§ 2. Натуральный триэдр траектории.

П режде всего несколько разовьем ранее сказанное о вектор-функции и ее производной. Пусть - непрерывная вектор-функ­ция скалярного аргумента u, геометрически изображаемая своим годографом, т. е. траекторией конца N векторов при непрерывно изменяющихся значениях аргумента u, и начало этих векторов откладывается от некоторого полюса О (Рис 19). Производная от вектор – функции по скалярному аргументу u, определяется как предел

^(2.1)

и представляет вектор, имеющий направление каса­тельной к годографу, проведенной в сторону, соот­ветствующую возрастанию аргумента u. Вектор характеризует быстроту изменения по величине и направлению век­тора с изменением аргумента u.

Величину или модуль производной будем обозначать через . Модуль произ­водной вектора не равен значению производной его модуля.

(2.2)

При дифференцировании векторов сохраняются те же правила, что и при дифференцировании функций:

производная геометрической суммы (разности) вектор–функции равна геометрической сумме (разности) производных. Точно так же сохраняется и правило дифференцирования произведения скалярной функции X (u) на вектор :

Понятие вектор – функции и её производной облегчают рассмотрение основных геометрических свойств траектории, необходимых для развития представления о скорости и ускорения точки. Рассмотрим некоторую кривую, лежащую (вообще говоря) не в одной плоскости. Возьмём на этой кривой три точки М1, М2 и М. Проведём через эти три точки плоскость (предполагается, что три точки не лежат на одной прямой). Устремим точки М1 и М2 к точке М. Проведённая плоскость при этом будет каким – то образом поворачиваться и займёт предельное положения, когда все три точки сольются. Это предельное положение назовём соприкасающейся плоскостью (СП), в которой проведём касательную к кривой в точке М. Орт касательной в точке М обозначим . Проведем в точке М плоскость перпендикулярную к орту , эту плоскость назовём нормальной плоскостью (НП) кривой. Любая прямая, проведенная в этой плоскости через точку М, будет перпендикулярна к , т. е. будет нормалью кривой; линия пересе­чения нормальной и соприкасающейся плоскостей определяет глав­ную нормаль кривой. Иными словами, главной нормалью называется нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости. Нормаль, перпен­дикулярная к главной нормали, называется бинормалью кривой. Если, в частности, кривая — плоская, то соприкасающейся пло­скостью будет плоскость, в которой расположена кривая, а главной нормалью — нормаль кривой, лежащая в этой плоскости.

Совокупность трех взаимно перпендикулярных осей: 1) касатель­ной, направленной в сторону возрастания дуги, 2) главной нормали, направленной в сторону вогнутости кривой, и 3) бинормали, перпендикулярной к касательной и главной нормали образует так называемый натуральней триэдр кривой.

Единичные векторы этих осей обозначим соответственно через . Найдем выражения этих трех единичных векторов натураль­ного триэдра через вектор-радиус точки на кривой, заданный как вектор-функция дуги: . Найдем прежде всего . По определению векторной производной вектор направлен по касательной к годографу вектора в сторону возрастания дуги S. С другой стороны, численная величина производной равна . Таким образом, векторная производная представляет искомый единичный вектор касательной

(2.3)

Д ля определения единичного вектора главной нормали обратимся к рис. 20 и рис. 21. Рассмотрим равнобедренный треугольник, обра­зованный векторами . Если точка М1 взята на весьма малом расстоянии ΔS от точки М, то угол α (угол смежности) будет также мал и вектор , с тем меньшей ошибкой, чем меньше ΔS, можно считать перпендикулярным к и, следова­тельно, параллельным вектору нормали , лежащему с в одной и той же плоскости. По абсолютной величине (как основание равнобед­ренного треугольника с малым углом α при вершине и боковыми сторонами, равными единице) будет равен ^{Отсюда найдем (с точностью до малых высших порядков): или .} Будем приближать ΔS к нулю, тогда точка M1 будет стремиться к М, единичный вектор нормали — к искомому единичному вектору , и мы будем иметь: . Второй множитель определяет кривизну кривой в данной точке, величина обратная кривизне – ρ называется радиусом кривизны

Таким образом, имеем следующее выражение орта главной нормали ^. Или в более привычной записи

(2.4)