1. Магнитное поле прямолинейного тока

Ток Iтечёт по бесконечному прямолинейному проводнику. Вычислим индукцию магнитного поля этого тока на расстоянииlот проводника (рис. 8.6.).

Рис. 8.6.

Элемент тока создаёт в рассматриваемой точке магнитное поле:

.

Вектор направлен перпендикулярно плоскости рисунка от нас (правило буравчика).

В скалярной форме это уравнение можно записать так:

. (8.6)

Для отыскания полного поля в точке Анужно просуммировать вклады всех элементов данного тока, то есть, рассмотреть интеграл:

.

Как следует из рисунка:

,.

Используя эти данные в (8.6), получим:

.

Теперь при сложении этих вкладов, то есть, при интегрировании, будет меняться только угол в пределах от 0 до:

. (8.7)

Вектор магнитной индукции поля прямолинейного тока пропорционален величине тока Iи обратно пропорционален расстояниюbот проводника до рассматриваемой точки.

Магнитное поле, также как и электростатическое, принято представлять графически магнитными силовыми линиями. Как и прежде, это, в общем случае, кривая, касательные к любой точке которой совпадают по направлению с векторами магнитной индукции в данных точках (рис. 8.7.).

Рис. 8.7.

Густота магнитных силовых линий равна значению индукции в данной области пространства.

«Густота» — это число силовых линий, проходящих через единичную поверхность, ориентированную перпендикулярно магнитному полю.

Поле прямолинейного тока обладает цилиндрической симметрией. Его силовые линии — окружности с центром на оси тока (рис. 8.8.).

Рис. 8.8.

2. Магнитное поле на оси кругового тока

Теперь магнитное поле создаётся током I, протекающим по проводнику в форме окружности радиусаR. Определим магнитное поле на оси этого кругового тока в точке, отстоящей от центра круга на расстоянииr(рис. 8.9.).

Рис. 8.9.

Вновь воспользуемся принципом суперпозиции магнитных полей. Разделим круговой ток на элементы . В рассматриваемой точке на оси тока каждый такой элемент создаёт поле:

.

Учитывая, что векторы ивзаимно перпендикулярны, запишем модульdB:

.

Симметрия задачи позволяет утверждать, что искомый вектор индукции будет направлен по оси кругового контура. Поэтому складывать следует осевые составляющие векторов —dB_||:

.

Интегрирование этого выражения по кольцу радиуса Rдаёт:

.

В центре контура (r= 0) индукция магнитного поля будет максимальной:

.

3. Магнитное поле движущегося заряда

Используя принцип суперпозиции, решим теперь задачу в некотором смысле обратную тем, которые мы решали до сих пор.

В законе Био-Савара-Лапласа речь идёт о магнитном поле, создаваемом элементом тока . Но ведь ток — это направленное движение электрических зарядов, поэтому можно предположить, что поле элемента тока возникает как результат наложения полей, создаваемых каждым движущимся носителем зарядаq₁(рис. 8.10.).

Рис. 8.10.

Тогда поле отдельного заряда можно вычислить, разделив индукцию поля элемента тока на число носителей dN, движущихся на участке проводникаdl:=.

Итак, запишем еще раз закон Био-Савара-Лапласа:

.

Здесь I=iS, где плотность токаi=q₁nV_n.

Поле элемента тока перепишем ещё раз в таком виде:

.

Векторы исовпадают по направлению, это позволяет последнее уравнение записать так:

.

Здесь dN=nSdl— число носителей заряда на участкеdlпроводника.

Искомое поле отдельного движущегося заряда:

.

Магнитное поле движущегося заряда перпендикулярно плоскости, содержащей векторы и.

В рассмотренной задаче вектор индукции направлен на нас, нормально к плоскости рисунка (рис. 8.11.).

Рис. 8.11.

В заключение отметим, что полученный результат многократно проверен экспериментально и подтверждён для всех случаев, когда V_n<<с. ЗдесьV_n— скорость направленного движения носителей заряда;с— скорость света.