4.1.2.2. Аксиомы и правила введения и удаления логических связок

Как уже отмечалось, множество формул поля интерпретации может быть очень большим. Среди формул этого поля можно выделить подмножество тождественно истинных формул. На этом подмножестве можно строить различные системы аксиом, достаточные для вывода новых формул.

Известна система из трех аксиом, использующая две логических связки “” и “” или система из пяти аксиом, использующая логические связки “” и “”.

Однако наибольшей популярностью пользуется счистема из двенадцити аксиом, использующая логические связки “”, ””, “” и ””. Эта система позволяет наиболее удобно и за меньшее число шагов организовать вывод заключения.

А1. F₁(F₂F₁);

А2. (F₁ F₂) ((F₂ F₃)) (F₁ F₃));

А3. (F₁ F₂)F₁;

А4. (F₁ F₂)F₂;

А5. F₁(F₂(F₁F₂));

А6. F₁(F₁F₂);

А7. F₂(F₁F₂);

А8. (F₁F₃)((F₂F₃)((F₁F₂)F₃));

А9. (F₁F₂)(( F₁ F₂) F₁);

A10. (F₁F₂)((F₁F₃)(F₂F₃));

A11. (F₁ F₂)((F₁F₃)(F₂F₃));

А12.  F₁  F₁.

Для проверки истинности аксиом достаточно рассмотреть таблицы истинности для A2 и A8.

А2. (F₁ F₂)(( F₁( F₂ F₃))( F₁ F₃)).

F1	F2	F3	12	13	23	16	75	48
1	2	3	4	5	6	7	8	9
л	л	л	и	и	и	и	и	и
л	л	и	и	и	и	и	и	и
л	и	л	и	и	л	и	и	и
л	и	и	и	и	и	и	и	и
и	л	л	л	л	и	и	л	и
и	л	и	л	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	л	л	и	и
и	и	и	и	и	и	и	и	и

А8. (F₁ F₃)(( F₂  F₃)(( F₁  F₂) F₃))

F1	F2	F3	1 2	13	23	43	67	58
1	2	3	4	5	6	7	8	9
л	л	л	л	и	и	и	и	и
л	л	и	л	и	и	и	и	и
л	и	л	и	и	л	л	и	и
л	и	и	и	и	и	и	и	и
и	л	л	и	л	и	л	л	и
и	л	и	и	и	и	и	и	и
и	и	л	и	л	л	л	и	и
и	и	и	и	и	и	и	и	и

Для понимания правил формирования аксиом следует рассмотреть правила введения и удаления логических связок. Это облегчит формирование промежуточных результатов и заключения.

П1. Если F₁ и F₂ имеют значение “и”, то истинной является их конъюнкция, т.е.

F ₁ ; F₂ (F₁&F₂).

Эта запись тождественна аксиоме А5.

П 2. Если (F₁&F₂) имеет значение “и”, то истинными являются формулы F₁ и F₂, т.е.

(F₁&F₂) (F₁&F₂)

F₁ и F₂.

Эта запись тождественна аксиомам А3 и А4.

П 3. Если истинна хотя бы одна посылка F₁ или F₂, то истинной является их дизъюнкция, т.е.

F₁ F₂

(F₁F₂) или (F₁F₂).

Эта запись тождественна аксиомам А6 и А7.

П 4. Если F₂ имеет значение “и”, то истинной является ( F₁F₂) при любом значении F₁, т.е.

F₂

(F₁F₂).

Эта запись тождественна аксиоме А1.

П5. Если формула (F₁F₂) имеет значение “и”, то истинной является формула (F₂F₁), т.е.

(F₁F₂)

(F₂F₁).

Эта запись тождественна аксиоме А9 и называется законом контрапозиции.

П6. Если формула (F₁F₂) имеет значение “и”, то истинной является формула ((F₁F₃)(F₂F₃) при любом значении F₃, т.е (F₁F₂) ((F₁F₃)(F₂F₃)).

Эта запись тождественна аксиоме А11.

П7. Если формула (F₁F₂) имеет значение “и”, то истинной является формула ((F₁&F₃)(F₂&F₃)) при любом значении F₃, т. е.

(F₁F₂)

((F₁&F₃)(F₂&F₃)).

Эта запись тождественна аксиоме А10.

П 8. Если формулы (F₁F₂) и (F₂F₃) имеют значение “и”, то истинной является формула (F₁F₃), т.е

(F₁F₂); (F₂F₃)

(F₁F₃).

Эта запись тождественна аксиоме А2 и называется законом силлогизм;

П 9. Если формулы (F₁F₂) и (F₂F₁) имеют значение “и”, то истинной является формула (F₁F₂), т.е.

(F₁F₂); (F₂F₁)

(F₁F₂).

П 10. Если формула (F₁F₂) имеет значение “и”, то истинными являются формулы (F₁F₂) и (F₂F₁), т.е.

(F₁F₂) (F₁F₂)

(F₁F₂) и (F₂F₁).