1. Закон Ома для неоднородного участка цепи. Закон Ома для замкнутого контура.

Вернёмся ещё раз к рис. 7.1. Здесь изображена замкнутая проводящая цепь. На участке цепи 1-а-2 движение носителей заряда происходит под действием только электростатической силы=q. Такие участки называютсяоднородными.

Совсем по-другому обстоят дела на участке контура 2-b-1. Здесь на заряды действует не только электростатическая, но и сторонняя сила. Полную силунайдем, сложив эти две:

.

Участок замкнутого контура, где наряду с электростатической силой действуют и сторонние силы, называют неоднородным.

Можно показать, что на однородном участке цепи средняя скорость направленного движения носителей заряда пропорциональна действующей на них силе. Для этого достаточно сравнить формулы, полученные на прошлой лекции: =(6.3) и=(6.13).

Пропорциональность скорости силе, а плотности тока — напряжённости сохранится и в случае неоднородного участка цепи. Но теперь напряжённость поля равна сумме напряжённостей электростатического поля и поля сторонних сил:

. (7.5)

Это уравнение закона Ома в локальной дифференциальной форме для неоднородногоучастка цепи.

Теперь перейдём к закону Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме.

Выделим двумя близкими сечениями Sучастокdlтрубки тока (рис. 7.3.). Сопротивление этого участка:

,

а плотность тока можно связать с силой тока:

.

Рис. 7.3.

Эти два выражения используем в уравнении (7.5), спроецировав его предварительно на линию тока:

Проинтегрировав последнее уравнение по неоднородному участку 1-2, получим:

.

Произведение IR_1-2=U— напряжение на участке 1-2;

первый интеграл справа ==₁–₂— разность потенциалов на концах участка;

второй интеграл ==_1-2— э.д.с. источника тока.

Учтя всё это, конечный результат запишем в виде:

. (7.6)

Это закон Ома для неоднородного участка цепи в интегральной форме. Обратите внимание, что напряжение на неоднородном участке цепиUне совпадает с разностью потенциалов на его концах (₁–₂):

IR_1-2=U_1-2= (₁–₂) +_1-2. (7.7)

Эти две величины равны только в случае однородного участка, где источники тока отсутствуют и _1-2= 0. Тогда:

U_1-2=₁–₂.

Для замкнутого контура уравнение закона Ома (7.6) несколько видоизменяется, так как разность потенциалов в этом случае равна нулю:

. (7.8)

В законе Ома для замкнутой цепи (7.8) R — полное сопротивление контура, складывающееся из внешнего сопротивления цепи R₀ и внутреннего сопротивления источника r:

R=R₀+r.

2. Правила Кирхгофа

Рассмотренные нами законы постоянного тока позволяют рассчитать токи в сложных разветвлённых электрических цепях. Эти расчёты упрощаются, если пользоваться правилами Кирхгофа.

Правил Кирхгофа два: правило токовиправило напряжений.

Правило токов относится к узлам цепи, то есть, к таким точкам схемы, где сходятся не менее трёх проводников (рис. 7.4.). Правило токов гласит: алгебраическая сумма токов в узле равняется нулю:

. (7.9)

Рис. 7.4.

При составлении соответствующего уравнения, токи, втекающие в узел, берутся со знаком плюс, а покидающие его — со знаком минус. Так, для узла А(рис. 7.3.) можно записать:

I₁–I₂–I₃+I₄–I₅= 0.

Это первое правило Кирхгофа является следствием уравнения непрерывности (см. (6.7)) или закона сохранения электрического заряда.

Правило напряженийотносится к любому замкнутому контуру разветвлённой цепи.

Выделим, например, в разветвлённой сложной цепи замкнутый элемент 1-2-3-1 (рис. 7.5.). Произвольно обозначим в ветвях контура направления токов I₁,I₂,I₃. Для каждой ветви запишем уравнение закона Ома для неоднородного участка цепи:

Участок .

Здесь R₁,R₂,R₃—полноесопротивление соответствующих ветвей. Сложив эти уравнения, получим формулу второго правила Кирхгофа:

I₁R₁–I₂R₂–I₃R₃=₁+₂–₃–₄+₅.

Правило напряжений формулируется так: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжения равна алгебраической сумме э.д.с., встречающихся в этом контуре:

. (7.10)

Рис. 7.5.

При составлении уравнения (7.10) второго правила Кирхгофа задаются направлением обхода: в нашем примере — по часовой стрелке. Токи, совпадающие с направлением обхода, берутся со знаком плюс (I₁), токи противоположного направления — со знаком минус (–I₂, –I₃).

Э.д.с. источника берётся со знаком плюс, если он создаёт ток, совпадающий с направлением обхода (+₁, +₂, +₅). В противном случае э.д.с. отрицательна (–₃, –₄).

В качестве примера составим уравнения правил Кирхгофа для конкретной электрической схемы — измерительного моста Уитстона (рис. 7.6.). Мост образуют четыре резистора R₁,R₂,R₃,R₄. В точкахAиBк мосту подключен источник питания (,r), а в диагоналиBD — измерительный гальванометр с сопротивлениемR_g.

Рис. 7.6.

1. Во всех ветвях схемы произвольнообозначим направления токовI₁,I₂, I₃, I₄, I_g, I_.

2. В схеме четыре узла: точки A,B,C,D. Для трёх из них составим уравнения первого правила Кирхгофа — правила токов:

точка А: I_ – I₁ – I₄ = 0; (1)

точка B: I₁ – I₂ – I_g = 0; (2)

точка D: I₄ + I_g – I₃ = 0. (3)

3. Для трёх контуров цепи ABDA,BCDBиADCAсоставим уравнения второго правила Кирхгофа. Во всех контурах направление обхода по часовой стрелке.

ABDA: I₁R₁ + I_gR_g – I₄R₄ = 0; (4)

BCDB: I₂R₂ – I₃R₃ – I_gR_g = 0; (5)

ADCA: I₄R₄ + I₃R₃ + I_r = . (6)

Таким образом, мы получили систему шести уравнений, решая которую можно найти все шесть неизвестных токов.

Но чаще мост Уитстона используется для измерения неизвестного сопротивления R_xR₁. В этом случае резисторыR₂,R₃иR₄— переменные. Меняя их сопротивления, добиваются того, чтобы ток в измерительной диагонали моста оказался равным нулюI_g= 0. Это означает, что:

I₁=I₂см. (1),

I₃=I₄см.(3),

I₁R₁ = I₄R₄ см. (4),

I₂R₂ = I₃R₃ см. (5).

Учитывая эти упрощающие обстоятельства, приходим к выводу, что:

,

или:

.

Замечательно, что для определения неизвестного сопротивления нужно знать лишь сопротивления резисторов моста R₂,R₃иR₄. Э.д.с. источника, его внутреннее сопротивление, как и сопротивление гальванометра при таком измерении не играют никакой роли.