§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.

Рассмотрим некоторую вектор-функцию , проекции которой в относительной системе координат , являются заданными функциями времени, и сравним между собой векторные производ­ные от этой функции, вычисленные наблюдателями в абсолютной и относительной системах координат. Для этого, замечая, что ^, составим производную по времени от вектора в абсолютной си­стеме координат

(2.33)

Первые три слагаемые в выражении (2.33), являются производной от вектора , вычисленной в предположении неизменности направления единичных векторов осей относительной системы координат.

Такое выражение естественно назвать относительной производной. Для преобразования остальных слагаемых векторного выражения, вспомним формулу (2.24)-скорость вектора постоянного по модулю есть , откуда следует ^, где - вектор угловой скорости вращения относитель­ной системы координат . Таким образом, равенство (2.23) приобретает вид

(2.34)

и мы приходим к следующей весьма важной для дальнейшего лемме: абсолютная производная по времени от вектора равна геометрической сумме относительной производной того же вектора и векторного произведения вектора угловой скорости вращения отно­сительной системы координат на дифференцируемый вектор.

Применим доказанную лемму для вывода теоремы о сложении скоростей. С этой целью вычислим абсолютную производную по времени от обеих частей равенства (2.32) будем иметь:

или ^. (2.35)

Но сумма первых двух слагаемых справа по известной формуле для скоростей точек твердого тела (формула 2.30) есть переносная скорость . Итак, окончательно получим

^. (2.36)

Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скорости.

§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.

Чтобы перейти к ускорениям, вычислим абсолютную производную по времени от обеих частей соотношения (54), выражающего теорему сложения скоростей. Получим:

Преобразуем это равенство так, чтобы производные от векторов брались в той системе координат, к которой дифференцируемый вектор отнесен; так, производные от - берутся в абсолютной системе Oxyz, тогда как производные от берутся в подвижной системе . Поэтому

Подставляя полученные формулы в предыдущее выражение и произведя перегруппировку слагаемых, получим

, (2.37)

Здесь , , . В ускорении _первое слагаемое определяет ускорение поступательного движения, равное ускорению точки О', а второе и третье: и - вращательную и центростремительную состав­ляющие ускорения вращения тела вокруг этой точки, а в целом, это переносное ускорение точки М.

Здесь абсолютное ускорение точки, - ее относитель­ное ускорение. Последнее слагаемое

(2.38) называют поворотным ускорением или (по имени французского ученого XIX столетия Кориолиса) кориолисовым ускорением.

Как видно из хода вывода, ускорение Кориол'иса составилось из двух одинаковых слагаемых . Первое из них появилось при вычислении абсолютной производной от вектора относительной скорости и выражает изменение вектора относительной скорости, обусловленное поворотом этого вектора вместе с относительной системой координат. Второе возникло при вычислении абсолютной производной от переносной скорости за счет изменения во времени относительного вектор-радиуса точки. Итак, имеем:

(2.39)

Формула (2.39) представляет теорему сложения ускоре­ний: абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.

Относительное ускорение определяется в относительной си­стеме координат по правилам кинематики точки. Переносное ускорение вычисляется методами кинематики твер­дого тела, в зависимости от того, какое движение совершает относительная система . Остановимся специально на определении третьего слагаемого в формуле сложения ускорений — поворотного (кориолисова) ускоре­ния. Как непосредственно следует из (2.38), величина этого ускоре­ния находится по формуле , а направление — по общему правилу векторного умножения. Укажем другой часто употребляемый способ (правило Н.Е.Жуковского): проекцию вектора относительной скорости перпендикулярную вектору повернуть в сторону вращения на угол . Отметим некоторые частные случаи определения поворотного ускорения:

1. Поворотное ускорение равно нулю, если:

а) = 0, т. е. в случае поступательного движения подвижной системы кординат

б) вектор параллелен , т. е. если точка в относительном ее движении перемещается параллельно оси вращения системы.

Н аличием кориолисового ускорения объясняются многочисленные явления, происходящие на поверхности Земли вследствие ее вра­щения: это конфигурация русла рек, образование и движение циклонов, определяющих погоду на Земле и т.д. Более подробно эти явления будут рассмотрены в разделе динамики относительного движения точки. В качестве иллюстрации рассмотрим движение точки в полярной системе координат - движение точки по стержню, который вращается в плоскости чертежа по закону . Разложим эти два движения как относительное движение точки по стержню и переносное движение – вращение стержня относительно неподвижной оси (рис. 42). Тогда относительная скорость равна и направлена вдоль стержня, переносная скорость направлена перпендикулярно стержню в сторону возрастания угла . Очевидно . Величина абсолютной скорости будет равна

П ерейдём к определению абсолютного ускорения (рис. 43). С этой целью остановим переносное движение “e”-stop, тогда . Теперь пусть “r”-stop, надо определить ускорение того места стержня, где «остановлено» относительное движение. Будем иметь и . Ускорение Кориолиса равно , так как вектор угловой скорости перпендикулярен вектору относительной скорости. Спроектируем абсолютное ускорение на две оси: вдоль стержня (радиальное) и перпендикулярно (трансверсальное) стержню:

, (2.40)