1.7. Алгебра нечетких множеств

Если уиверсальное множества U содержит нечеткие помножества, то к этим подмножествам также применимы бинарные операции объединения X'=(X’_iX’_j) и пересечения X’=(X’_iX’_j) и унарная операция дополнения X’=U\X'. Особенностью исполнения таких операций над нечеткими множествами является поиск степени принадлежности для каждого элемента универсального множества.

Множество нечетких подмножеств универсального множества B’(U) вместе с двумя бинарными операциями и одной унарной формируют алгебру нечетких множеств:

A’=<B’(U), , , , _x’(u)>,

где B’(U) – множество всех нечетких подмножеств универсального множества,

, , , - сигнатура алгебры,

_x’(u) – функция принадлежности элемента универсального множества U нечеткому подмножеству X’.

1.7.1. Операции над нечеткими множествами

Включение нечеткого множества A’ в нечеткое множество B’ определяется степенью включения нечеткого множества A’ в нечеткое множество B’ для каждого элемента универсального множества U в результате исполнения операции импликации (“если uU принадлежит A’, то он принадлежит B’”), т. е.

_{(A’B’)}=(_A’(u)_B’(u))=(_A’(u)_B’(u))=min{max{(1-_A’(u)), _B’(u)}}.

Если _{(A’ B’)} 0,5, то множество A’ нечетко включено в множество B’.

Пример: даны U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅}, A’={0,3/u₂, 0,6/u₃, 0,4/u₅} и B’={0,8/u₁, 0,5/u₂, 0,7/u₃, 0,6/u₅}. Определить _{(A’B’)}.

_{(A’B’)}=min{max{1/u₁, 0,8/u₁}, max{0,7/u₂, 0,5/u₂}, max{0,4/u₃, 0,7/u₃}, max{1/u₄, 0/u₄}, max{0,6/u₅, 0,6/u₅}}= min{1/u₁, 0,7/u₂, 0,7/u₃, 1/u₄, 0,6/u₅}=0,6.

Ответ: нечеткое множествоA’ нечетко включено в нечеткое множество B’.

Равенство нечетких множеств A’ и B’ определяется степенью равенства нечетких множеств A’ и B’ для каждого элемента универсального множества U в результате исполнения операции эквиваленции (“если uU принадлежит A’, то он принадлежит B’ и если он принадлежит B’, то принадлежит A’ ”), т.е.

_{(A’B’)} =(_A’(u)_B’(u))=((_A’(u)_B’(u))(_B’(u)_A’(u)))=

min{min{max{(1-_A’(u)), _B’(u)}; max{(1-_B’(u)), _A’(u)}}}.

Если _{(A’ B’)} 0,5, то множества A’ и B’ нечетко равны.

Пример: даны U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅}, A’={0,8/u₂, 0,6/u₃, 0,1/u₅} и B’={0,3/u₁, 0,6/u₂, 0,7/u₃, 0,2/u₄, 0,3/u₅}.

_{(A’B’)}=min{min{max{1/u₁, 0,3/u₁}, max{0/u₁, 0,7/u₁}}, min{max {0,2/u₂, 0,6/u₂}, max{0,8/u₂, 0,4/u₂}}, min{max{0,4/u₃, 0,7/u₃}, max{0,6/u₃, 0,3/u₃}}, min{max{1/u₄, 0,2/u₄}, max{0/u₄, 0,8/u₄}}, min{max{0,9/u₅, 0,3/u₅}, max{0,1/u₅, 0,7/u₅}}=min{min{1/u₁, 0,7/u₁}, min{0,6/u₂, 0,8/u₂}, min{ 0,7/u₃, 0,6/u₃}, min{1/u₄, 0,8/u₄}, min{0,9/u₅, o,7/u₅}}=min{0,7/u₁, 0,6/u₂, 0,6/u₃, 0,8/u₄, 0,7/u₅}=0,6.

Ответ: нечеткое множество A’ нечетко равно нечеткому множеству B’.

Поскольку нечеткие отображения и отношения есть множества нечетких совместимых кортежей, т. е. h’={_r’(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и r’={_r’ (x_i, x_j)/(x_i, x_j)}, то к ним применимы все теоретико-множественные операции.

Объединение нечетких множеств A’ и B’ есть множество С’, состоя­щее из элементов множества U , которые принадлежат нечетким множествам А’ или В’, т. е. C’=(A’B’).

Степень при­надлежности элементов универсального множества нечеткому множеству C’ равна максимальному значению степени принадлежности элемента нечетким множествам А’ и В’, т.е.

_С’(u)= (_A(u)_B(u))=max{_A(u); _B(u)}.

Пример: даны два нечетких множества A’={0,6/u₁, 0,4/u₂, 0,8/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆} и B’={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

Найти С’=(A’B’).

