- •Глава 4.
- •Глава 6.
- •Глава 9.
- •Глава 10.
- •Глава 11.
- •Глава 12.
- •Глава 13.
- •Глава 14.
- •Глава 15.
- •Глава 16
- •Глава 18
- •Глава 1.
- •§ 1. Аксиомы и принципы статики твёрдого тела.
- •§ 2. Момент силы относительно произвольного центра, оси.
- •§ 3. Пара сил и её свойства.
- •§ 4.Главный вектор и главный момент системы сил. Правило Пуансо.
- •§ 5. Приведение системы сил к простейшему виду.
- •§ 6. Уравнения равновесия тела.
- •Глава 2. Центр параллельных сил и центр тяжести.
- •§ 1. Центр параллельных сил.
- •§ 2. Центр тяжести, методы определения координат центра тяжести.
- •Глава 3. Равновесие при наличии сил трения.
- •§ 1. Трение скольжения Угол трения, конус трения.
- •§ 2. Задача об опрокидывании тела. Трение качения.
- •Кинематика
- •Глава 4. Кинематика точки.
- •§ 1. Способы задания движения точки. Уравнения движения точки; траектория.
- •§ 2. Натуральный триэдр траектории.
- •§ 3. Скорость точки.
- •§ 4. Ускорение точки.
- •§ 5. Поступательное движение твердого тела.
- •Глава 5. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
- •§ 1 Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 2. Векторные формулы скорости и ускорения точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Глава 6. Кинематика плоского движения твердого тела
- •§ 1. Уравнения плоского движения.
- •§ 2. Скорости точек плоской фигуры.
- •§ 3. Мгновенный центр скоростей плоской фигуры.
- •§ 4. Ускорения точек плоской фигуры.
- •Глава 4. Вращение тела вокруг неподвижной точки. Общий случай движения тела.
- •§ 1. Определение положения твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 2 Углы Эйлера, матрицы поворота.
- •§ 3. Угловая скорость и угловое ускорение твердого тела, имеющего неподвижную точку.
- •§ 4. Скорости и ускорения точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижного центра.
- •Глава 6.
- •§ 5. Определение положения твердого тела в пространстве.
- •§ 6. Скорости и ускорения в общем случае движения твердого тела.
- •Глава 8. .Кинематика относительного движения точки и тела.
- •§ 1. Абсолютное, относительное и переносное движения.
- •§ 2. Теорема о сложении скоростей в относительном движении.
- •§ 3. Сложение ускорений, теорема Кориолиса.
- •§ 4. Сложение вращений твёрдого тела.
- •§ 5. Общий случай движения тела (для скоростей).
- •Динамика точки и твёрдого тела
- •Глава 9. Динамика точки.
- •§ 1. Основные положения и аксиомы динамики
- •§ 2. Дифференциальные уравнения движения материальной точки.
- •§ 3. Динамики относительного движения точки.
- •Глава 10. Количество движения системы.
- •§ 1. Уравнения динамики системы материальных точек и твёрдого тела.
- •§ 2. Теорема об изменении количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Теорема о движении центра масс.
- •Глава 11. Кинетический момент системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Теорема об изменении главного момента количества движения системы материальных точек.
- •§ 3. Кинетический момент тела, вращающегося относительно неподвижной точки.
- •§ 3. Момент инерции относительно произвольной оси. Тензор инерции.
- •§ 4. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
- •§ 5. Вычисление моментов инерции.
- •§ 6. Преобразование моментов инерции.
- •§ 7. Кинетический момент твердого тела.
- •Глава 12. Дифференциальные уравнения движения твердого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения вращения твердого тела.
- •§ 2. Общий случай движения твердого тела.
- •§ 3. Динамика плоско-параллельного движения тела.
- •§ 4. Реакция оси вращающегося тела.
- •§ 5. Задача о физическом маятнике.
- •Глава 13. Кинетическая энергия системы и твёрдого тела.
- •§ 1. Кинетическая энергия системы материальных точек.
- •§ 2. Кинетическая энергия твердого тела.
- •§ 3. Работа силы. Мощность.
- •§ 4. Примеры вычисления потенциальной энергии и работы
- •§ 5. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •§ 6. Закон сохранения механической энергии.
- •Динамика несвободной системы. __________________________________________________________Глава 14. Возможные перемещения.
- •§1. Связи, классификация связей, число степеней свободы.
- •§2. Возможные перемещения.
- •§ 3. Принцип освобождаемости. Идеальные связи.
- •§ 4. Статический принцип возможных перемещений.
- •§ 5. Динамический принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики.
- •Глава 15. Уравнение Лагранжа второго рода и его приложения.
- •§ 1. Вывод уравнения Лагранжа второго рода.
- •§ 2. Диссипативная функция.
- •§ 8. Представление кинетической энергии как функции обобщённых скоростей.
- •§ 9. Интеграл энергии.
- •Малые колебания системы с одной степенью свободы.
