- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
Продифференцируем по времени выражение (35)
(2.16)
В формуле (2.16) постоянный по модулю вектор, следовательно, его скорость будет определяться угловой скоростью вращения плоской фигуры, формулой (2.13), и тогда скорость точки М может быть записана в виде
(2.17)
Здесь - скорость любой точки плоской фигуры, - скорость выбранного начала системы координат ( в дальнейшем – полюс), жестко связанной с фигурой, - угловая скорость вращения плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной плоскости фигуры и проходящей через точку О, и .
Поле скоростей плоской фигуры
На рис. 30 показано поле скоростей плоской фигуры, за полюс выбрана точка О, плоская фигура вращается вокруг полюса по часовой стрелке. Скорость полюса (согласно 2.17) одинаковая для всех точек фигуры, тогда как скорость вращения зависит от расстояния до полюса. Складывая для каждой точки отрезка ОМ эти скорости, можно получить скорости любой точки плоской фигуры. На рис.30 показаны скорости точек, лежащих на отрезке ОМ, точек А,В,М, но отрезок ОМ проведён произвольно, следовательно, правило определения скоростей будет аналогично и для точек на любом отрезке, для любой точки полоской фигуры. Но остался невыясненным вопрос: зависит ли угловая скорость от выбора полюса? Пусть за полюс выбраны точки О и М, и пусть при этом угловые скорости будут разными.
,
Сложим эти два выражения
,
откуда получаем =0 или , то- есть угловая скорость не зависит от выбора полюса, она является первым кинематическим инвариантом. Рассмотрим проекции скоростей фигуры на направление отрезка их соединяющих. Для этого умножим обе части выражения (38) на орт
.
Последнее слагаемое в полученном выражении равно нулю как смешанное произведение векторов с двумя равными векторами, то – есть
или . Проекции скоростей отрезков плоской фигуры на направление этого отрезка равны. Это второй кинематический инвариант.
§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
В предыдущем параграфе формула распределения скоростей в плоском движении была получена из представления о перемещении точки плоской фигуры в виде геометрической суммы перемещения полюса и перемещения поворота вокруг полюса. Докажем следующую теорему: при всяком непоступательном движении плоской фигуры существует точка фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю. Точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей фигуры(сокращённо МЦС). Пусть скорость точки Р равна нулю . Умножим написанное выражение векторно слева на вектор . Получим , раскрывая двойное векторное произведение, имеем
.
Первое слагаемое рано нулю, так как ,тогда получим
(2.18)
Модуль вектора равен , а его направление перпендикулярно скорости , так что скорости точек плоской фигуры можно рассматривать как враща-
Рис. 31 тельные скорости их вокруг мгновенного центра скоростей, а сам мгновенный центр — как мгновенный центр вращения плоской фигуры. Отсюда можно сделать следующий общий вывод: поле скоростей в фигуре, совершающей плоское движение, в каждый момент таково, как будто фигура вращается вокруг неподвижного мгновенного центра, скорость любой точки плоской фигуры пропорциональна расстоянию до МЦС. При этом скорость любой точки плоской фигуры перпендикулярна к вектор-радиусу, соединяющему эту точку с мгновенным центром, и направлена в сторону вращения фигуры, а по величине пропорциональна расстоянию точки до мгновенного центра (рис. 31). В отличие от рассмотренного ранее случая вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, где ось вращения была жестко связана с вращающимся телом и сохраняла одно и то же положение в неподвижном пространстве, относительно которого вращение происходило, в плоском движении мгновенный центр в каждый новый момент времени занимает другое положение как в движущейся фигуре, так и в неподвижной плоскости.
При движении плоской фигуры в ее плоскости мгновенный центр перемещается от одной точки фигуры к другой. Точно так же и в неподвижной плоскости мгновенный центр занимает все новые и новые положения. Траектория мгновенного центра в плоскости, связанной с движущейся фигурой, образует кривую, называемую подвижной центроидой; точно так же траектория мгновенного центра в неподвижной плоскости называется неподвижной центроидой. Так, при катания без скольжения круглого колеса по прямолинейному рельсу все точки контура колеса при различных положениях его будут служить мгновенными центрами скоростей, следовательно, окружность является подвижной центроидой. Точки рельса будут служить мгновенными центрами в неподвижной плоскости и представлять неподвижную центроиду. Подвижная и неподвижная центроиды имеют в каждый момент времени общую точку — мгновенный центр, траекториями которого они служат. При движении плоской фигуры в своей плоскости, подвижная центроида катится без скольжения по неподвижной.
Рассмотрим пример. Пусть задана скорость точки А и угол α, а также направление скорости точки В. Длина отрезка АВ= а. Надо найти скорость точки и угловую скорость вращения плоской фигуры. Так как проекции скоростей концов отрезка на направление отрезка равны, то откуда получаем
. (2.19) Из рис 32 видно, что или . Этот же результат можно получить с помощью МЦС. Мгновенный центр скоростей должен находиться на пересечении перпендикуляров к скоростям в точке Р. Из треугольника АВР следует, что . Тогда по теореме синусов .
Но , откуда . Получаем формулу (2.19). Из теоремы синусов и угловая скорость равна , после сокращений и используя (2.19) получаем
то же самое выражение, что и раньше.