§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

С корость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, может быть записана в виде

(2.10)

Здесь - орт вектора , причём =const, для определённости ось вращения обозначим OZ. Так как , то , откуда следует, что первое слагаемое в формуле (2.10) равно нулю, а второе – перпендикулярно радиусу-вектору . Тогда выражение для скорости можно записать в следующем виде , где - является вектором, который и надо определить. Раскроем векторное произведение

^(2.11)

Последнее слагаемое равно нулю, т.к. проекция скорости точки на ось вращения (на ось OZ) равна нулю (по определению), следовательно, для любых x и y должно выполняться и , то-есть вектор направлен по оси вращения. Для точки, движущейся по окружности радиуса, уравнения движения записываются в виде

,

а для скоростей точек получим выражение

^{. (2.12)}

Из сравнения формул (2.11) и (2.12) следует, что . Вектор , направленный по оси вращения и численно равный скорости изменения угла поворота, назовём вектором угловой скорости, в дальнейшем будем его обозначать . Тогда получим основную формулу кинематики твёрдого тела и, как увидим далее, она сохраняет свой вид и в случае вращения тела вокруг неподвижной точки (формула Эйлера)

(2.13)

Скорость конца вектор-радиуса постоянного по модулю определяется угловой скоростью вращения этого вектора. Величина векторного произведения (33) равна (рис.26) .

Вектор можно расположить в любом месте на оси вращения, следовательно, это скользящий вектор в отличии от вектора скорости, который является приложенным вектором. Перейдём к рассмотрению ускорений точек тела вращающегося вокруг неподвижной оси. По определению ускорение точки есть производная от вектора скорости

,

т.к. орт не меняет своего направления, и, учитывая что , получим

(2.14)

Первое слагаемое - вращательное ускорение, направленное по вектору скорости при ускоренном вращении и против вектора скорости при замедленном вращении, модуль вращательного ускорения равен второе слагаемое - есть осестремительное ускорение, направленное всегда к оси вращения и численно равно (рис.26).

Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела

§ 1. Уравнения плоского движения.

В предыдущей главе были рассмотрены два наиболее простых случая движения твердого тела: поступательное и вращательное вокруг неподвижной оси. Перейдем теперь к изучению более сложного случая движения – плоского - параллельного движения твердого тела, или (сокращённо) плоского движения. Под плоским движением понимают движение, при котором все точки твердого тела, расположенные в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, во все время движения остаются в тех же плоскостях. Если разбить мысленно тело на плоские сечения, параллельные заданной плоскости, то эти сечения будут скользить каждое в своей плоскости. Этот случай движения имеет большое техническое значение; ме­ханизмы, встречающиеся в технике, за немногочисленными исклю­чениями, представляют системы твердых тел, совершающих плоское движение. Вращение тела вокруг неподвижной оси является частным случаем плос

…Рис. 28 кого движения; движение колеса по прямолинейному пути дает еще один пример; плоское движение совершают также механизмы для вычерчивания разных кривых (эллипсограф, конхоидограф), всевозможные кулисные механизмы, эпициклические механизмы, применяемые в редукторах скорос тей, и т. д. Пусть тело А (рис. 28) совершает движение, параллельное пло­скости П. Проведем мысленно в теле ряд плоскостей П', II", ... , параллельных П. Тело разобьется на ряд плоских фигур S', S",… . Движение одной такой плоской фигуры вполне опреде­ляет движение всего твердого тела, так как плоскости, которыми мы разбили твердое тело, друг с другом не

Рис 29 изменно связаны и не могут двигаться друг по отношению к другу. Если мы возьмем в какой-нибудь фигуре S' точку М и восста­вим в ней перпендикуляр к плоскости фигуры S, то точки М и М" фигур S' и S", лежащие на этом перпендикуляре, будут иметь одинаковое движение, т. е. будут описывать одинаковые траектории, иметь одинаковые скорости, одинаковые ускорения. Таким образом, можно значительно упростить изучение плоскою движения твердого тела — достаточно изучить движение одной пло­ской фигуры в ее плоскости. Следует здесь отметить, что при плоском движении тела все перемещения, скорости и ускорения точек должны лежать в плоскости фигуры. Возьмем две системы осей в плоскости движения фигуры: одну систему Оху неподвижную, другую - О'х'у', неизменно связанную с движущейся фигурой (рис. 29). Положение точки М фигуры в неподвижной плоскости будем определять вектор-радиусом , проведенным из начала О неподвижной системы осей; выбор рассматриваемой точки фигуры определяется указанием вектора ', проведеного из начала О' подвижной системы. Вектор-радиус начала О' относительно О обозначим через . Тогда

Проекции вектора (t) на оси х и у могут быть записаны в виде

^(2.15)

Декартовы координаты х' и точки М в системе под­вижных осей остаются постоянными.