§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии связывает изменение кинетической энергии системы точек (твёрдого тела) с работой сил, вызывающих это изменение. Для вывода этой теоремы, в случае одной - той материальной точки, умножим обе части основного дифференциального уравнения динамики точки

,

где - равнодействующая внешних сил, действующих на точку, а - равнодействующая внутренних сил, скалярно на элементарное перемещение точки , получим

(3.94)

Замечая, что , находим

в правой части равенства (3.94) стоит выражение элементарной ра­боты внешних и внутренних сил; следовательно,

= ,

или, вспоминая определение кинетической энергии,

(3.95)

Это соотношение представляет теорему об изменении кинети­ческой энергии материальной точки в дифференциальной форме: приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном участке пути равно элементарной работе прило­женных к точке сил на этом участке пути.

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки легко обобщается на случай системы материальных точек. Суммируя уравнения (3.95) по всем точкам, включенным в систему, и вспоминая, что кинетическая энергия системы есть сумма кине­тических энергий всех ее точек, получим

Итак,

(3.96)

т. е. приращение кинетической энергии системы материальных точек на элементарном участке пути равно сумме элементарных работ внешних и внутренних сил, действующих на систему на этом участке пути. Интегрируя уравнение (3.96) между пределами, соответствующими начальному и конечному положениям движущейся системы, и называя соответственно через и кинетическую энергию в этих положе­ниях, имеем теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме

(3.97)

Для ряда приложений имеет значение другая формулировка до­казанной теоремы: производная по времени от кинетической энергии равна мощности действующих на точку сил.

,

т.е. производная по времени от кинетической энергии системы материальных точек равна мощности внешних и внутренних сил, приложенных к системе. Если система есть твёрдое тело, то работа и мощность внутренних сил равна нулю.

§ 6. Закон сохранения механической энергии.

Если все (внутренние и внешние) силы, под действием которых происходит движение системы, являются потенциальными, то со­гласно равенствам (3.92а) и (3.97) теорема об изменении кинетической энергии может быть написана в виде

(3.98)

Равенство (3.98) показывает, что приращение кинетической энергии на некотором участке пути системы в потенциальном силовом поле равно падению потенциальной энергии на том же участке.

Если в числе сил, действующих на систему, наряду с потен­циальными силами имеются и непотенциальные, то вместо (3.98) будем иметь

где - работа непотенциальных внешних и внутренних сил. Возвращаясь к движению в потенциальном поле сил, перепишем равенство (3.98) в форме

При движении в потенциальном силовом поле сумма кинети­ческой и потенциальной энергий системы, сохраняет постоянную величину. Сумму кинетической и потенциальной энергий системы назовем полной механической энергией системы и обозначим буквой Е, при этом , что приводит к известному закону сохранения энергии: если система движется при наличии только потенциальных сил, то полная механическая энергия ее во время движения сохраняет свою величину. Значение константы определяется заданием координат и скоростей в каком-нибудь промежуточном состоянии системы, в частности, в начале движения. Так как полная механическая энергия постоянна, то в том месте, где кинетическая энергия — нуль, имеется максимум потенциальной энергии, там же, где кине­тическая энергия максимальна, потенциальная энергия будет мини­мальной. С математической точки зрения закон сохранения энергии дает один из первых интегралов уравнений движения, так как уравнение, представляющее закон сохранения энергии, содержит только коор­динаты и скорости, т. е. первые производные от координат по времени, и не содержит ускорений (вторых производных от коор­динат по времени). Наблюдая действительно происходящие движения, можно за­метить, что полная механическая энергия не остается постоянной, так как всегда наблюдается наложение друг на друга нескольких сложных процессов, среди которых процесс движения в потенциальном поле играет более или менее значительную роль. Этот дополнительный приток и расход энергии не всегда прояв­ляется в виде механической энергии. В большинстве случаев при­ходится иметь дело с превращением механической энергии в раз­личные другие виды: энергия уходит в виде тепла, звука, света и электричества; обратный приток энергии может происходить также в виде тепла, электричества и других видов энергии, пре­вращаемых в механическую энергию. Поэтому в наиболее общей форме уравнение, выражающее теорему об изменении кинетической энергии, может быть написано в виде

Здесь dT- приращение кинетической энергии системы, ( ) обозначает падение потенциальной энергии, т. е. элементарную работу потенциальных сил, - элементарную работу непотен­циальных сил, совершенную за счет притекшей энергии, и, наконец, ( ) дает потерю энергии на преодоление сил вредных сопро­тивлений.

Потенциальные силы, для которых справедлив закон сохранения энергии, называются иначе консервативными силами, все осталь­ные - неконсервативными. Из числа неконсервативных сил, при наличии которых энергия системы рассеивается или диссипируется, называют диссипативными силами. С точки зрения механики диссипация механической энергии есть потеря энергии, уход ее из поля механического использования. В действительности энергия, конечно, не исчезает, а превращается в другие виды ее.

Вопросы для самопроверки.

1. Сформулируйте теорему Кенига.

2. Кинетическая энергия тела при плоском движении (две формулы).

3. Чему равна кинетическая энергия катящегося однородного цилиндра?

4. Напишите формулу работы упругой силы.

5. Напишите формулу работы сил, приложенных к твердому телу (общий случай).

6. Напишите формулу кинетической энергии тела в самом общем случае (через тензор инерции).

7. Теорема об изменении кинетической энергии (две формулировки).

8. Как определяется вектор силы, если известна потенциальная энергия?

9. Какой путь пройдет центр однородного цилиндра, катящегося по наклонной плоскости, чтобы его скорость возросла в два раза, Коэффициент трения качения равен К. Радиус цилиндра R, угол наклона плоскости α.

1 0. Чему равна потенциальная энергия физического маятника, состоящего из кольца радиуса -- R , массы m1 и стержня длины l массы m2 , если он отклонен от вертикали на угол φ .

11. Чему равна кинетическая энергия этого маятника в его нижнем положении, если он был отпущен без начальной скорости.

12. Чему равна кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, если , а тензор инерции

13. По каким формулам вычисляется работа сил, приложенных к твердому телу при: поступательном движении, вращении тела вокруг неподвижной оси, плоском движении?

РАЗДЕЛ ЧЕТВЁРТЫЙ