- •Глава 16 Свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 1. Устойчивость равновесия голономной системы в консервативном силовом поле.
- •§ 2. Малые свободные колебания системы с одной степенью свободы.
- •§ 3. Свободные колебания системы с учётом линейно-вязкого сопротивления.
- •Глава 17.
- •§ 1. Вынужденные колебания без сопротивления. Биения, резонанс.
- •§ 2. Вынужденные колебания системы с учётом линейно-вязкого трения.
- •§ 3. Динамические характеристики вынужденных колебаний.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Некоторые задачи статики и динамики точки и твёрдого тела.
- •Глава 18 Уравнения статики деформируемого твёрдого тела.
- •§ 1. Дифференциальные уравнения равновесия нерастяжимой нити.
- •§ 2. Статика деформируемых прямых стержней.
- •Глава 19. Элементарная теория удара
- •§ 1. Теорема импульсов и её приложения в теории удара.
- •§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
- •§ 3. Теоремы об изменении количества движения и кинетического момента при ударе.
- •§ 4. Удар, действующий на тело, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •§ 5. Условия отсутствия ударных реакций. Центр удара.
- •1.Статика.
- •2. Кинематика.
- •3. Динамика точки и твердого тела:
- •4. Динамика несвободной системы.
- •5. Колебания системы около положения устойчивого равновесия.
- •Дополнительные вопросы, включаемые по согласованию с выпускающими кафедрами: Динамические характеристики вынужденных колебаний. Нелинейные колебания точки. Метод Ван дер Поля.
- •3. Теорема о движении центра масс.
- •6. Теорема об изменении кинетической энергии.
§ 2. Задача Герца о прямом и центральном ударе двух тел.
Соударение тел — это сложный процесс, определяющими факторами которого являются форма тела и скорость соударения. Наиболее простая и совершенная форма тела — шар. Поэтому из всех известных в настоящее время теорий удара самой простой и совершенной является теория Герца соударения шаров. Предположим, что до удара шары движутся поступательно со скоростями, направленными по прямой, соединяющей их центры. Будем считать, что эта прямая совпадает с неподвижной осью z (рис.), причем координата центра масс первого шара всегда меньше координаты центра масс второго. Если скорость первого шара с радиусом больше скорости второго шара с радиусом , то в некоторый момент , когда шары коснутся друг друга в одной точке, произойдет соударение. Развивающуюся при ударе контактную силу P(t) называют ударной силой. В принятых обозначениях уравнения движения центров масс шаров имеют вид
.
О тсюда (3.74)
где — приведенная масса.
Рис 72 Расстояние между центрами масс шаров при соударении равно , т.е. . Уравнение с учетом сказанного принимает вид
(6.6)
Величину α, равную относительному смещению центров масс шаров, принято называть местным смятием. Термин «смятие» употребляется здесь не потому, что деформации предполагаются пластическими, а потому, что относительное перемещение шаров при силовом контакте происходит в основном вследствие деформации (смятия) их в зоне контакта.
Задача о статическом сжатии шаров в рамках классической теории упругости была решена Герцем в 1881 г. Решение это очень красиво, но сложно. Полученное решение показывает, что деформации быстро затухают по мере удаления от места контакта. Установленная Герцем зависимость между контактной силой Р и смещением α имеет вид
(6.7)
здесь - коэффициенты Пуассона, а и -модули Юнга соответственно первого и второго шаров.
Формула (6.7), строго говоря, является приближенной, так как получена в предположении, что в зоне контакта шары деформируются как плоские упругие полупространства. При скоростях соударения шаров, при которых еще не возникают пластические деформации, это условие выполняется. Таким образом, при упругом ударе шаров можно считать, что в уравнении (6.6) величины Р(t) и α связаны соотношением (6.7), т.е.
(6.8)
Нелинейное уравнение (6.8), является уравнением вида , умножая левую и правую части на , получим - уравнение с разделяющимися переменными
или
(6.9)
В момент обращения скорости относительного смещения в нуль величина α достигает максимального значения , поэтому
На первой стадии удара, когда величина α возрастает во времени, уравнение (6.9) можно записать в виде
.
Интегрируя его, получаем
Зависимость t от η может быть найдена только путем численного интегрирования. Определенный же интеграл при η = 1 вычисляется аналитически І= 1,4716.
Время нарастания контактной силы P(t) равно времени ее спада, поэтому время соударения T, выражается через вычисленный интеграл І по формуле
Полагая, что соударяются два одинаковых стальных шара и , .
При R = 1 см (m = 32,7 г) и получаем ,
Для сравнения проследим, как изменятся эти величины при увеличении скорости в 10, а затем и в 100 раз. В первом случае имеем
Во втором
При больших скоростях теорию Герца используют только для приближенной оценки основных параметров удара, так как даже у закаленных шаров, изготовленных из высококачественной стали, при скоростях соударения примерно 5—8 м/с наблюдаются местные пластические деформации.