5.1. Рекурсивные функции

Рекурсия есть способ вычисления значения функции по известным значениям аргументов и известным значениям функции в некоторых предшествующих точках.

Если речь идет о числовых функциях, области определения и значения которых заданы на множестве целых положительных чисел, это описание рекурсии задает способ ее вычисления для заданного набора числовых значений аргументов и числового значения этой функции в некоторой исходной точке.

Числовые функции, для которых существует алгоритм вычисления их значений, называют рекурсивными функциями.

Если числовая функция определена не для всех значений аргументов, ее называют частично рекурсивной функцией.

Если для всех значений - то общерекурсивной функцией.

Любое вещественное число может быть синтаксически представлено цепочкой <целое> " . " <целое>, для которой существует только одна синтаксическая переменная — <целое>.

Следовательно, любую функцию можно свести к рекурсивной, если значения аргументов и значения функции рассматривать как значения, принадлежащие синтаксической переменной <целое>.

Для формирования механизма рекурсивных функций заданы наборы элементарных объектов - три базовые функции: константы, тождества и следования и наборы элементарных шагов – три элементарные операции: суперпозиции, рекурсии и минимизации.

5.1.1. Базовые функции

Функция константа. Если f={(x₁, x₂, ... x_n, у)| x_iX; yY} =C_n, то любым значениям аргументов функции ставится в соответствие ее значение, равное постоянной величине — С_n. Чаще всего C_n=0.

Например,

если f ={(x₁, x₂, x₃, у)} = C₃, то для x₁ = 5, x₂ = 4, x₃=7 и C₃=0 имеем у = 0.

Функция тождества или выбора аргумента. Если f = {(x₁, x₂, ... x_n, у) | x_iX; yY} =J _n;m, то любым значениям переменных аргумента функции ставится в соответствие ее значение, равное значению m-го независимого аргумента, где 1 m  n - номер независимого аргумента.

Например,

если f ={(x₁, x₂, x₃, у)} = J_3,2 , то для x₁ = 5, x₂ = 4, x₃ = 7 имеем у = 4;

если f={(x₁, x_2,, x₃, у)} = J_3,3, то для x₁ = 5, x₂ = 4, x₃ = 7 имеем у = 7.

Функция следования. Если f ={(x, у)} = (x), то любому значению независимой аргумента ставится в соответствие значение функции, равное числу, непосредственно следующим за числом, являющимся значением независимой аргумента.

Например,

если f = {(x, у)} = (x), то для x = 5 имеем у = (х+1) = (5+1) = 6;

если f = {(x, у)} = (x), то для x = 7 имеем у = (х+1) = (7+1) = 8.

5.1.2. Элементарные операции

Простейшие операции, с помощью которых из базовых функций могут быть получены рекурсивные функции, называют элементарными.

Операция суперпозиции. Если даны функция h от m независимых переменных аргумента, т.е. h = (z₁, z_2,...z_m,, у), и m функций q_i от n независимых переменных аргумента, т.е. q_i = {(x_1i, x_2i,...x_ni, z_ij)}, то в результате подстановки функций q₁, q₂ ... q_m вместо аргументов функции h может быть получена новая функция f = (x₁, x₂,...x_n, у) от n независимых переменных аргумента, т.е.

h = (z_i, z₂,...z_m, y);

q₁ = (x₁, x₂,...x_n, z₁);

q₂ = (x₁, x₂,...x_n, z₂);

...........................

q_m=(x₁, x₂,...x_n, z_m)...

h = (q₁, q₂,...q_m, y) = f = (x₁, x₂,...x_n, y).

Значения функций q₁, q₂,...q_n, найденные для заданных значений независимых переменных x₁, x₂,...x_n, принять за значения независимых переменных аргумента функции h и вычислить ее значение, которое принять за значение функции f = (x₁; x₂; ... x_n; y).

Например,

если h = (z, y) = (z) и q = (х, z) = (х), то f = (q, у) = () = ²(х).

Следовательно, для x = 5 имеем z = 5+1 = 6 и у = 6+1= 7.

Оператор суперпозиции записывают так:

f =(x₁, x₂,...x_n, y) = S_mⁿ(h^(m), q₁⁽ⁿ⁾, q₂⁽ⁿ⁾,...q_m⁽ⁿ⁾),

где h^(m) = ( z₁, z₂,...z_m, y) и q₁⁽ⁿ⁾ = (x_1i ⁽ⁿ⁾, x_2i ⁽ⁿ⁾,...x_ni ⁽ⁿ⁾, z_i).

Если заданы функции тождества (I_n,m) и оператор суперпозиции (S_mⁿ), то заданными являются любые операторы подстановки, перестановки и переименования любых функций.

Операция рекурсии. Если даны n-местная рекурсивная функция g и (n+2)-местная рекурсивная функция h, то можно найти (n+1)-местную рекурсивную функцию f, используя схему примитивной рекурсии:

f(x₁, x₂,...x_n, 0) = g(x₁, x₂,...x_n);

f(x₁, x₂,...x_n, у+1) = h(x₁, x₂,...x_n, у, f(x₁, x₂,...x_n, у)).

