Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
Предлагаемые приложения не входят в обязательные главы курса теоретической механики, но представляют, по мнению автора, определённый интерес. Ниже будет показано, что для деформируемых тел выполняются те же необходимые и достаточные условия равновесия – равенство нулю главного вектора и главного момента приложенных сил, но сами уравнения равновесия имеют вид дифференциальных зависимостей.
Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
Задана
невесомая нить длиной ds,
(рис.65 ), нагруженная распределённой
нагрузкой
.
Нить абсолютно гибкая и нерастяжимая.
В данных предположениях достаточно
записать уравнения равновесия в виде
,
главный вектор всех сил равен нулю.
Раскроем полученное выражение
.
Первые
два слагаемых сокращаются, произведением
можно
пренебречь, как величиной второго
порядка, остаются только
.
Разделив полученную формулу на ds,
получаем дифференциальное уравнение
равновесия нити
(6.1
Или в проекциях на оси декартовой системы координат, вспоминая, что , имеем
(6.2)
Уравнение (6.1) можно записать и в осях натурального триэдра, при этом
и окончательно получаем
(6.3).
Рассмотрим приложения полученных двух формул: задачу о прогибе нити под действием своего веса и задачу о ленточном тормозе.
Равновесие цепи под действием своего веса (рис 66).
Цепь веса Р подвешена в двух точках на одном уровне. Расстояние между точками подвеса l. Считая прогиб цепи небольшим, определить прогиб и натяжение цепи. По определению
Т
.к.
прогиб цепи небольшой, то можно считать
,
тогда
и уравнения (6.2) запишутся в виде:
т.е.
,
а второе уравнение примет вид
(здесь
).
Интегрируя полученное выражение, получим
уравнение параболы
.
Для
определения констант интегрирования
зададим два граничных условия
.
Из первого условия
,
а из второго
.
Окончательно получаем
Максимальный
прогиб будет при
и
равен
,
отсюда можно получить значение натяжения
цепи в зависимости от её прогиба,
.
В случае, если концы цепи находятся на
разных уровнях, то в решение дифференциального
уравнения надо подставить условия
,
где
и
- координаты концов цепи.
2. Задача о ленточном тормозе.
Н
а
барабан радиуса R
(на рис 67 показана часть барабана)
находится нить АВ.
К концам которой приложены две силы
и
,
причём пусть
.
Коэффициент трения скольжения между
нитью и барабаном f.
Надо определить: при каком соотношении
и
нить будет находиться в равновесии,
т.е. не будет скользить по барабану. В
нашем случае
,
а сила трения, направленная как показано
на рис. , равна
.
Тогда из уравнений (6.3) имеем
и
(*);
это дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными, интегрируя
которое
,получим
.
Если
,
то в уравнении (*) надо поменять знак
на
и порядок интегрирования по φ,
тогда получим
.
Окончательно условие равновесия нити
можно записать в виде
