2. Вынужденные колебания

Вынужденные колебания возникают в колебательном контуре RLC, когда потери энергии в нём периодически восполняются за счёт работы источника переменной э.д.с. (рис. 11.6.).

Рис. 11.6.

Мы рассмотрим частный случай, когда напряжение, поддерживающее колебания, меняется по гармоническому закону:

U=U₀cost.

Тогда уравнение Кирхгофа для этого контура можно записать так:

U_R + U_C + U_L = U₀cost. (11.14)

Ниже мы покажем, что в такой цепи будет течь переменный ток:

I=I₀cos(t–). (11.15)

Но прежде чем приступить к анализу этого уравнения, очень кратко рассмотрим особенности течения переменногоквазистационарноготока в резисторах, конденсаторах и катушках индуктивности.

1. Резистор (r) в цепи переменного тока (рис. 11.7.)

Рис. 11.7.

При протекании переменного тока I=I₀cost, падение напряжения на резисторе будет меняться по гармоническому закону:

U_R = IR = I₀Rcost. (11.15)

Причём колебания тока и напряжения будут происходить синфазно (рис. 11.7.).

2. Ёмкость в цепи переменного токаI=I₀cost(рис. 11.8.)

Рис. 11.8.

Вычислим напряжение на конденсаторе при течении в цепи переменного тока (рис. 11.8.):

. (11.16)

Напряжение на конденсаторе колеблется с той же частотой, что и ток, но по фазе ток в конденсаторе на опережает напряжение.

3. Индуктивность в цепи переменного тока (рис. 11.9.)

Рис. 11.9.

В катушке действует э.д.с. самоиндукции, поэтому закон Ома для неоднородного участка цепи запишем так:

U=Ir–^СИ.

Здесь сопротивление идеальной катушки индуктивности r= 0;^СИ=— э.д.с. самоиндукции. Тогда:

. (11.17)

Напряжение на катушке индуктивности на опережает по фазе ток (рис. 11.9.).

4. Вынужденные колебания. Резонанс.

Вернёмся к уравнению вынужденных колебаний (11.14):

U_R + U_C + U_L = U₀cost.

Теперь мы знаем, что здесь:

U_R=I₀Rcost;

;

.

Сложим эти три гармонические колебания, воспользовавшись методом векторных диаграмм (рис. 11.10.). Для этого выберем ось тока (I).U_Rпредставим вектором, совпадающим по направлению с направлением оси тока. НапряженияU_CиU_Lбудут представлены векторами, повёрнутыми относительно оси тока наисоответственно.

Рис. 11.10.

Сложение трёх колебаний заменим теперь сложением этих трёх векторов.

Сумма падений напряжений на индуктивности и ёмкости определит реактивнуюсоставляющую полного напряжения —U_р.

. (11.18)

Амплитуда этого напряжения, как следует из (11.18) пропорциональна амплитуде тока.

Рассматривая последнее уравнение, как запись закона Ома, можно коэффициент пропорциональности между током и напряжением назвать сопротивлением этого участка.

R_p= — реактивное сопротивление контура.

Продолжим сложение векторов и к уже полученной сумме прибавим вектор, изображающий U_R=I₀R.

Результатом сложения всех трёх колебаний (векторов) будет напряжение U=U₀cost, поддерживающее вынужденные колебания в контуре (см. 11.4).

Как следует из векторной диаграммы, амплитуда этого напряжения равна:

. (11.19)

Или амплитуда тока в цепи:

. (11.20)

При этом ток будет запаздывать по фазе от напряжения на :

. (11.21)

Уравнения (11.19) и (11.20) иногда называют законом Ома для переменного тока. Но надо иметь в виду, что эти формулы связывают только амплитудные значения токаI₀и напряженияU₀.

В уравнении (11.21) — полное сопротивление колебательного контура, складывающееся из активного (R) и реактивногосопротивлений.

Теперь проанализируем полученные результаты (11.20) и (11.21).

Пусть в колебательном контуре RLC(рис. 11.6.) действует источник переменного напряжения:

U=U₀cost.

Теперь мы уже знаем, что в контуре установятся гармонические колебания тока:

I=I₀cos(t–).

Амплитуда этого колебания прямо пропорциональна амплитуде приложенного напряжения U₀и обратно пропорциональна полному сопротивлению контура:

.

Ток будет отставать по фазе от напряжения на угол :

.

Будем теперь менять частоту возбуждающего сигнала, оставляя его амплитудуU₀неизменной.

При = 0,I(= 0) = 0. Это легко понять: ведь сопротивление колебательного контура, с его ёмкостьюС, бесконечно для постоянного тока (R_C==при= 0). Отсюда и нулевой ток.

Ток будет стремиться к нулю и в случае неограниченного роста частоты колебаний. При ,R_L=LиI0.

В промежутке между этими предельными значениями частоты, амплитуда тока проходит через максимум. Резонансные кривые для амплитуды силы тока I₀=I₀() приведены на рис. 11.11.

Рис. 11.11.

Амплитуда I₀достигает максимума, когда реактивное сопротивление контура становится равным нулю:

. (11.22)

При этой (резонансной) частоте сопротивление контура будет определяться только сопротивлением резистора R:

(11.23)

Из (11.22) следует, что резонанс тока наступает при частоте _P=₀, равной частоте собственных незатухающих колебаний контура:

.

Понятно, что уровень резонансного максимума амплитуды тока зависит от величины активного сопротивления контура (11.23).

Анализ зависимости фазового сдвига от частоты приводит к выводу, который графически представлен на рис 11.12.

Рис. 11.12.

Наибольший интерес представляет момент резонанса, когда частота вынуждающего сигнала равна частоте ₀. Тогда амплитуда тока достигает своего максимума, а разность фаз между током и приложенным напряжением равна нулю (= 0).

Контур в этом случае выступает как чисто активное сопротивление.

Этот важный частный случай вынужденных колебаний называется резонансом напряжений. Именно резонанс напряжений используется в радиотехнике при настройке на сигнал строго определённой частоты.