Схема примитивной рекурсии имеет главный дополнительный аргумент — у, который определяет значение функции, и вспомогательный аргумент — f (x₁, x₂,...x_n, у), который необходим для вычисления последующих значений главного дополнительного аргумента.

Оператор рекурсии записывают так:

f = (x₁, x₂,...x_n, у+1) = R (g⁽ⁿ⁾, h⁽ⁿ⁺²⁾),

где g_i⁽ⁿ⁾=g_i (x₁, x₂,...x_n) и h⁽ⁿ⁺²⁾=h(x₁, x₂,...x_n, у, f(x₁, x₂,...x_n, у)) .

При исполнении операции рекурсии x₁ = a₁, x₂ = a₂,...x_n = a_n.

Значением искомой функции f для нулевого значения главного дополнительного аргумента следует считать значение функции g, а значением функции f для каждого последующего значения главного аргумента (у+1) следует считать значения функции h при предыдущих значениях главного аргумента у и при значении вспомогательного аргумента, совпадающим с предыдущим значением искомой функции.

Функции, для вычисления значений которых использовали базовые функции и операторы суперпозиции и примитивной рекурсии, называют примитивно-рекурсивными функциями.

Для вычисления функции предшествования

y - 1 при у>1;

^-1(y)=(y 1)=

0 при у  1,

по схеме примитивной рекурсии использованы функции g(х)=C_i(х)=0 и h(x, у, f (x, у))=J_3,2=y, т. е.

f (x, 0)=g(x)=0;

f (x, у+1) = h(x, у, f(x, у))= у.

Так как функции g и h не содержат в качестве аргумента независимую переменную х, то имеем:

f(0)=0;

f(1)=0;

f(2)=1;

f(3)=2...

f (i) = (i - 1 ).

Если i = у, то f(у)=(у-1)=^-1(у).

Пусть у=6, тогда f(6)=6-1=5.

Таким образом, используя базовые функции константу и тождество, по схеме примитивной рекурсии может быть получено значение примитивно-рекурсивной функции предшествования:

^-1(у)= (у 1)= R(0, у)

Для вычисления функции сложения целых чисел f₊(x, y)=(x+y) по схеме примитивной рекурсии использованы базовые функции g(x)=J_1,1=x и h(x, у, f(x, у))=(J_3,3)=f(x, у)+1, т. е.

f(x, 0)=g(x)=x;

f(x, у+1)=h(x, у, f(x, у))= f(x, у)+1.

По схеме примитивной рекурсии имеем:

f(x, 0)=g(x)=x;

f(x, 1)=h(x, 0, f (x, 0))=x+1;

f(x, 2)=h(x, 1, f(x, 1))=x+2;

f(x, 3)=h(x, 2, f(x, 2))= x+3...

f(x, i)=h(x, (i-1), f(x, (i-1)))=x+i.

Если i=у, то f₊(x, у)=(x+у).

Пусть x=3, у=6, тогда f(3, 6)=3+6=9.

Таким образом, используя базовые функции тождества и следования, по схеме примитивной рекурсии может быть получено значение примитивно-рекурсивной функции сложения:

f₊(x, у)= (x+y)=R(x, (f(x, у)+1)).

Д ля вычисления функции усеченного вычитания

x - у при x>y;

f(x, y)=(x y)=

0 при x  y

по схеме примитивной рекурсии использованы g(x)=J_1,1=x и

^-1(J_3,3)=f(x, у) – 1, т. е.

f(x, 0)=g(x)=x;

f(x, 1)=h(x, 0, f(x, 0))=x-1;

f(x, 2)=h(x, 1, f(x, 1))=(x-1)-1=x-2;

f(x, 3)=h(x, 2, f(x, 2))= (x-2)-2=x-3...

f(x, i)=h(x, (i-1), f(x, (i-1)))=(x-(i-1))-1=x-1.

Если i=у, то f(x, у)=(x-у).

Пусть х=6, y=3, тогда f(6, 3)=6-3=3.

Таким образом, используя базовую функцию тождества и примитивно-рекурсивную функцию предшествования, может быть получено значение примитивно-рекурсивной функции усеченного вычитания:

(x у)= R(x, (^-1(f(x, у)))) = f_-(x, у).

Для вычисления функции умножения целых чисел по схеме примитивной рекурсии использованы базовая функция константа g(x)=С₁=0 и примитивно-рекурсивная функция сложения h(x, у, f(x, у))=f₊(I_3,1, I_3,3 )=x+f(x, у), т. е.

f(x, 0)=g(x)=0;

f(x, 1)=h(x, 0, f(x, 0))=x+0=x;

f(x, 2)=h(x, 1, f(x, 1))=(x+x)=2x;

f(x, 3)=h(x, 2, f(x, 2))=(x+2x)=3...

f(x, i)=h(x, (i-1), f(x, (i-1)))=(x+(i-1))-x=ix.

Если i=у, то f(x, у)=xу.

Пусть х=3, y=4, тогда f(3, 4)=3^. 4=12.