Ответ: С’=(A’B’)={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

Пример: даны h’₁={_q’1(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и h’₂={_q’2(x_i, y_j)/(x_i, y_j)}.

Найти h’=(h’₁h’₂).

Степень принадлежности элемента (x_i,y_j) объединению двух нечетких отображений есть

_h’(x_i, y_j)=_h’1(x_i, y_j)_h’2(x_i, y_j)= max{_h’1(x_i, y_j), _h’2(x_i, y_j)}.

h1^’	y2	y3	y4				h2^’		y2		y3		y4
x1	0,2	0,4	0,6				x1		0,4		0,2		0,8
x2	0,3	0,5	0,7				x2		0,5		0,7		0,3		=
x3	0,2	0,5	0,4				x3		0,5		0,2		0,6
x4	0,3	0,6	0,9				x4		0,4		0,7		0,8
ООтвет: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.						h’		y2		y3		y4
				=		x1		0,4		0,4		0,8
						x2		0,5		0,7		0,7
						x3		0,5		0,5		0,6
						x4		0,4		0,7		0,9

Пример: даны r’₁={_r’1(x_i, x_j)/(x_i, x_j)} и r’₂={_r’2(x_i, x_j)/(x_i, x_j)}.

Найти r’=(r’₁r’₂).

Степень принадлежности элемента (x_i, x_j) есть

_r’(x_i, x_j)= _r’1(x_i, x_j)_r’2(x_i, x_j)=max{_q’1(x_i, x_j), _q’2(x_i, x_j)}.

r1^’	x1	x2	x3	x4		r2^’	x1	x2	x3	x4
x1	0,2	0,4	0,6	0,3		x1	0,4	0,2	0,8	0,9
x2	0,3	0,5	0,7	0,5		x2	0,5	0,7	0,3	0,7	=
x3	0,2	0,5	0,4	0,7		x3	0,5	0,2	0,6	0,5
x4	0,3	0,6	0,9	0,9		x4	0,4	0,7	0,8	0,3
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.						r’	x1	x2	x3	x4
					=	x1	0,4	0,4	0,8	0,9
						x2	0,5	0,7	0,7	0,7
						x3	0,5	0,5	0,6	0,7
						x4	0,4	0,7	0,9	0,9

Пересечение нечетких множеств A’ и B’ есть множество С’, состоящее из элементов множества U, которые принад­лежат нечетким множествам А’ и В’, т. е. C’=(A’B’). Степень при­надлежности нечеткому множеству C’ равна минимальному значению степени принадлежности нечетким множествам А’ и В’, т.е. _С’(u)=_A’(u)_B’(u)=min{_A’(u), _B’(u)}.

Пример: даны нечеткие множества A’={0,6/u₁, 0,4/u₂, 0,8/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆} и B’={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}. Найти С’=(A’B’).

Ответ: С’=(АВ)={0,6/u₁ ,0,4/u₂, 0,8/ u₃}.

Пример: даны h’₁={_h’1(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и h’₂={_h’2(x_i, y_j)/(x_i, y_j)}.

Найти h’=(h’₁h’₂).

Степень принадлежности элемента (x_i,y_j) есть

_h’(x_i, y_j)=_h’1(x_i, y_j)_h’2(x_i, y_j)=min{_h’1(x_i, y_j), _h’2(x_i, y_j)}.

h1^’	y2	y3	y4		h2^’	y2	y3	y4
x1	0,2	0,4	0,6		x1	0,4	0,2	0,8
x2	0,3	0,5	0,7		x2	0,5	0,7	0,3	=
x3	0,2	0,5	0,4		x3	0,5	0,2	0,6
x4	0,3	0,6	0,9		x4	0,4	0,7	0,8
ООтвет: в таблицах приведены резуль- таты исполнения этой операции.					h’	y2	y3	y4
					x1	0,2	0,2	0,6
				=	x2	0,3	0,5	0,3
					x3	0,2	0,2	0,4
					x4	0,3	0,6	0,8

Пример: даны r’₁={_r’1(x_i, x_j)/(x_i, x_j)} и r’₂={_r’2(x_i, x_j)/(x_i, x_j)}.

Найти r’=(r’₁r’₂).

