рекомендуется расщеплять матрицу на две: матрицу-истоков и матрицу-стоков, т. е рассматривать две матрицы ориентированного графа.

Таблица 3.3.
q	x0	x1	x2	x3	x4	x5
r01	1	1	0	0	0	0
r04	1	0	0	0	1	0
r13	0	1	0	1	0	0
r14	0	1	0	0	1	0
r15	0	1	0	0	0	1
r35	0	0	0	1	0	1
r44	0	0	0	0	1	0
r45	0	0	0	0	1	1
	2	4	0	2	6	3

Элементы матрицы инциденции для ориентированного графа определяют по другой формуле:

+1, если r_i,j исходит из вершины x_i;

q(i. j)= 0, если r_i,j не инцидентна вершинам x_i и x_j;

-1, если дуга r_i,j заходит в вершину x_j.

В таблице 3.4 приведена матрица инциденции для ориентированного графа, представленного на рис. 3.2.

Таблица 3.4.
q	x0	x1	x2	x3	x4	x5
r01	+1	-1	0	0	0	0
r04	+1	0	0	0	-1	0
r13	0	+1	0	-1	0	0
r14	0	+1	0	0	-1	0
r15	0	+1	0	0	0	-1
r35	0	0	0	+1	0	-1
r44	0	0	0	0	1	0
r45	0	0	0	0	+1	-1
^+	2	3	0	1	1	0
^-	0	1	0	1	2	3

В каждой строке сумма “+1” и “-1” равна нулю, т. к. “+1” представляет вершину – исток, а “-1” вершину – сток.

При задании ориентированного графа с петлями рекомендуется расщеплять вершину с петлей на две вершины: вершину-исток и вершину-сток,

В каждом столбце матрицы число “+1” равно полустепени исхода вершины x_i, т.е. _i ⁺, а число “-1” равно полустепени захода вершины x_i , т.е. _i ^-.

Матрица смежности. Поскольку смежность есть отношение между элементами одного множества, то матрица смежности ||r_i,j|| есть квадратная матрица, число строк и столбцов которой равно мощности множества |X|=n.

Элементы матрицы смежности определяются соотношением

1, если x_i смежна x_j;

r(i, j) =

0, в противном случае.

В таблице 3.5 представлена матрица смежности для неориентированного графа (см. рис. 3.2а).

Петля у вершины x₄ формирует “1” на диагонали матрицы (x_i, x_j). В таблице можно выделить дополнительную строку или столбец для хранения информации о степени каждой вершины графа.

.

Таблица 3.5
r	x0	x1	x2	x3	x4	x5	i
x0	0	1	0	0	1	0	2
x1	1	0	0	1	1	1	4
x2	0	0	0	0	0	0	0
x3	0	1	0	0	0	1	2
x4	1	1	0	0	1	1	4
x5	0	1	0	1	1	0	3
i	2	4	0	2	4	3

В таблице 3.6 представлена матрица смежности для ориентированного графа (см. рис. 3.2b), но при условии, что строки заданы вершинами-истоками, а столбцы - вершинами-стоками.

.

Таблица 3.6
r	x0	x1	x2	x3	x4	x5	i^+
x0	0	1	0	0	1	0	3
x1	0	0	0	1	1	1	3
x2	0	0	0	0	0	0	0
x3	0	0	0	0	0	1	1
x4	0	0	0	0	1	1	2
x5	0	0	0	0	0	0	0
i^-	0	1	0	0	2	3

Поэтому итоговый столбец таблицы - _i⁺ показывает полустепени вершин-истоков, а итоговая строка - _I^- - полустепени вершин-стоков.

По матрицам смежности можно сделать следующие выводы:

• каждый ненулевой элемент главной диагонали соответствует петле на графе;

• матрица смежности для неориентированного графа симметрична относительно главной диагонали;

• матрица смежности для ориентированного графа несимметрична относительно главной диагонали;

• столбец ориентированного графа, все элементы которого имеют значение “0”, соответствует вершине-истоку всего графа (см. таблицу 3.6);

• строка ориентированного графа, все элементы которой имеют значение “0”, соответствует вершине-стоку всего графа (см. таблицу 3.6).

Матрица весов. Матрица весов вершинно-взвешенного графа есть матрица-столбец, число строк которой равно числу вершин n, а позициями – значение веса вершины:

.

Матрица весов реберно-взвешенного графа есть квадратная матрица, число строк и столбцов которой равно числу вершин графа. Позиции матрицы весов (x_i, x_j) при ij определяются соотношением:

0, если i=j;

L(i, j) = l_i,j, если вершина x_i смежна вершине x_j и вес ребра l_i,j;

, если вершина xi несмежна вершине xj.

В таблице 3.7 дана матрица весов для графа на рис. 3.11а).