Таким образом, используя базовые функции константы, тождества и примитивно-рекурсивную функцию сложения, может быть получено значение примитивно-рекурсивной функции умножения:

xу = R (0, f₊(x, f(x, у)))=f₊(x, у).

Для вычисления функции возведения в степень f_exp(x, y)= x^y по схеме примитивной рекурсии использована базовая функция g(x)=С₁=1 и примитивно-рекурсивная функция умножения

h(x, у, f(x, у))=f_*(I_3,1, I_3,3 )=xf(x, у), т. е.

f(x, 0)=g(x)=1;

f(x, 1)=h(x, 0, f(x, 0))=x1= x;

f(x, 2)=h(x, 1, f(x, l))=xx=x²;

f(x, 3)=h(x, 2, f(x, 2))=xx²=x³ ...

f(x, i)=h(x, (i-1), f(x, (i-1)))=xx^{(i - 1)}=xⁱ.

Если i=у, то f(x, y)=x^y.

Пусть x=3, у=3, тогда f(3, 3)=3³ =27.

Таким образом, используя базовую функцию константы и примитивно-рекурсивную функцию умножения, может быть получено значение примитивно-рекурсивной функции возведения в степень:

x^y =R(1, f_(x, f(x, y)))=f_exp(x, y).

Из приведенных примеров легко можно получить примитивно рекурсивные функции:

1. min(x, у)=x-(x-у)=f_-(x, f_-(x, y));

2. max(x, у)=у-(x-у)=f_-(y, f_-(x, y));

3. |х-у|=(х-у)+(у-х)=f₊(f_-(x, y), f_-(y,x));

4. xvy = max(x, у);

5. ху=min(х, у) и др.

Последовательность рекурсивного описания функции, использующая базовые функции и результаты вычисления ее значений на всех предшествующих точках с помощью операторов суперпозиции и примитивной рекурсии, называют протоколом.

Операция минимизации (поиск наименьшего корня): Если дана (n+1)-местная функция f(x₁, x₂,...x_n, у), то значение n-местной функции (x₁, x₂,...x_n) можно определить, придавая вспомогательному аргументу у последовательно значения 0, 1, 2, 3,.., пока не окажется, что функция

f(x₁, x₂,...x_n, у) в первый раз (!) стала равной нулю, т.е. f(x₁, x₂,...x_n, у)=0.

Полученное значение вспомогательного аргумента у принять за значение определяемой функции, соответствующей заданным значениям независимых переменных аргумента (x₁=a₁, x₂=a₂,...x_n=a_n).

Поиск значений функции (x₁, x₂,...x_n) выполняется с помощью  - оператора, который имеет вид:

(x₁, x₂,...x_n)=_y(f(x₁, x₂,...x_n, y)=0.

Пример: пусть f(x₁, x₂,...x_n, у)=f(x₁, x₂, у)=x₁у-x₂.

Тогда (x₁, x₂)=_y(f(x₁, x₂, у))=x₁ у-x₂= 0 или (x₁, x₂)= y =(x₂/ x₁).

Так как (x₁, x₂) является рекурсивной функцией, то (x₂/x₁) должна иметь наименьшим общим кратным значение x₁ для значения x₂, что принято обозначать так: (x₁, x₂)=[x₂/ x₁]. В противном случае (x₁, x₂) - не определена. Например, если x₁=3, то (3, x₂) определена только для значений x₂ =3, 6, 9, 12, ... и имеет значение 1, 2, 3, 4,... соответственно. Таким образом, функция (x₁, x₂) является частично-рекурсивной.

Пример: пусть f (x₁, x₂,...x_n, у)=f(x, у)=y² -x.

Тогда (x)=_y((x, y))=y²-x=0 или (x)=y=x.

Так как (x) является рекурсивной функцией, то x должен иметь значения только из множества целых положительных чисел, т. е. (x)=1, 2, 3, 4,...

Если дан алгоритм вычисления функции f(a₁, a₂,...a_n, у), то значение функции (a₁, a₂,...a_n) вычисляется следующим образом:

шаг 1: принять у=0 и вычислить функцию f(a₁, a₂,...a_n, у).

шаг 2: если f(a₁, a₂,...a_n, у)=0, то конец и значение функции

(a₁, a₂,...a_n)=у, иначе принять у=у+1 и перейти к шагу 1.

Пример: пусть f(a₁, a₂,...a_n, у)=(x₁ ^ x₂ ^ x₃^ y) для x₁=7, x₂ =1, x₃ =2.

По данному алгоритму имеем:

f(7, 1, 2, 0) = 7 - 1 - 2 - 0  0;

f(7, 1, 2, 1) = 7 - 1 - 2 - 1  0;

f(7, 1, 2, 2) = 7 - 1 - 2 - 2  0;

f(7, 1, 2, 3) = 7 - 1 - 2 - 3  0;

f(7, 1, 2, 4) = 7 - 1 - 2 - 4 = 0.

Следовательно, (x₁, x₂,...x_n) = (7, 1, 2)=4.