§ 5. Поступательное движение твердого тела.

Поступательное движение и вращение вокруг неподвижной оси являются наиболее простыми случаями движения твердого тела. Движение твердого тела называется поступательным, если любая прямая, проведенная в теле, во время движения остается параллельной сама себе. Будем определять положение любой точки А твердого тела вектор-радиусом , проведенным из начала координат (рис. 24). Если движение поступательное, то по определению вектор остается параллельным себе. Величина вектора не изменяется, так как тело твердое. Итак, является постоянным вектором. Обозначим через вектор-радиус точки А, а через - вектор-радиус точки В, относительно неко­торой неподвижной точки О. Равенство *) показывает, что траектория точки В получается из траектории точки А путем параллельного перенесения ее на постоянный по величине и направлению вектор . Следовательно, траектории точек твердого тела, движущегося поступательно, представляют тождественные кривые, получающиеся друг из друга путем парал­лельного переноса (АВ||А’В’). Дифференцируя обе части формулы (*) по времени и замечая, что производная постоянного вектора равна нулю, получим:

или, вспоминая определение вектора скорости: т. е. скорости всех точек твердого тела, движущегося поступа­тельно, в любой момент времени друг другу равны как по вели­чине, так и по направлению. Дифференцируя обе части (2) еще раз по времени, получаем: т. е. ускорения всех точек поступательно движущегося твердого тела в любой момент времени одинаковы. Из доказанного следует, что поступательное движение твердого тела вполне, определяется движением какой-нибудь одной из его точек; следовательно, для изучения поступательного движения тела достаточно знания кинематики точки.

Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.

§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Рассмотрим движение твердого тела, при котором две точки его остаются неподвижными; такое движение представляет вращение тела вокруг проходящей через неподвижные точки прямой, называ­емой осью вращения. Пусть ось вращения тела совпадает с осью Oz. Чтобы опреде­лить положение тела, проведем через ось Oz две полуплоскости: подвижную Q, твердо связанную с вращающимся телом, и непод­вижную Р (рис. 25). Заданием двугранного угла φ(t) между этими полуплоскостями положение твердого тела вполне определяется. Т раекторией любой точки М твердого тела, вращающегося во­круг неподвижной оси, является окружность (рис. 25), располо­женная в плоскости, проведенной через М перпендикулярно к оси вращения; центр этой окружности находится в пересечении только что упомянутой плоскости и оси вращения; радиус окружности равен расстоянию h точки М от оси вращения. Дуга S(t), отсчитан­ная от начального положения Мо точки до положения ее М в мо­мент t, соответствующая углу поворота φ, равна S(t)=hφ(t). Направляя, как всегда, касательную к траектории точки, в дан­ном случае окружности, в сторону возрастания дуги, определим скорость в проекции ее на касательную:

(28)

величина h вынесена за знак производной по времени как расстоя­ние точки до оси, не изменяющееся при вращении твердого тела. Величину ω назовём угловой скоростью вращения тела. Скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвиж­ной оси, равна произведению угловой скорости тела на расстоя­ние точки до оси вращения. Направление вектора скорости определится касательной к окруж­ности, по которой движется точка. Таким образом, можно установить следующий закон распреде­ления скоростей в теле, вращающемся вокруг неподвижной оси: в данный момент времени скорости различных точек тела про­порциональны их расстояниям от оси вращения и направлены в сторону вращения тела перпендикулярно к плоскостям, про­ходящим через ось вращения и рассматриваемые точки.

При вычислении линейных скоростей точек вращающегося тела по формуле (28) необходимо помнить, что угловая скорость должна быть выражена в рад/сек, (1/сек). Перейдем к рассмотрению ускорений точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Воспользуемся для этого формулами проек­ций ускорения на касательную и главную нормаль к траектории - и данном случае окружности радиуса h:

^{, (2.9)}

з десь обозначено , где через ε обозначено угловое ускорение. Касательную и нормальную составляющие ускорения принято называть соответственно вращательной и осестремительной составляющими ускорения, или кратко вращательным и осестремительным ускорениями.

Осестремительная проекция ускорения, как видно из послед­ней формулы, всегда положительна, т.е. осестремительное ускорение всегда направлено по радиусу окружности от точки к оси вращения. Что же касается вращательной соста­вляющей, то она направлена по касательной в сторону положительного отсчета углов (и дуг), если ε > 0, и в противо­положную сторону при ε < 0. На рис. 26 показано взаимное расположение вращатель­ного и центростремительного ускорений и скорости при одном и том же направлении вращения тела. Полное ускорение точки вращающегося тела

^,

угол α, образованный вектором ускорения (рис. 26) с направлением нормали к траектории: _.

Таким образом, приходим к следующему закону распределения ускорений в твердом теле, вращающемся вокруг неподвижной оси: в данный момент времени ускорения точек тела пропорциональны расстояниям точек от оси вращения и наклонены под одинако­выми углами к радиусам вращения.

Рассмотрим пример. Сравним скорости и ускорения на ободе маховика паровой машины, имеющего диаметр D=l,5м и вращающегося с угловой скоростью N =240 об/мин, и турбинного диска, имеющего диаметр 10 см и совершающего 18 000 об/мин.

В первом случае _{, h=D/2=0.75 м} и, следовательно, V=0,75•8π=18,85м/сек . Окружная скорость и центростремительное ускорение точки обода тур­бинного диска будут:

,

Ускорение частицы на ободе диска в 126000 раз превосходит ускорение силы тяжести g=9,81 .