- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
Положение системы N материальных точек определяется совокупностью 3N декартовых координат: этих точек. Положение твердого тела задается тремя координатами одной из его точек, принятой за полюс, и тремя эйлеровымигпнп углами . Если система состоит из ряда твердых тел, то для определения положения такой системы в пространстве достаточно задать координаты полюсов и значения эйлеровых углов для каждого из тел. Положение твердых тел можно задавать не только эйлеровыми углами, но и другими, играющими аналогичную роль параметрами. Таким образом, для определения положения материальной системы в пространстве применяют самые разнообразные приемы. Любая совокупность параметров, достаточная для определения положения системы в пространстве, называется обобщенными координатами системы. При этом не предрешается вопрос о том, все ли координаты необходимы для указанной цели, нельзя ли определить положение системы при помощи только части этих параметров или вообще меньшего числа параметров. Вообще если положение движущейся системы N материальных точек с прямоугольными координатами ( ) в любой момент времени может быть задано при помощи какой-нибудь совокупности обобщенных координат ( ), то между первой и второй совокупностями должны существовать соотношения вида:
содержащие в общем случае явно время. Если материальная система несвободна, то обобщенные координаты так же как и их производные по времени - обобщенные скорости подчиняются ограничительным условиям, которые мы называем связями. Аналитически связи выражаются равенствами, заключающими время, координаты и их производные, и иногда сопровождаемые знаками неравенств; последние указывают на возможность прекращения действия связей. Остановимся на случае связей, выражаемых равенствами. Связи, выражаемые аналитически уравнениями вида
(4.1)
носят общее наименование кинематических; обобщенные скорости в соотношение (4.1), как правило, входят линейно.
Если время не входит явно в уравнения связей, то такие связи называют стационарными, в противном случае - нестационарными.
Кинематические связи, уравнения которых не содержат обобщенных скоростей или путем интегрирования могут быть к такому виду приведены, называют голономными или интегрируемыми, в противном случае - неголономными или неинтегрируемыми.
Голономные связи накладывают ограничения на координаты точек системы, т.е. на ее положение в пространстве. Вместе с тем, будучи продифференцированы по времени, уравнения голономных связей представляют ограничения, накладываемые на скорости точек системы. В противоположность этому неголономные связи ограничивают только скорости точек системы, так как уравнения связей не могут быть проинтегрированы и, следовательно, не существует конечных соотношений между координатами, соответствующих неголономным связям. Примером голономной нестационарной связи может служить математический маятник переменной длины
.
Если уравнение связи задано неравенствами, то такая связь называется односторонней (если знак равенства – то двухсторонней).
Чем больше число условий, налагаемых связями на бесконечно малые перемещения системы, тем меньше произвола остается в определении возможных перемещений. Это обстоятельство характеризуют числом степеней свободы системы, которое определяется как число независимых, допускающих выбор по произволу, координат системы. Так для трёх свободных точек будем иметь 9 независимых координат , или 9 степеней свободы. Но если все точки соеденены жесткими стержнями, то имеются три уравнения связей
(расстояния между точками остаются неизменными), т.е. теперь это твёрдое тело и для определения его движения необходимо задать шесть параметров. Действительно, из девяти параметров независимыми являются 9-3=6 параметров. Это правило можно распространить для любого числа обобщённых координат при наличии голономных связей. В случае систем, подчиненных голономным связям, число степеней свободы совпадает с числом независимых обобщенных координат. Так, например, если система, состоящая из N точек, подчинена s голономным связям, то число степеней свободы такой системы согласно будет совпадать с числом независимых координат k=3N-s. Точка, вынужденная двигаться по заданной поверхности, будет иметь две степени свободы; точка, движущаяся по заданной пространственной кривой, будет, иметь одну степень свободы и т. д. В тех случаях, когда положение системы определяется обобщенными координатами ,(j= 1, 2,..., ), не являющимися, вообще говоря, независимыми, а подчиненными s голономным связям, число степеней свободы системы будет равно k = r-s, т. е. опять равно числу независимых обобщенных координат системы. Так, свободное твердое тело (r = 6, s = 0) имеет шесть степеней свободы, тело, вращающееся вокруг неподвижного центра, — три степени свободы, в плоском движении — также три степени свободы. Система с обобщенными координатами, подчиненная s голономным и s' неголономным связям, будет иметь число степеней свободы k=r-s-s', равное числу (r-s) независимых обобщенных координат, уменьшенному на число s' неголономных связей.