Степень принадлежности элемента (x_i,x_j) есть

_r’(x_i, x_j)= _r’1(x_i, x_j)_r’2(x_i, x_j)= min{_q’1(x_i, x_j), _q’2(x_i, x_j)}.

r’1		x1	x2	x3	x4			r2^’		x1		x 2		x3		x4
x1		0,2	0,4	0,6	0,3			x1		0,4		0,2		0,8		0,9
x2		0,3	0,5	0,7	0,5			x2		0,5		0,7		0,3		0,7		=
x3		0,2	0,5	0,4	0,7			x3		0,5		0,2		0,6		0,5
x4		0,3	0,6	0,9	0,9			x4		0,4		0,7		0,8		0,3
	Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.								r’		x1		x2		x3		x4
									x1		0,2		0,2		0,6		0,3
							=		x2		0,3		0,5		0,3		0,5
									x3		0,2		0,2		0,4		0,5
									x4		0,3		0,6		0,8		0,3

Дополнение нечеткого множества A’ есть нечеткое множество A’, состоящее из всех элементов универсального множества U , которые не принадлежат нечет­кому множеству А’.

Степень при­надлежности нечеткому множеству A’ равна дополнению степени принадлежности нечеткому множеству A’ до значения степени принадлежности универсальному множеству U, т.е. _A’(u)= 1 - _A’(u).

Пример: даны универсальное множество U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆, u₇, u₈, u₉} и два нечетких подмножества A’={0,6/u₁, 0,4/u₂, 0,8/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆} и B’={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

Найти А’ и В’.

Ответ: А’={0,4/u₁, 0,6/u₂, 0,2/u₃, 0,8/u₄, 0,7/u₆, 1,0/u₇, 1,0/u₈, 1,0/u₉};

В’={0,1/u₁, 0,6/u₂, 1,0/u₄, 1,0/u₅, 1,0/u₆, 0,3/u₇, 0,7/u₈, 0,5/u₉}.

Пример: дано нечеткое отображение h’={_h’(x_i, y_j)/(x_i, y_j)}.

Найти  h’.Степень принадлежности есть _h’(x_i, y_j)=(1-_h’(x_i, y_j)).

h^’	y2	y3	y4		 h^’	y2	y3	y4
x1	0,2	0,4	0,6		x1	0,8	0,6	0,4
x2	0,3	0,5	0,7		x2	0,7	0,5	0,3
x3	0,2	0,5	0,4		x3	0,8	0,5	0,6
x4	0,3	0,6	0,9		x4	0,7	0,4	0,1

Пример: дано нечеткое r={_h’(x_i, x_j)/(x_i, x_j)}. Найти r’.

Степень принадлежности есть _r’(x_i, x_j)=(1 - _r’(x_i, x_j).

r’	x1	x 2	x3	x4		r’	x1	x2	x3	x4
x1	0,4	0,2	0,8	0,9		x1	0,6	0,8	0,2	0,1
x2	0,5	0,7	0,3	0,7		x2	0,5	0,3	0,7	0,3
x3	0,5	0,2	0,6	0,5		x3	0,5	0,8	0,4	0,5
x4	0,4	0,7	0,8	0,3		x4	0,6	0,3	0,2	0,7

Разность нечетких множеств А’ и В’ есть множество С’, состоящее из тех элементов множества U , которые при­надлежат нечеткому множеству А’ и не принадлежат нечеткому множест­ву В’,

т. е. C’=A’\B’=A’B’.

Степень при­надлежности элемента универсального множества нечеткому множеству C’ равна минимальному значению его функции принадлежности нечетким множествам А’ и В’, т.е.

_С’(u)=_A’(u)(1-_B’(u))=min{_A’(u), (1-_B’(u))}.

Пример: даны h’₁={_h’1(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и h’₂={_h’2(x_i, y_j)/(x_i, y_j)}.

Найти h’=(h’₁\h’₂).

Степень принадлежности элемента (x_i,y_j) есть

_h’(x_i, y_j)=_h’1(x_i, y_j)(1-_h’2(x_i, y_j))=min{_h’1(x_i, y_j); (1-_h’2(x_i, y_j))}.

h1^’	y2	y3	y4		h2^’	y2	y3	y4
x1	0,2	0,4	0,6		x1	0,4	0,2	0,8
x2	0,3	0,5	0,7	\	x2	0,5	0,7	0,3	=
x3	0,2	0,5	0,4		x3	0,5	0,2	0,6
x4	0,3	0,6	0,9		x4	0,4	0,7	0,8
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.					h’	y2	y3	y4
					x1	0,2	0,4	0,2
				=	x2	0,3	0,3	0,3
					x3	0,2	0,5	0,4
					x4	0,3	0,3	0,2

Пример: даны универсальное множество U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆, u₇, u₈, u₉} и два нечетких подмножества A’={0,6/u₁, 0,4/u₂, 0,8/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆} и B’={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

Найти С’=А’\В’.

Ответ: С’=А’\В’={0,1/u₁, 0,4/u₂, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆}.

Пример: даны r’₁={_r’1(x_i, x_j)/(x_i, x_j)} и r’₂={_r’2(x_i, x_j)/(x_i, x_j)}.

Найти r’=(r’₁\ r’₂).

