1.6.5. Поиск неизвестного множества

Если одно из множеств тождества A=B содержит подмножество X, т. е. A(X) и/или B(X), то для нахождения X следует воспользоваться условием: если A=B, то (AB)=(АВ)(ВА)=, и выделить алгебраические выражения известных подмножеств, элементы которых принадлежат также множествам X и X. Для того, чтобы (АВ)(ВА)= необходимо и достаточно приравнять пустому множеству алгебраические выражения известных подмножеств, элементы которых принадлежат также множествам X и X.

Если алгебраическое выражение известных подмножеств, элементы которого принадлежат также множеству X обозначить (...)₁, т. е. ((...)₁Х)=, то X(...)₁.

Если алгебраическое выражение известных подмножеств, элементы которого принадлежат также множеству X обозначить (...)₂, т. е. ((...)₂X)=, то (...)₂X.

Алгоритм поиска:

шаг 1: если A=B, то записать выражение (АВ)(ВА)=;

шаг 2: в (АВ)(ВА) найти алгебраические выражения известных подмножеств (...)₁ и (...)₂, элементы которых принадлежат также множеству X, т. е. ((...)₁Х), или его дополнению X, т. е. ((...)₂Х);

шаг 3: если в (АВ)(ВА) окажется алгебраическое выражение – (...)₃, свободное от X или X, то найти его пересечение с универсальным множеством, т.е. (...)₃(XX), и преобразовать по закону дистрибутивности в выражение ((...)₃X)((...)₃X);

шаг 4: если (АВ)(ВА)=, то

((...)₁(...)₃)Х=,

((...)₂(...)₃)Х= ;

шаг 5: если ((...)₁(...)₃)Х=, то X((...)₁(...)₃) и

если ((...)₂(...)₃)Х=, то ((...)₂(...)₃)X.

Следовательно, ((...)₂(...)₃)X((...)₁(...)₃).

Дополнительными условиями можно уточнить значение X.

Пример: найти множество X по условиям (ХМ)=N и M и N –известные множества.

• ((XM)N)(N(XM))=;

• ((XM)N)(NXM)=;

• (XN)(MN)(NXM)=;

• (XN)(MN)(XX)(NXM)=;

• XN)(X(MN))X(MN)(X(NM))=;

• (X(N(MN))X(MNNM)=;

• (XN)(X(MN)=;

Откуда XN = и X(MN) =;

Следовательно, (MN)XN.

Е сли (ХМ)=N, то (ХМ)N и N(XM), т. е. М(N)=.

Тогда (МN)=(N\M) и (N\M)XN.

Следовательно, X=(N\M).

Пример: найти множество X по условию:

A \X=B,

AX=C при условии A, B, С – известные множества и BAC.

• AX=B,

AX=C;

• (AX)B(AX)B=,

(AX)C(AX)C=;

• (ABX(AX)B=,

ACCXACX=;

• (AX)B(AX)B=,

(AX)C(AX)C=;

• ABXAB(XX)BX=,

ACXACXCXACX=;

• ABXABXABXBX=,

ACXACXCXACX=;

• ABXBX ABXABX =,

ACX CXACXACX=;

• (ABB)X (ABAB)X =,

(ACC)X(ACAC)X=;

• BX (AB)X =,

CX(AC)X=;

• если BAC, то (AB)=(A\B) и (AC)=(A\C).

Следовательно,

BX (A\B)X =,

CX(A\C)X=.

(A\B)XB;

(С\A)XC.

По условию BAC.

Тогда X = (C \ B).