Лемма 2.6. arcsin x = x +	∞	(2n − 1)!!		x2n+1	,	x	[ 1, 1].
	kX
		(2n)!! 2n + 1					−
	=1

Заметим, что функция f(x) = arcsin x дифференцируема на (−1, 1) и

(arcsin x)0

=

√

1

.

2

В силу леммы 2.4

1 − x

(arcsin x)0 =

1

= 1 +

∞

(2n − 1)!!

x2n,

x

( 1, 1).

√

1

−

x

2

=1

2nn!

−

kX

Интегрируя полученное тождество на отрезке [0, x], x (−1, 1), имеем:

arcsin x = x +

∞

(2n − 1)!!

x2n+1

,

x

(

1, 1).

=1

(2n)!!

2n + 1

−

kX

В точке x = 1 полученный ряд имеет вид

∞

(2n − 1)!!

1

. Он схо-

2n + 1

=1

(2n)!!

дится в силу признака Раабе

kX

Rn = n

an

−

1!

= n

6n + 5

3

> 1.

an+1

4n

+ 2n + 1 −→ 2

Ясно, что он сходится и в точке x = −1, то есть сходится на отрезке [−1, 1]. Поэтому его сумма S(x) непрерывна на отрезке [−1, 1]. Учитывая непрерывность функции arcsin x на отрезке [−1, 1], получаем указанное разложение.

	π		nX
Cледствие.	2	= arcsin 1 = 1 +	=1

(2n − 1)!! 1 (2n)!! 2n + 1.

2.10Задания для самостоятельной работы

2.10.1Функциональные последовательности

1.Пусть функции fn(x), n N, непрерывны на множестве X и функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 сходится равномерно на X. Доказать, что эта последовательность сходится равномерно на множестве X (замыкании X).

2.Пусть при каждом n N функция fn : R → R равномерно непрерыв-

R

на на R и fn(x) f(x). Доказать, что f(x) равномерно непрерывна на R.

X

3.Пусть fn(x) f(x), а функция f(x) ограничена на множестве X. Доказать, что существуют такие числа A > 0 и N N, что |fn(x)| ≤ A, n > N, x X, то есть функциональная последовательность {fn(x)}∞n=N+1 равномерно ограничена на X.

69

4.Пусть функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 равномерно сходится на множестве X, где функции fn(x), n N, ограничены на X. Доказать, что функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 равномерно ограничена на X.

5.Пусть функциональные последовательности {fn(x)}∞n=1, {gn(x)}∞n=1 сходятся равномерно на множестве X. Доказать, что для любых

α, β R функциональная последовательность {αfn(x) + βgn(x)}∞n=1 сходится равномерно на множестве X.

X

6.Пусть fn(x) f(x), а функция g(x) определена и ограничена на этом множестве. Доказать, что функциональная последовательность {g(x) fn(x)}∞n=1 сходится равномерно на множестве X к функции g(x) f(x).

X X

7.Пусть fn(x) f(x), gn(x) g(x), и функции fn(x) и gn(x), n N, ограничены на X. Доказать, что функциональная последовательность {fn(x) gn(x)}∞n=1 сходится равномерно на множестве X к функции f(x) g(x).

8.Привести пример таких двух функциональных последовательностей

{fn(x)}∞n=1 и {gn(x)}∞n=1, равномерно сходящихся на [0, 1], что последовательность {fn(x) gn(x)}∞n=1 сходится на [0, 1] не равномерно.

9.Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема на (a, b). Доказать, что функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1, где

1

!

fn(x) = n · f(x + n) − f(x) , n N,

сходится равномерно к f0(x) внутри (a, b).

10.Может ли последовательность разрывных на сегменте [a, b] функций равномерно сходиться на [a, b] к непрерывной на [a, b] функции? Если да, то привести пример, если нет — объяснить почему.

11.Может ли последовательность непрерывных на сегменте [a, b] функций {fn(x)}∞n=1 равномерно сходиться на [a, b] к функции, разрывной на [a, b]? Если да, то привести пример, если нет, то объяснить почему.

12.Привести пример функциональной последовательности {fn(x)}∞n=1, равномерно сходящейся на [0, 1] к неограниченной функции f(x).

13.Привести пример последовательности функций fn(x), n N, удовлетворяющей условиям:

(a)функции fn(x), n N, непрерывны на (0, 1);

70

(b)для любого x0 (0, 1) последовательность {fn(x0)}∞n=1 монотонна;

(c)функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 не сходится равномерно на (0, 1) к непрерывной на (0, 1) функции f(x).

