- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 6. Уравнения равновесия тела.
Будем считать, что если взаимное положение тел и их положение относительно выбранной неподвижной системы координат остаётся неизменным, то тело или система тел находятся в равновесии. В п.4 предыдущего параграфа сказано, что произвольная система сил может быть приведена к двум непересекающимся силам. Пусть ≠0, ≠0, но при этом тело находится в равновесии. Но согласно 2-ой аксиоме статики (Свободное абсолютно твердое тело под действием двух сил будет находиться в равновесии только в том случае, когда эти силы равны, по величине и направлены вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны), необходимо чтобы эти две силы и ( рис. 10) в сумме давали ноль. Отсюда сразу следует, что главный вектор сил равен нулю, и как следствие нулю должен быть равен и главный момент системы сил. Это необходимое условие равновесия, достаточность этого утверждения будет доказана позже. Итак, необходимым и достаточным условием равновесия тела или системы тел является равенство нулю главного вектора и главного момента системы сил.
=0 =0 (1.6)
Два векторных условия (1.6) могут быть в общем случае приведены к шести алгебраическим уравнениям; для этого надо спроектировать левые части этих уравнений на три оси координат, произвольно выбранные в пространстве. Тогда при принятых обозначениях будем иметь следующие шесть уравнений:
(1.7)
которые выражают следующее положение: при равновесии твердого тела под действием пространственной системы сил суммы проекций приложенных сил на оси координат и суммы моментов приложенных сил относительно осей координат равны нулю. При изучении условий равновесия данного тела оно рассматривается как свободное, для чего оно мысленно выделяется из общей цепи взаимодействующих тел. Действие других тел заменяется реакциями связей, поэтому в уравнения равновесия входят как задаваемые (активные) силы так и реакции связей. В отдельных частных случаях некоторые из этих шести уравнений могут выполняться тождественно; при этом число уравнений равновесия уменьшается. Отметим важнейшие из этих частных случаев.
1. Сходящаяся система сил. Выбирая точку, в которой сходятся линии действия сил, за центр моментов, заметим, что уравнения моментов тождественно обратятся в нуль, так как линии действия сил пересекут оси координат, число уравнений равновесия сокращается до трех уравнений проекций на оси координат.
2. Плоская система сил. Расположим ось OZ перпендикулярно к плоскости действия сил. Тогда три уравнения тождественно обратятся в ноль (см. п.1 предыдущего параграфа) и станутся три уравнения
(1.8)
Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
§ 1. Центр параллельных сил.
Система параллельных сил, как было указано выше, приводится к равнодействующей. Докажем теорему Вариньона: если система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей, относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов сил относительно этой точки. Действительно, зависимость главного момента от центра приведения задаётся формулой (1.4)
Выберем точку О на линии действия равнодействующей. Тогда , но =0, как момент равнодействующей относительно точки, лежащей на линии её действия, и тогда
(1.9)
Пусть для определённости все силы параллельны оси OZ , в этом случае можно записать , а формулу (1.9) переписать в виде
(1.10)
Для выполнения условия (1.10) должно быть: или выражение в скобках равно нулю, либо выражение в скобках параллельно вектору , но мы выбрали направление OZ произвольно, следовательно, нулю должно быть равно выражение в скобках, из которого и получаем выражение для центра параллельных сил
(1.11)
Центр параллельных сил всегда находится на линии равнодействующей, но это особая точка. Если все силы повернуть на один и тот же угол, не меняя их точек приложения, то выражение в скобках формулы (12) и модуль равнодействующей не изменится, но сама равнодействующая повернётся на тот же угол вокруг центра параллельных сил. В проекциях на оси декартовой системы координат формула (1.11) записывается в виде
(1.12)