- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
Целью настоящей главы является изучение равновесия деформируемого твердого тела, т.е. такого тела, у которого расстояние между двумя произвольными точками может изменяться. Изучение равновесия деформируемого твердого тела будет рассматриваться как следующая модель равновесия абсолютно твердого тела, так как таких тел, в силу самого определения, в природе нет. При этом необходимо напомнить известный принцип затвердевания: если деформируемое твердое тело (в дальнейшем ДТТ) находится в равновесии, то при затвердевании его равновесие не нарушится. Полезна еще следующая формулировка принципа затвердевания: в число условий равновесия ДТТ входят условия равновесия того абсолютно твердого тела, которое образуется из данного ДТТ при его затвердевании. Из этой формулировки следует, что уравнения равновесия системы твердых тел являются необходимыми, но не достаточными условиями равновесия деформируемой системы тел.
Главным методом изучения статики ДТТ является метод сечений. Этот метод предполагает возможность разделения тела некоторым сечением на 2 части без изменения состояния каждой из частей, если эффекты их взаимодействия заменить непрерывно распределенными по сечению внутренними силами — напряжениями. Равновесие деформируемых твердых тел будем рассматривать на примере равновесия тонких прямых стержней. Тонкими стержнями называются стержни, у которых размеры поперечного сечения весьма малы по сравнению с его длиной. Важным понятием для дальнейшего рассмотрения является определение оси стержня. Проведем несколько сечений в стержне и определим их центры. Соединим их, при этом получим некоторую ломаную кривую. Если эти сечения проводить очень близко друг к другу, то получим непрерывную линию — ось стержня. Линия, соединяющая центры сечений стержня, назовем осью стержня. Очевидно, что у прямого стержня ось — прямая, линия. Если сечение проведено перпендикулярно к оси, то напряжения перпендикулярные сечению стержня будем называть нормальными напряжениями и обозначать их буквой , а напряжения, действующие в плоскости сечения, - касательными напряжениями и обозначать буквой τ . Размерности напряжений . Изменение расстояния между частицами тела, изменение формы и размеров тела назовем его деформациями. Введем еще два важных положения:
1. Гипотеза плоских сечений. Будут рассматриваться такие задачи, в которых сечение, проведенное перпендикулярно оси недеформированного стержня, останется плоским и после деформации.
2. Принцип Сен - Венана. По нему предполагается, что можно детально не рассматривать характер приложенных нагрузок на расстоянии, достаточно удаленном от области их приложения. Этим утверждается, что вид нагрузки влияет на распределение напряжений и деформаций только в достаточно малой области приложения конкретной нагрузки.
Дифференциальные уравнения равновесия стержня
Выделим из стержня элемент длины dz и заменим действие на него отброшенных частей слева и справа силой, равной главному вектору и парой сил с моментом, равным главному моменту системы сил, приложенных в соответствующем сечении (согласно теореме
Пуансо). Слева будут а справа . Кроме того, на стержень может действовать распределенная нагрузка q{z) (рис. 68 ). При равновесии должны выполняться условия; главный вектор и главный момент системы сил долж
Рис 68 ны равняться нулю. Из него следует
,
После сокращений и отбрасывания слагаемых более чем первого порядка малости получим два векторных уравнения равновесия
В проекциях на оси координат 0XYZ получим систему из 6 уравнений
,
(6.4)
Отличие полученных уравнений ДТТ (6.4) от уравнений равновесия для твердого тела очевидно: необходимо решать систему из шести дифференциальных уравнений. Так как рассматривается прямолинейный стержень, то все силы зависят только от одной координаты z. В более сложных задачах получаются уравнения в частных производных, зависящих и от других координат. С математической точки зрения, стержень представляет собой объект, в котором задача отыскания напряжений сводится к определению сил и моментов, связанных с точками оси стержня, они зависят от положения точки на оси стержня - одной координаты, в нашем случае Z. Более того, будем предполагать, что все внешние силы приложены к точкам оси стержня.
Уравнение характеризует растяжение стержня, уравнение — кручение стержня. Система уравнений
определяет изгиб стержня в плоскости YQZ, система уравнений
— изгиб в плоскости X0Z.