1. Законы Ома для участка цепи

   1. Закон Ома в интегральной форме

Немецкий физик Георг Ом в 1826 году экспериментально установил, что сила тока, протекающего по металлическому проводнику прямо пропорциональна разности потенциалов (напряжению) на концах проводника:

I=(₁–₂) =U. (6.8)

Коэффициент пропорциональности, связывающий силу тока в проводник и напряжение — , называется электрической проводимостью. Величина, обратная проводимости — электрическое сопротивление проводника. Сопротивление зависит от материала проводника, его формы, размеров и состояния. Например, сопротивление цилиндрического проводника (проволоки):

. (6.9)

Здесь: — удельное сопротивление вещества, из которого сделан проводник;

lиS— длина и площадь поперечного сечения проводника.

Сопротивление измеряется в омах. 1 Ом — это сопротивление такого проводника, в котором течёт ток I= 1 А при напряженииU= 1 В:

.

Удельное сопротивление в системе СИ измеряется в Омм:

.

Удельное сопротивление вещества зависит от температуры. В не слишком широком диапазоне температур удельное сопротивление многих проводников является линейной функцией температуры:

=₀(1 +t). (6.10)

Здесь: ₀— удельное электрическое сопротивление вещества при 0С;

— температурный коэффициент сопротивления.

Для всех чистых металлов =0.037, то есть температурный коэффициент их удельного сопротивления близок к температурному коэффициенту расширения идеальных газов. Температурный коэффициент сопротивления проводниковIрода (металлов)_I> 0, аIIрода (электролитов)_II< 0. Это означает, что с понижением температуры удельное сопротивление металлов уменьшается, а электролитов — растёт.

При температурах близких к абсолютному нулю (0.2 20 К) сопротивление многих металлов и их сплавов скачком уменьшается до нуля. Это состояние вещества называется сверхпроводящим. Впервые явление сверхпроводимости было обнаружено для ртути в 1911 году голландским физиком Камерлинг-Оннесом.

Не так давно обнаружено сверхпроводящее состояние ряда керамических материалов, которое наступает при достаточно высоких температурах ~100 К («высокотемпературная сверхпроводимость»).

Рассмотренный закон пропорциональности тока в проводнике и напряжения:

(6.11)

называется законом Ома в интегральной форме. Он позволяет вычислить ток, текущий в цилиндрических проводниках. Но как быть, если электрический ток течёт, например, в электропроводящей среде, заполняющей пространство между обкладками сферического или цилиндрического конденсатора? В подобных случаях на помощь приходит другой закон Ома, к изучению которого мы и приступаем.

2. Закон Ома в дифференциальной форме

Представим себе электрический ток не в привычном для нас проводнике, а однородной изотропной проводящей среде. В своём направленном движении носители заряда перемещаются по траекториям, которые называются «линии тока». Выделим в среде небольшую поверхность S. Линии тока, коснувшиеся границы этой поверхности, в дальнейшем вырезают в пространстве «трубку тока» (рис. 6.4.). Особенность этой трубки состоит в том, что заряженные частицы, движущиеся внутри трубки тока, не пересекают её боковую поверхность, то есть они никогда не покидают свою трубку тока.

Рис. 6.4.

Выделим в трубке тока два эквипотенциальных сечения S₁иS₂, отстоящие друг от друга на расстоянииl(рис. 6.5.). Потенциалы этих сечений₁и₂=₁+. Для выделенного элемента трубки тока запишем закон Ома (6.11):

.

Рис. 6.5.

Сократив Sи введя удельную электропроводимость=, получим:

.

Этот результат становится совсем точным, если перейти к пределу, устремив lк нулю. ТогдаS=S₁=S₂, так как трубка становится цилиндрической. Кроме того:

. (6.12)

Учитывая этот результат, плотность тока запишем так:

i=E,

или в векторном виде:

. (6.13)

Уравнение (6.13) — математическая записьзакона Ома в дифференциальной форме. В этом законе связываются две «локальные» характеристики тока: плотность токав любойточкепространства и напряжённость электрического поляв той же точке. В соответствии с этим законом, плотность электрического тока прямо пропорциональна напряжённости поля в рассматриваемой точке пространства.

В приведённых рассуждениях есть момент, который не может не настораживать: в законе (6.13) Е— напряжённость электрического поля в проводящей среде с током. А для вычисления этой характеристики мы воспользовались связью напряжённости и потенциала электростатического поля в вакууме (6.12). Однако можно показать, что напряжённость электрического поля внутри однородной проводящей среды совпадает с электростатическим полем, которое существует в вакууме, если обеспечивается то же пространственное распределение потенциала, что и в проводящей среде при наличии тока (см., например, [2]).

Теперь на примере расчёта тока утечки в сферическом конденсаторе покажем, как используется закон Ома в дифференциальной форме для решения вполне реальных задач.