- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 7. Кинетический момент твердого тела.
Кинетический момент (главный момент количеств движения) системы материальных точек относительно неподвижной точки О определяется формулой
(3.52)
Здесь векторы-радиусы проводятся из неподвижной точки О. Для твердого тела сумма в формуле (3.52) заменятся интегралом
(3.53)
где интегрирование производится по объему, занимаемому твердым телом. Пусть известна скорость некоторой точки А твердого тела (полюса) , а также его угловая скорость ; по известной формуле кинематики скорость любой точки твердого тела и ее вектор-радиус выражаются формулами
; (3.54)
где - вектор-радиус, проведенный из полюса А в эту точку. Подставляя формулы (3.54) в кинетический момент (3.53), вынося векторы, не зависящие от положения текущей точки, за знак интеграла, получаем
(3.55)
Первые два интеграла в формуле (71) имеют простой смысл:
(72)
для преобразования последнего интеграла (3.55) раскроем двойное векторное произведение, после чего используем свойство единичного тензора и определение тензора инерции; тогда
(3.57)
Учитывая результаты (3.56) и (3.57), приводим выражение кинетического момента твердого тела к окончательному виду
. (3.58)
Если за полюс взять центр инерции твердого тела, то
и формула (3.58) упрощается
.
Если твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О, то
и в результате имеем
(3.59)
Умножая тензор инерции скалярно на вектор угловой скорости (так как тензор инерции симметричен, то его можно умножать на вектор как слева так и справа) получаем развернутое представление формулы (3.59)
(3.60)
Из этого последнего представления сразу следуют выражения для кинетических моментов твердого тела относительно координатных осей:
(3.61)
Тензорная формула (3.59) является краткой записью этих соотношений. Если оси х, у, z главные, то центробежные моменты инерции равны нулю и формулы (3.60) и (3.61) для этого случая упрощаются:
Из формул (3.62) отчетливо видно, что кинетический момент тела, вращающегося вокруг точки, не совпадает по направлению с вектором его угловой скорости; такое будет иметь место лишь в случае, когда тензор инерции является шаровым тензором.
Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, например, оси z, то и формула (3.60) дает
.
Вопросы для самопроверки.
1. Векторная формула кинетического момента системы точек.
2. Теорема об изменении кинетического момента.
3. Какие моменты инерции твердого тела Вам известны. Приведите формулы их записи.
4. Дайте определения центральной и главной оси инерции.
5. Чему равен момент инерции цилиндра относительно его продольной оси симметрии?
6. Напишите векторное выражение для кинетического момента тела, вращающегося вокруг неподвижной оси( варианты- 0X, 0Y, 0Z).
7 . Напишите дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной главной оси, прокомментируйте введенные обозначения
8 .Как изменится угловая скорость вращения стержня длины L и массы M1 , если груз массы М переместится из положения h на конец стержня.
9. Определите период колебаний двух стержней, показанных на рисунке, относительно горизонтальной оси.
10. Напишите формулу Гюйгенса.
11. Как изменится центробежный момент инерции Jyz при переходе от старой оси OZ к новой, пересекающей ось 0Y на расстоянии l.
12. Определить ускорение груза и натяжение нити в указанном примере..
13. Напишите формулу тензора инерции относительно выбранного центра (в диадной форме).
14. Как записать момент инерции относительно оси, заданной ортом , если известен тензор инерции. (в общем виде).
15. Как записать центробежный момент инерции относительно осей, заданными ортами и , если известен тензор инерции (в общем виде).
16. Чему равен кинетический момент относительно оси, если , а тензор инерции .
17. Чему равен центробежный момент инерции относительно осей, заданными ортами , тензор инерции .