- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
Глава 14.
Возможные перемещения.
§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
§2. Возможные перемещения.
§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
Глава 15.
Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода
§ 2. Диссипативная функция.
§ 3. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
§ 4. Интеграл энергии.
Вопросы для самопроверки.
Раздел пятый
МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ.
__________________________________________________________
Глава 16
Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
§ 2. Малые свободные малые колебания системы с одной степенью свободы.
§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
Глава 17.
Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы.
§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
Раздел шестой
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ ТОЧКИ И ТВЁРДОГО ТЕЛА.
__________________________________________________________
Глава 18
Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
Глава 19.
Элементарная теория удара
§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
§ 2. Задача Герца об ударе двух тел.
§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
Приложение: программа по теоретической механике для бакалавров.
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
СТАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА.
__________________________________________________________
Глава 1.
Основные положения статики.
§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
При описании процессов, происходящих в окружающем нас мире, мы используем определенные математические модели; эти модели правильно отражают основные, главные свойства материи и по мере увеличения наших знаний все более усложняются, что дает возможность описывать процессы, характер протекания которых на предыдущем этапе исследований был нам еще не ясен. Классическая механика - механика Ньютона - является одной из таких моделей; она изучает законы, которым подчиняются процессы движения (и покоя) материальных тел в пространстве. При этом пространство наделяется рядом свойств: оно считается трехмерным, евклидовым и непрерывным.
Трехмерность пространства означает, что положение любого его места (точки) определяется тремя величинами — тремя координатами; обычно употребляются три декартовы (прямоугольные) координаты; при этом принимается постулат о возможности отсчитывать эти координаты от некоторой неподвижной точки (начала координатной системы).
Пространство считается евклидовым, что предполагает отсутствие в нем кривизны; иначе говоря, принимается постулат Евклида о том, что параллельные прямые не пересекаются.
Классическая механика опирается на ряд положений, аксиом, провозглашаемых без доказательства, а затем, на базе принятых положений, выводятся уравнения равновесия и движения твердого тела. Предметом теоретической механики являются материальные тела, представленные своими простейшими моделями и рассматриваемые в связи с изменением их взаимного расположения в пространстве и времени. Такое «внешнее» движение моделей тел, рассматриваемое в отвлечении от «внутренних», молекулярных, атомных и других подобных «скрытых» движений материи в действительных телах, называют «механическим движением» и противополагают общим движениям материи (тепловым, электрическим, магнитным и другим), изучаемым в физике. В теоретической механике используются следующие модели материальных тел:
1) материальная точка и дискретная совокупность (система) материальных точек,
2) сплошная среда, в частности абсолютно твердое и деформируемое твердое тело.
Заслуга Ньютона состоит в том, что он положил в своей механике количественные законы сил, независимо от того, ясна ли их природа. Модель силы, по Ньютону, определяется тремя главными количественными сторонами: величиной (интенсивностью), направлением действия и точкой приложения. Такому определению силы полностью отвечает образ вектора, равного по длине выраженной в масштабе величине силы, приложенного в данной точке и направленного в сторону действия силы.
1-ая аксиома. Сила—это вектор. Силы, равные по величине, одинаковые по направлению и имеющие одну и ту же точку приложения, признаются равными. Называя две силы равными, мы не утверждаем тождественности их (например, силы тяжести и силы давления от соприкосновения двух тел). Две системы сил, обладающие тем свойством, что при замене одной системы другою относительный покой (равновесие) тела не нарушится, считаются статически эквивалентными. В дальнейшем под понятием эквивалентности двух систем сил будет всегда подразумеваться статическая их эквивалентность, но для краткости термин «статическая» иногда будет опускаться. Из общего курса математики известны правила сложения векторов, приложенных в одной точке. Это - правила параллелограмма в случае двух векторов, параллелепипеда в случае трех и векторного многоугольника в случае любого числа векторов. Следуя физической природе векторных величин, все вектора можно разделить на три категории:
1. Свободные вектора, определяемые только величиной (модулем) и направлением.
2. Скользящие вектора, отличающиеся от свободных тем, что имеется линия действия, вдоль которой направлен вектор.
3. Вектора приложенные, отличающиеся от скользящих векторов наличием точки приложения каждого вектора.
Эти, на первый взгляд, незначительные различия, существенны при выполнении различных операций над векторами. Действительно, как складывать две силы, приложенных в разных точках, а может и к разным телам? Обычно, все действия над векторами в курсах векторной алгебры проводят со свободными векторами. Чтобы сложить или вычесть два (или несколько) вектора, их сначала помещают в одну точку, а затем строят параллелограмм, диагонали которого являются суммой или разностью этих двух векторов. Так же определяются векторное и скалярное произведения векторов. Другое дело, если складывать (вычитать) два скользящих или приложенных вектора.
Все физические тела под влиянием приложенных сил изменяют свою форму, причем величина деформации зависит от различных условий: материала тела, формы его, величины и направлений приложенных сил. В твёрдом теле в первом приближении можно пренебречь влиянием его деформируемости и этим значительно упростить решение задач статики, сводя их к рассмотрению тел недеформируемых. Таким путем мы приходим к естественной абстракции — абсолютно твердому телу, как «жесткой» системе точек, т.е. такой, в которой взаимное расположение отдельных точек не изменяется. Рассматривая действие заданной совокупности сил на данное твердое тело, будем пока предполагать, что это тело является свободным, т. е. не подверженным никаким другим воздействиям со стороны окружающих его тел или полей, кроме включенных в число заданных.
