2. Теорема Остроградского-Гаусса

Выделим в диэлектрике замкнутую гауссову поверхность (рис. 5.9). При однороднойполяризации диэлектрика на его поверхности возникнут связанные заряды, но внутри поверхности объёмных поляризационных зарядов не будет.

Рис. 5.9.

Ситуация меняется в случае неоднородной поляризации диэлектрика, которую мы здесь не рассматриваем.

Вычислим заряд, покидающийвыделенный объём через гауссову поверхность в результате поляризации (рис. 5.10):

,

где ’ — локальная поверхностная плотность поляризационных зарядов, возникших на выделенной поверхностиdS.

Рис. 5.10.

q’ — заряд,покинувшийобъём.

Тогда внутри гауссовой поверхности возникнет поляризационный заряд:

. (5.14)

Сформулируем теперь теорему Остроградского-Гаусса:

. (5.15)

Заряд, определяющий поток вектора напряжённости через гауссову поверхность, в случае диэлектрика складывается из «стороннего» заряда qи зарядаq_пол, возникшего в объёме в результате поляризации диэлектрика.

Воспользуемся результатом (5.14) и перепишем (5.15) ещё раз:

Здесь (см. 5.10) — вектор электрического смещения. Значит, теорему Остроградского-Гаусса для электрического поля в диэлектрике можно сформулировать так:

. (5.16)

Поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме несвязанных (свободных) зарядов, заключённых внутри этой поверхности.

Ещё раз напомним, что вектор электрического смещения (индукции) связан с вектором напряжённости электрического поля (5.12):

.

Преимущество теоремы Остроградского-Гаусса в форме (5.16) состоит в том, что теперь для расчёта потока не нужно знать величину поляризационных зарядов q_пол, возникающих в диэлектрике. Поток вектора электрической индукции определяется только суммой свободных зарядовq.

3. Условия на границе двух диэлектриков

Рассмотрим границу двух диэлектриков с проницаемостями ₁и₂соответственно (рис. 5.11.).

Рис. 5.11.

Напряжённость электрического поля в первой среде — . Направление этого вектора задано углом₁относительно нормали к границе раздела сред.

Определим величину и направление поля во второй среде — .

1. Воспользуемся теоремой о циркуляции электрического поля:

.

Выберем на границе раздела сред замкнутый прямоугольный контур длины l и ширины  (рис. 5.12.). Частично этот контур проходит в первой среде, а частично — во второй. Циркуляция вектора напряжённости электрического поля по этому контуру равна нулю.

.

Рис. 5.12.

Здесь мы учли, что вклад в циркуляцию участков стремится к нулю, при стремящейся к нулю ширине контура. Отсюда следует, что:

. (5.17)

При переходе через границу раздела сред, касательная составляющая вектора напряжённости не меняется.

Для того чтобы выяснить, как меняется нормальная составляющая вектора напряжённости на границе сред, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса (рис. 5.13.). Выберем на границе сред замкнутую цилиндрическую поверхность высоты hи с основаниямиS₁=S₂=S, лежащими по разные стороны границы раздела диэлектриков. Согласно теореме Остроградского-Гаусса:

.

Рис. 5.13.

Но по условию свободные заряды на границе раздела сред отсутствуют: q_{свободн}= 0, поэтому:

.

Устремляя высоту цилиндра hк нулю, придём к выводу, что к нулю будет стремиться и поток вектора электрической индукции через боковую поверхность цилиндра. Искомый поток будет складываться только из потоков через основания:

;

;

.

Но D=₀E. Следовательно:

.

Таким образом, нормальная составляющая вектора напряжённости электрического поля во второй среде равна:

. (5.18)

Теперь, зная составляющие вектора :

(5.17): ;

(5.18):

нетрудно найти и величину самого вектора:

.

Угол ₂, который вектор напряжённости поля образует во второй среде с нормалью к границе раздела диэлектриков, найдём, разделив уравнения (5.17) и (5.18):

. (5.19)

Уравнение (5.19) представляет собой закон преломления линий напряжённости электрического поля на границе раздела двух диэлектрических сред.