- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
Произведем разложение функций A(q) и П(q) в ряды Маклорена вблизи точки q= 0; получим:
(5.2)
Отбрасывая несущественную постоянную в выражении потенциальной энергии, можем положить П(0) = 0; кроме того, как ранее уже было показано, в положении равновесия системы равна нулю первая производная от потенциальной энергии. Вторая производная от потенциальной энергии в положении устойчивого равновесия удовлетворяет условию , где знак равенства относится к тому случаю, когда о наличии минимума потенциальной энергии приходится заключать по старшим производным. Примем
Коэффициент с называют коэффициентом жёсткости или коэффициентом квазиупругости. Правильную, по крайней мере качественно, картину движения при любом t можно получить, сохраняя в разложениях потенциальной и кинетической энергии лишь члены наинизшего порядка относительно q и . Из равенств (3.52) получим: (5.3)
Подставляя в выражение для кинетической энергии (4.35) разложение A(q) согласно (5.2), найдем:
или в принятом приближении:
(5.4)
где по условию положительности кинетической энергии всегда будет: . Коэффициент а носит название коэффициент инерции.
Имея выражения (5.3) и (5.4) для потенциальной и кинетической энергий, составим уравнения движения системы в форме Лагранжа, в нашем случае уравнение движения будет: или , где . Сравнивая его с известным из школьного курса физики уравнением прямолинейных свободных колебаний точки под действием упругой восстанавливающей силы, видим, что коэффициент а при обобщенном ускорении играет ту же роль, что и масса m точки, т. е. характеризует инерционность системы, а коэффициент с аналогичен коэффициенту упругости.
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
где амплитуда А и начальная фаза α определяются по начальным условиям. Пусть при и , тогда
и (5.5)
Это - свободные или собственные колебания системы. Частота, или период, свободных колебаний системы не зависит ни от начальных условий движения (изохронизм малых колебаний), ни от природы обобщенной координаты; они представляют основные константы системы, определяемые структурой выражений кинетической и потенциальной энергий, т. е. инерционными свойствами материальной системы и характером консервативного силового поля, в котором происходит колебательное движение системы. Из формул (5.3), (5.4) и (5.5) видно, что амплитуда колебаний А пропорциональна корню квадратному из полной энергии Е=Т+П системы. Движение представляет гармоническое колебание частоты k и периода (в дальнейшем для периода сохраняется общепринятое обозначение Т, хотя этот символ уже использован для обозначения кинетической энергии).
Качественное изучение общей картины движения системы облегчается введением в рассмотрение так называемой фазовой плоскости (q, ), в которой строятся кривые — фазовые траектории, выражающие графически зависимость между обобщенной координатой q и обобщенной скоростью системы для всего многообразия интегральных кривых. Так, в только что рассмотренном случае свободных колебаний системы вокруг положения ее устойчивого равновесия фазовые траектории можно получить путем исключения времени t из уравнений:
q = A sin (kt+ a), = k A cos (kt + a), чтo приведет к семейству кривых
К тому же результату, очевидно, придем, написав уравнение семейства уровней полной механической энергии Е системы
Е = Т+ П = . В рассматриваемом случае консервативной системы фазовые траектории, естественно, совпадают с кривыми уровней энергии. Фазовыми траекториями служат подобные, между собою эллипсы, отличающиеся друг от друга только масштабом, зависящим от начальных условий движений или, точнее, от полной энергии системы (Рис 56). Для всех эллипсов отношение
Рис 56 длин полуосей одно и то же, — оно равно частоте k собственных колебаний системы. Каждому движению системы при заданных начальных условиях соответствует движение изображающей точки в фазовой плоскости по фазовой траектории — эллипсу — в указанном на рисунке направлении.
Рассмотрим общий интеграл уравнения при условии с<0, соответствующем неустойчивости равновесия системы в положении q(0)= 0. Вводя в этом случае обозначение получим
Общий интеграл этого уравнения выражается через показательные или гиперболические функции:
Как видно из полученного решения, в отличие от движения системы вблизи положения устойчивого равновесия, обобщенная координата q и обобщенная скорость с ростом времени t могут приобретать сколь угодно большие значения. Найдем
уравнение семейства фазовых траекторий, которое и в этом случае будет совпадать с уравнением семейства уровней полной механической энергии
.
Полученное уравнение представляет семейство подобных гипербол. Все гиперболы имеют одни и те же асимптоты, уравнения которых (рис 57)
Р ис 57
Рассмотрим пример. Однородный стержень ОА массы М и длины l вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси О (Рис 58). К его концу прикреплена нить, переброшенная через идеальный ( без трения) блок В; к другому концу нити привешен груз массы m. Определить закон движения стержня, если в начальный момент угол φ=π/4, а . ОА=ОВ=l, *).
Сосчитаем потенциальную энергию по известной формуле для сил тяжести
Равенство нулю первой производной от потенциальной энергии определит положения равновесия
С учётом условия *) получаем тригонометрическое уравнение
Перепишем полученное уравнение в другом виде
.
Решениями этого уравнения будут:
1. и ;
2. и , т.е находится в третьей четверти. Устойчивость равновесия для полученных значений φ проверим по знаку второй производной от потенциальной энергии, с учетом формулы *) имеем
Для получаем >0.
Для второго значения угла значение второй производной отрицательно, т.е. второе положение равновесия неустойчиво. Потенциальная энергия вблизи устойчивого положения равновесия будет иметь вид
.
Сосчитаем кинетическую энергию системы
,
здесь , . Подставляя полученные соотношения в формулу для кинетической энергии, имеем
.
В положении устойчивого равновесия
Дифференциальное уравнение малых колебаний запишется в виде
Здесь ψ – отклонение стержня от положения равновесия, т.е. Частота колебаний а решение дифференциального уравнения будет
Для определения констант интегрирования воспользуемся начальными условиями , тогда и получаем