1.7.2. Композиция нечетких отображений

Если даны два нечетких отображения h’₁={_h’(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и h’₂={_h’(y_j, z_k)/(y_j, z_k)}, то их композиция есть нечеткое отображение h’=(h’₁h’₂)={_h’(x_i, z_j)/(x_i, z_j)}. Степень принадлежности элементов h’₁ и h’₂ нечеткому отображению h’ существует тогда и только тогда, когда есть хотя бы один элемент y_j, принадлежащий h’₁ и h’₂, т. е.

_h’(x_i, z_k)=_j^m(_h’1(x_i, y_j)_h’2(y_j, z_k))=max{min(_h’1(x_i, y_j),_h’2(y_j, z_k)}.

Пример: дано нечеткое отображение h’: A’B’ и нечеткое множество A’={0,6/x₁, 0,9/x₄, 0,1/x₅}. Найти нечеткое множество B’ - образ нечеткого множества A' по нечеткому отображению h’.

_B’(y₁)=max{min{0,6; 0}, min{0,9; 0}, min{0,1; 0}}=0, _B’(y₂)=max{min{0,6; 0,2}, min{0,9; 0,3), min{0,1; 0,7}=0,3, _B’(y₃)=max{min{0,6; 0}, min{0,9; 0}, min{0,1; 0,8}}=0,1, _B’(y₄)=max{min{0,6; 0}, min{0,9; 0}, min{0,1; 0}}=0.

							h’	y1	y2	y3	y4
							x1	0	0,2	0	0
A’	x1	x2	x3	x4	x5		x2	0	0	0	0
	0,6	0	0	0,9	0,1		x3	1,0	0	0,4	0	=
							x4	0	0,3	0	0
Ответ: B’={0,3/y2, 0,1/y3}							x5	0	0,7	0,8	0
						=	B’	y1	y2	y3	y4
								0	0,3	0,1	0

Пример: даны два нечетких отображения:

h’₁={0,3/(x₁, y₁), 1,0/(x₁, y₃), 0,7/(x₂, y₁), 0,9/(x₂, y₂), 0,4/(x₂, y₃)} и

h’₂={ 0,2/(y₁, z₁), 0,8/(y₁, z₃), 1,0/(y₁, z₄), 0,3/(y₂, z₁), 0,4/(y₂, z₄)}.

Найти h’=(h’₁h’₂).

Ответ: h’={0,2/(x₁, z₁), 0,3/(x₁, z₃), 0,3/(x₁, z₄), 0,3/(x₂, z₁), 0,7/(x₂, z₃), 0,7/(x₂, z₄)}.

Пример: продолжая пример по выбору местоположения магазинов (см. таблицы 1.6 и 1.7 на с.18), найти композицию двух отображений h’=(h’₁h’₂). Композиция позволит описать нечеткое согласование мнений по заданным показателям руководителей магазинов и фирм.

таблица 1.18.							таблица 1.19.
h’	z1	z2	z3	z4			h’	z1	z2	z3	z4
x1	0,9	0,1	0,5	0,7			x1	0,9	-	-	0,7
x2	0,5	0,9	0,6	0,6			x2	-	0,9	0,6	0,6
x3	0,4	0,9	0,5	0,4			x3	-	0,9	-	-
x4	0,8	0,1	0,5	0,6			x4	0,8	-	-	0,6
x5	0,9	0,9	0,6	0,7			x5	0,9	0,9	0,6	0,7
x6	0,8	0,5	0,5	0,7			x6	0,8	-	-	0,7
x7	0,8	0,4	0,5	0,7			x7	0,8	-	-	0,7
x8	0,5	0,8	0,6	0,6			x8	-	0,8	0,6	0,6
x9	0,5	0,5	0,5	0,5			x9	-	-	-	-
x10	0,6	0,8	0,6	0,6			x10	0,6	0,8	0,6	0,6
x11	0,1	0,1	0,1	0,1			x11	-	-	-	-
x12	0,8	0,9	0,5	0,6			x12	0,8	0,9	-	0,6

Например, _h’(x₁₀, z₂)=max{min{(_h’1(x₁₀, y₁), _h’2(y₁, z₂)}, min{_h’1(x₁₀, y₂), _h’2(y₂, z₂)}, min{_h’1(x₁₀, y₃), _h’2(y₃, z₂)}, min{_h’1(x₁₀, y₄), _h’2(y₄, z₂)}} = max{min{0,6, 0,1}, min{0,7, 0,9}, min{0,8, 0,9}, min{0,5, 0,1} = max{0,1; 0,7; 0,8; 0,1}= 0,8 (см. таблицу 1.18).

Композиция h’={_h’(x_i, z_j)/ (x_i, z_j)} представлена в таблице.1.18. Анализ таблицы показывает, что мнение x₅ и x₁₀ согласовано со всем z_i, так как степень принадлежности (x₅, z_i) и (x₁₀, z_i) не ниже 0,6, а мнение x₁₁ не согласовано ни с одним z_i, так как (x₁₁, z_i)=0,1.

Если установить значимость согласия мнений руководителей магазинов и фирм не ниже, например, 0,5, то можно выделить зоны предпочтительного взаимодействия фирм и магазинов. Для этого в таблице 1.19 удалены позиции с уровнем согласия мнений руководителей магазинов и фирм 0,5.