- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
Как было сказано в разделе кинематики плоско-параллельного движения тела достаточно рассмотреть движение плоской фигуры, задаваемым уравнением движения полюса и уравнением вращения фигуры
Задачей динамики плоско-параллельного движения тела является нахождение полученных уравнений по заданным силам (это основная задача динамики) или определение сил по заданному движению твёрдого тела. Часто встречаются смешанные задачи, когда между величинами, определяющими положение тела, имеются наперед известные соотношения, а действующие силы частью известны, частью должны быть определены по ходу решения задачи.
Теорема о движении центра инерции дает первое соотношение (3.78) при условии поступательного движения подвижной системы координат:
Это векторное равенство можно проектировать на те или иные оси. Проектируя его на оси неизменного направления х, у, получим два уравнения:
, в которых и обозначают координаты центра инерции. Часто применяют также проектирование на касательную ( ) и главную нормаль ( ) плоской траектории центра инерции :
, .
Здесь ρ- радиус кривизны траектории центра инерции. Дифференциальное уравнение вращения составим, применив теорему об изменении момента количеств движения по отношению к центру инерции. В случае плоского движения твердого тела относительным движением по отношению к центру инерции является вращение тела с его угловой скоростью со вокруг оси, перпендикулярной к плоскости движения и проходящей через центр инерции С. Второе соотношение (101) даёт
Таким образом, в декартовой системе координат уравнения плоскопараллельного движения будут
,
Если тело совершает несвободное движение, то в выражение главного вектора сил следует наряду с задаваемыми силами включить и реакции связей. Рассмотрим далее подробно часто встречающуюся задачу движения колеса по шероховатой плоскости. При качении цилиндра (колеса) контакт между колесом и поверхностью происходит не в точке, а из-за деформации колеса или самой поверхности реакция поверхности распределена на некотором участке. Так как рассматривается плоское движение, то и распределённую реакцию образует плоская система сил, которая может быть заменена равнодействующей. Рассмотрим два случая: движение под действием силы, приложенной в центре колеса и под действием крутящего момента. На рис.57 показаны все силы, действующие на колесо. Разложим реакцию F на две составляющие: вертикальную N и горизонтальную T. Составим дифференциальные уравнения движения
(3.79)
Индекс «С» в дальнейшем будем опускать, здесь r радиус колеса, k- коэффициент трения качения. Для определённости пусть момент инерции равен . Так как колесо движется горизонтально, не подпрыгивая, то из второго уравнения следует . Возможны два вида движения: без скольжения, тогда мгновенный центр скоростей находится в точке Р и со скольжением. Для первого случая можно записать условие тогда, разделив третье уравнение на r и сложив первое и полученное третье уравнения получим
откуда имеем
. (3.80)
О пределим из первого уравнения (3.79) силу Т, которую по смыслу можно назвать силой трения между колесом и поверхностью. Подставив (3.80) в первое уравнение (3.79) получим , при этом . Если сила Q больше, то уравнения движения запишутся так
То-есть два независимых уравнения для . В случае, если колесо не двигалось, и , то колесо будет скользить и не вращаться, т.е. двигаться поступательно.
Рассмотрим вторую задачу: колесо движется под действием момента (на рис 58 он показан изогнутой стрелкой) М.
Уравнения движения запишутся в виде
, , .
Пусть колесо движется без скольжения, тогда
,
Как и в предыдущей задаче возможны два вида движения: без скольжения, тогда мгновенный центр скоростей находится в точке Р, и со скольжением. Для первого случая можно записать условие тогда, разделив третье уравнение на r и сложив первое и полученное третье уравнения получим (при этом Т сократится)
Сила Т, которую и здесь назовём силой трения, будет равна
т.е. скольжение колеса будет происходить, если .
Если это условие выполняется, то получаем два независимых уравнения для движения центра колеса и его вращения
, .