Степень принадлежности (x_i,x_j) есть

_r’(x_i, x_j)= _r’1(x_i, x_j)(1-_r’2(x_i, x_j))= min{_r’1(x_i, x_j); (1-_r’2(x_i, x_j))}.

	r1^’	x1	x2	x3		x4				r2^’		x1		x 2		x3		x4
	x1	0,2	0,4	0,6		0,3				x1		0,4		0,2		0,8		0,9
	x2	0,3	0,5	0,7		0,5				x2		0,5		0,7		0,3		0,7		=
	x3	0,2	0,5	0,4		0,7				x3		0,5		0,2		0,6		0,5
	x4	0,3	0,6	0,9		0,9				x4		0,4		0,7		0,8		0,3
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.							r’		x1		x2		x3		x4
							x1		0,2		0,4		0,2		0,1
					=		x2		0,3		0,3		0,7		0,3
							x3		0,2		0,5		0,4		0,5
							x4		0,3		0,3		0,2		0,7

Симметрическая разность нечетких множеств A' и B’ есть нечеткое множество С’, состоящее из элементов универсального множества U, которые принадлежат нечетким множествам А’ и В’ или В’ и А’, т. е. С’=(А’В’)= (А’В’)(В’А’).

Степень при­надлежности элемента универсального множества нечеткому множеству C’ равна максимальному значению из двух минимальных значений степеней принадлежности элемента (А’В’) и (В’А’), т.е

_C’(u)=(_A’(u)_B’(u))(_B’(u)_A’(u_i))= max{min{_A’(u);_B’(u)};

min{_B’(u);_A’(u_i)}}.

Пример: даны универсальное множество U={u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆, u₇, u₈, u₉} и два нечетких подмножества A’={0,6/u₁, 0,4/u₂, 0,8/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆} и B’={0,9/u₁, 0,4/u₂, 1,0/u₃, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

Найти С’=(А’В’).

Ответ: С’=(А’В’)={0,4/u₁, 0,4/u₂, 0,2/u₃, 0,2/u₄, 1,0/u₅, 0,3/u₆, 0,7/u₇, 0,3/u₈, 0,5/u₉}.

Пример: даны h’₁={_h’1(x_i, y_j)/(x_i, y_j)} и h’₂={_h’2(x_i, y_j)/(x_i, y_j)}.

Найти h’=(h’₁h’₂).

Степень принадлежности (x_i, y_j) есть

_h’(x_i, y_j)=(_h’1(x_i, y_j)(1-_h’2(x_i, y_j)))(_h’2(x_i, y_j)(1-_h’1(x_i, y_j)))= max{min{_h’(x_i, x_j); (1-_h2’(x_i, x_j))}; min{_h2’(x_i, x_j); (1-_h1’(x_i, x_j))}}.

h1^’	y2	y3	y4		h2^’	y2	y3	y4
x1	0,2	0,4	0,6		x1	0,4	0,2	0,8
x2	0,3	0,5	0,7		x2	0,5	0,7	0,3	=
x3	0,2	0,5	0,4		x3	0,5	0,2	0,6
x4	0,3	0,6	0,9		x4	0,4	0,7	0,8
Ответ: в таблицах приведены резуль- таты исполнения этой операции.					h’	y2	y3	y4
					x1	0,4	0,4	0,4
				=	x2	0,5	0,5	0,3
					x3	0,5	0,5	0,6
					x4	0,4	0,4	0,2

Пример: даны r’₁={_r’1(x_i, x_j)/(x_i, x_j)} и r’₂={_r’2(x_i, x_j)/(x_i, x_j)}.

Найти r’=(r’₁r’₂).

Степень принадлежности (x_i, x_j) есть

_r’(x_i, x_j)=(_r’1(x_i, x_j)(1-_r’2(x_i, x_j)))(_r’2(x_i, x_j)(1-_r’1(x_i, x_j)))=

max{min{_r’(x_i, x_j); (1-_r2’(x_i, x_j))}; min{_r2’(x_i, x_j); (1-_r1’(x_i, x_j))}}.

r1^’	x1	x2	x3	x4		r2^’	x1	x 2	x3	x4
x1	0,2	0,4	0,6	0,3		x1	0,4	0,2	0,8	0,9
x2	0,3	0,5	0,7	0,5		x2	0,5	0,7	0,3	0,7	=
x3	0,2	0,5	0,4	0,7		x3	0,5	0,2	0,6	0,5
x4	0,3	0,6	0,9	0,9		x4	0,4	0,7	0,8	0,3
Ответ: в таблицах приведены результаты исполнения этой операции.						r’	x1	x2	x3	x4
						x1	0,4	0,4	0,4	0,7
					=	x2	0,5	0,5	0,7	0,5
						x3	0,5	0,5	0,6	0,5
						x4	0,4	0,4	0,2	0,7