Таблица 3.7
	L	x1	x2	x3	x4	x5	x6
	x1	0	2		4		
	x2	2	0	8		5	
	x3		8	0	8		5
	x4	4		8	0		
	x5		5			0	4
	x6			5		4	0

Матрица достижимости. Поскольку h(x_i) есть множество вершин, которые смежны вершине x_i, или “окрестность” вершины x_i, или достижимы из x_i за “один шаг”, то отображение h(h(x_i))=h²(x_i) есть вершины графа, достижимые из x_i за “два шага” через вершины, сформированные на “первом шаге”. Отображение h(h(h(x_i)))=h³(x_i) есть вершины, достижимые из вершины x_i за ”три шага” через вершины, сформированные на втором шаге. Так как любая вершина связного графа должна быть достижима за pn “шагов”, то множество вершин достижимых из вершины x_i за это число “шагов” может быть представлено в виде:

q^p(x_i )=Ih(x_i) h²(x_i) ..h^p(x_i),

где I –диагональ матрицы.

Для построения матрицы достижимости удобно использовать матрицу смежности, т.е.

||q^p||=I||r||||r²||||r³||..||r^p|||.

Для возведения в степень матрицы смежности используют правило умножения булевых матриц:

r_i,j²=_k=1ⁿ (r_i,k r_k,j),

r_i,j³=_k=1ⁿ (r_i,k  r_k,j²) и так далее.

Пример: в таблице r дана матрица смежности неориентированного графа. Определить достижимость каждой вершины графа.

Окрестностью вершины x₁ является {x₂, x₄}, x₂ – {x₁, x₃}, x₃ – {x₂, x₄}, x₄ – {x₁, x₃}.

r	x1	x2	x3	x4		q	x1	x2	x3	x4
x1	0	1	0	1		x1	1	1	0	1
x2	1	0	1	0		x2	1	1	1	0
x3	0	1	0	1		x3	0	1	1	1
x4	1	0	1	0		x4	1	0	1	1
r^2	x1	x2	x3	x4		q^2	x1	x2	x3	x4
1	1	0	1	0		x1	1	1	1	1
x2	0	1	0	1		x2	1	1	1	1
x3	1	0	1	0		x3	1	1	1	1
x4	0	1	0	1		x4	1	1	1	1

Ответ: любая вершина графа достижима не более, чем за “два шага”.

Пример: дана матрица смежности ориентированного графа. Определить достижимость каждой вершины графа.

r	x1	x2	x3	x4		q	x1	x2	x3	x4
x1	0	1	0	1		x1	1	1	0	1
x2	0	0	1	0		x2	0	1	1	0
x3	0	0	0	1		x3	0	0	1	1
x4	1	0	0	0		x4	1	0	0	1

r^2	x1	x2	x3	x4		q^2	x1	x2	x3	x4
1	1	0	1	0		x1	1	1	1	1
x2	0	0	0	1		x2	0	1	1	1
x3	1	0	0	0		x3	1	0	1	1
x4	0	1	0	1		x4	1	1	0	1

r^3	x1	x2	x3	x4		q^3	x1	x2	x3	x4
x1	0	1	0	1		x1	1	1	1	1
x2	1	0	0	0		x2	1	1	1	1
x3	0	1	0	1		x3	1	1	1	1
x4	1	0	1	0		x4	1	1	1	1

Ответ: любая вершина графа достижима не более, чем за “три шага”.

Матрица разрезов. Если можно построить множество разрезов в виде совместимых кортежей, то можно оформить матрицу разрезов b, строками которой являются индексированные разрезы b_i, а столбцами – ребра графа r_j, одни из концевых вершин которых принадлежат множеству X’, а другие - множеству (X\X’),. Элементы матрицы разрезов вычисляют по формуле:

1, если j-е ребро участвует в i-м разрезе,

b(i, j)=

0, в противном случае.

Например, если x1X’, а x4X\X’ (см. рис. 3.6), то можно оформить не менее 18 разрезов, разъединяющих эти вершины. Ниже в таблице 3.8 приведена матрица только для пяти разрезов.

Таблица 3.8
b	r1	r2	r3	r4	r5	r6	r7	r8	r9	r10	r11
b1	1	0	0	0	0	0	0	1	0	1	0
b2	1	0	0	0	0	0	1	0	1	1	0
b3	1	0	0	0	0	1	0	0	0	0	1
b4	0	1	0	0	0	0	1	0	0	0	1
b5	0	0	1	1	0	0	0	1	1	0	1

Матрица циклов. Если в графе существует несколько циклов, т их описание удобно сосредоточить в матрице циклов с, каждая строка которой есть индексированный цикл ci, а каждый столбец – ребро, включаемое в цикл.

Элементы матрицы циклов вычисляют по формуле:

1, если j-е ребро участвует в i-м разрезе,

c(i, j)=

0, в противном случае.

Для графа, приведенного на рис. 3.10а) можно оформить не менее 18 циклов. Ниже в таблице 3.9 приведена матрица только для шести циклов этого графа.

Таблица 3.9

с	r1	r2	r3	r4	r5	r6	r7	r8	r9
c1	1	1	0	0	0	1	0	0	0
c2	0	1	1	1	0	0	0	0	0
c3	0	0	1	0	0	0	0	1	1
c4	1	0	1	0	0	0	1	1	0
c5	1	0	0	1	0	1	0	1	1
с6	0	0	0	1	0	1	1	1	0