- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
Глава 17.
Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы.
§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
Предположим, что наряду с восстанавливающей силой на систему действует еще возмущающая сила, являющаяся заданной функцией времени. Рассмотрим сначала наиболее простой случай периодической возмущающей силы Q(t), изменяющейся по гармоническому закону: Q(t) = Н sin (pt+α), где Н—амплитуда, р — частота, α — начальная фаза возмущающей силы. При наличии возмущающей силы дифференциальное уравнение движения будет иметь вид
или, если разделить обе части на а,
(5.14)
где, как и раньше, — частота свободных колебаний, а .
Общий интеграл дифференциального уравнения (5.14), как известно, является суммой общего интеграла соответствующего однородного уравнения, т. е. уравнения свободных колебаний, и какого-либо частного решения уравнения (5.14): , причем . Частное решение ищем в виде: Подстановка в (5.14) приводит к соотношению , откуда при находим .
Общий интеграл уравнения (3.63) будет:
Правая часть этого равенства представляет результат наложения свободных колебаний на колебания, происходящие с частотой возмущающей силы и называемые вынужденными колебаниями. Если k>p, т. е. частота собственных колебаний больше частоты возмущающей силы, то вынужденные колебания имеют ту же фазу, что и возмущающая сила; при k<p вынужденные колебания сдвинуты по фазе относительно возмущающей силы на π. Отметим, что амплитуда вынужденных колебаний не зависит от начальных условий движения. Зададимся вновь начальными условиями: при t=0 и пусть (для упрощения выкладок) α=0. Тогда постоянные интегрирования выразятся через начальные данные так:
и решение уравнения (5.14) приведется к окончательному виду
(5.15)
Составное движение, представленное формулой (5.15), можно рассматривать как результат сложения: 1) свободных колебаний точки, которые возникли бы при отсутствии возмущающей силы, (первые два слагаемые), 2) колебаний, вызванных возмущающей силой, с собственной частотой k (третье слагаемое) и, наконец, 3) вынужденных колебаний с частотой возмущающей силы (последнее слагаемое). Если частота возмущающей силы р совпадает по величине с частотой собственных колебаний k, то возникает явление резонанса. При резонансе возмущающая сила действует «в такт» с собственными колебаниями точки, что приводит к особенно интенсивному ее раскачиванию. Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастает, в чем можно убедиться следующим образом. Пусть начальные условия нулевые.
(5.16)
У стремим р к k; тогда при p=k , имеем неопределенность вида . Раскрывая эту неопределенность по известному правилу Лопиталя, найдем:
Рис 61 В случае резонанса (p = k) движение системы определяется полученным выражением, содержащим в числе составляющих колебаний характерное для резонанса слагаемое в котором время t стоит множителем перед косинусом. Благодаря наличию этого множителя, , переходя от положительных значений к отрицательным, будет вместе с тем неограниченно возрастать, колебания при резонансе происходят с возрастающей пропорционально времени амплитудой. График резонансного колебания показан на рисунке 61. Явление резонанса, сопровождающееся колебаниями весьма большой амплитуды, может служить причиной разрушения конструкции или создавать в ней опасные напряжения.
Точное совпадение частот собственных и вынужденных колебаний в технических приложениях практически невозможно (они могут совпадать с точностью измеряющих приборов). Поэтому рассмотрим случай, когда эти частоты очень близки. Будем считать
(5.17)
Тогда формулу (5.16) можно переписать так
По известной формуле тригонометрии , с учётом соотношений (5.17), перепишем полученную формулу в виде
.
Здесь D(t) –амплитуда колебаний системы с периодом колебаний . График полученных колебаний представлен на рисунке (62), здесь . Такие колебания называются биениями системы, при стремлении получаем график резонансной кривой (рис 61).
Рассмотрим пример, разобранный в этом параграфе, но добавим возмущающую гармоническую силу , действующую на груз m. Для нахождения обобщённой силы составим выражение для элементарной работы
Рис 62
Обобщённая сила зависит от обобщённой координаты φ, необходимо и здесь определить её значение для положения устойчивого равновесия, т.е. при φ=π/3. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний запишется в виде
или
здесь
.
Решение полученного дифференциального уравнения приведено выше.