Следующее свойство модели свободного абсолютно твердого тела является основным:
2-ая аксиома. Свободное абсолютно твердое тело под действием двух сил будет находиться в равновесии только в том случае, когда эти силы равны, по величине и направлены вдоль одной и той же прямой в противоположные стороны. Такую систему сил назовём статически эквивалентной нулю; её можно добавлять или отбрасывать, при этом состояние твёрдого тела не изменится. Основываясь на приведенном свойстве модели абсолютно твердого тела, докажем, что, не нарушая равновесия твердого тела, можно точку приложения силы переносить вдоль линии, по которой расположена сила. Для лучшего понимания введём некоторые понятия и определения.
1. Нулевой вектор. Два вектора, равные по модулю, противоположно направленные и приложенные в одной точке, назовём нулевым вектором. Такой вектор можно добавлять к системе векторов или отбрасывать. Предположим, что в точке М тела (рис. 1) приложена сила . Возьмем на прямой линии, вдоль которой направлена эта сила,
п роизвольную точку N и, не нарушая состояния тела, добавим нулевой вектор с силами и , каждая из которых по величине равна . Тогда получим совокупность трех сил, силе . Эквивалентную нулю совокупность сил и можно опустить; тогда останется сила , равная по величине и одинаково направленная с силой , но имеющая точку
Рис 1. приложения N. Итак, в абсолютно твердом теле точка приложения перестает быть характерным элементом силы и приобретает значение лишь прямая линия, вдоль которой направлена сила,— так называемая «линия действия силы». Векторы, обозначающие силы, в этом случае теряют свое наименование «приложенных» и становятся «скользящими». Название это отражает возможность силы, приложенной к абсолютно твердому телу, произвольно менять точку приложения вдоль линии ее действия.
Итак, в статике абсолютно твердого тела определяющими элементами силы являются: численная величина (интенсивность) силы, линия её действия и сторона, в которую направлена сила вдоль своей линии действия.
Существенные сведения о равновесии деформируемых тел можно получить, применяя принцип затвердевания.
3-я аксиома. Если деформируемое тело находится в равновесии, то замена его или отдельных его частей соответствующими ему телами в абсолютно твердом состоянии равновесия не нарушит.
Полезна еще следующая формулировка принципа затвердевания: в число условий равновесия деформируемого тела входят и условия равновесия того абсолютно твердого тела, которое образуется из данного деформируемого тела при его затвердевании. При такой формулировке становится ясным, что условия равновесия жесткой системы являются необходимыми, но не достаточными условиями равновесия деформируемой системы.
4 -я аксиома. Предположим, что имеются две материальные точки А и В (рис. 2) и пусть действие точки В на А выражается силой Р, а действие А на В — силой Q, Тогда можно утверждать, что силы Р и Q имеют общую линию действия, равны по величине и направлены в прямо противоположные стороны. Эту закономерность обычно выражают следующими словами: Действие всегда равно и прямо противоположно противодействию, т.е. действия материальных точек друг на друга равны между собой и направлены в противоположные стороны по одной прямой. В таком виде закон взаимодействия был дан впервые Ньютоном (так называемый третий закон Ньютона). Этот закон был им сформулирован как общий механический закон одинаково справедливый как в статических, так и в динамических условиях. Из того факта, что действие равно и прямо противоположно противодействию, не следует, что действие уравновешивается противодействием, так как действие и противодействие представляют силы, приложенные к двум различным точкам (это не нулевой вектор). В природе не существует одностороннего действия сил. Четвертая аксиома статики имеет важное значение при исследовании равновесия тела или системы тел. Тело, условия равновесия которого изучаются, в подавляющем числе случаев находится в непосредственном взаимодействии с другими окружающими его телами, ограничивающими свободу перемещения данного тела. Так, например, вал, лежащий в подшипниках, лишен возможности совершать другие перемещения, кроме вращения вокруг собственной оси. В статике рассматриваются условия равновесия свободного твердого тела; поэтому мы должны в число приложенных к телу сил включать и все воздействия на это тело со стороны окружающих его тел, после чего уже рассматривать тело как свободное. Этот прием будет обобщен в динамике и составит содержание принципа освобождаемости. Тела, ограничивающие свободу перемещения рассматриваемого тела, осуществляют, как принято говорить, связи, которым подчинено тело. Действия тел, осуществляющих эти связи, на данное тело называются силами реакций связей. В некоторых задачах рассмотрением одного тела обойтись нельзя; в этом случае после рассмотрения сил, приложенных к данному телу, мы переходим к рассмотрению сил, приложенных к следующему телу; естественно, что при этом некоторые силы окажутся теми же по величине, что и прежде, но направленными в противоположную сторону. Таким образом, выбирая только те тела, которые действительно имеют значение для данной задачи, и, намечая лишь те силы, которые приложены к этим телам, мы наиболее просто поставим и решим задачу. Итак, при изучении условий равновесия данного тела рассматриваем его как свободное, для чего мысленно выделяем его из общей цепи взаимодействующих тел и сосредоточиваем все внимание на силах, приложенных к этому телу.