Какое условие теоремы Дини нарушено?

14. Пусть последовательность непрерывных на [a, +∞) функций fn(x) сходится поточечно к непрерывной на [a, +∞) функции f(x) и

(a) существуют конечные пределы lim f(x) = A и	lim fn(x) = An;
x→+∞	x→+∞
(b) lim An = A;
n→+∞

(c) x [a, +∞) последовательность {fn(x)}∞n=1 монотонна.

Доказать, что функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 сходится равномерно на промежутке [a, +∞).

15.Привести пример последовательности непрерывных на [0, 1] функций fn(x), n N, сходящейся поточечно на [0, 1] к непрерывной на [0, 1]

n	+	1		n	1
		Z	f		6 Z
функции f(x), и такой, что	lim				(x)dx = f(x)dx.
	→ ∞	0			0

16.Привести пример последовательности непрерывных на [0, 1] функций fn(x), n N, неравномерно сходящейся на [0, 1] к непрерывной на

	(	)		1	n	1
[0, 1] функции f			, и такой, что	n→∞ Z		Z
		x		lim	f (x)dx =	f(x)dx.
				0		0

17.Привести пример последовательности непрерывных на [0, 1] функций, сходящейся поточечно на [0, 1] к функции f(x) / R[0, 1].

18.Пусть Hm (m N) — множество всех многочленов степени не вы-

ше m, функции fn(x) Hm для всех n N, и функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 поточечно сходится на отрезке [a, b] к функции f(x). Доказать, что:

(a)f(x) Hm;

(b)функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 сходится равномерно на [a, b] к функции f(x).

19.Функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 называется равномерно непрерывной на отрезке [a, b], если

ε > 0 δ = δ(ε) > 0 : x0, x00 [a, b], |x0 − x00| < δ, n N,

выполняется неравенство |fn(x0) − fn(x00)| < ε. Доказать, что если функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 непрерывных функций равномерно сходится на [a, b], то она равномерно непрерывна на

[a, b].

71

20.Доказать теорему Арцела: если функциональная последовательность {fn(x)}∞n=1 равномерно ограничена и равномерно непрерывна на [a, b], то из нее можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся на этом отрезке.

2.10.2 Функциональные ряды

∞

X

1. Пусть функциональный ряд un(x) сходится равномерно на множе-

n=1

стве X, а функция ϕ(x) определена и ограничена на этом множестве.

∞

X

Доказать, что функциональный ряд ϕ(x)un(x) также равномерно

n=1

сходится на множестве X.

∞

2. Пусть функциональный ряд X |vn(x)| сходится равномерно на мно-

n=1

жестве X, а функции un(x), n N определены на X и удовлетворяют условию |un(x)| ≤ |vn(x)| для всех x X. Доказать, что функцио-

∞

X

нальный ряд un(x) сходится на X абсолютно и равномерно.

n=1

X

|

1

|

nX

−

3. Доказать, что если ряд

∞

сходится, то ряд

∞

1

сходится

n=1

a

=1

x

a

n

n

абсолютно и равномерно на любом замкнутом ограниченном множестве, не содержащем точек x = an, n N.

4. Показать, что из условий

	∞
(a) ряд	nX
	un(x) сходится на множестве X равномерно,
	=1
(b) последовательность vn(x) ограничена в совокупности на X,
		∞
вообще говоря, не следует, что ряд		nX
		un(x)vn(x) равномерно сходит-
		=1

ся на X. Какие дополнительные условия надо наложить на последовательность {un(x)} или на последовательность {vn(x)}, чтобы га-

	∞
рантировать равномерную сходимость ряда	nX
	un(x)vn(x) на X?
	=1

5. Следует ли из абсолютной и равномерной сходимости функциональ-

		∞
	ного ряда	nX
		un(x) на множестве X равномерная сходимость ряда
	nX	=1	X
		на X? (Рассмотрите пример		− x), X = [0, 1].)
	∞ |un(x)|		∞ (−1)nxn(1
	=1		n=1

∞

6. Пусть функциональный ряд P un(x) сходится абсолютно в точках

n=1

a и b, a < b, а функции un(x), n N, монотонны на отрезке [a, b]. Доказать, что этот ряд сходится абсолютно и равномерно на [a, b].

72

Xn

	X			nX
7. Пусть числовой ряд	∞ an2 сходится, ряд			∞ un2 (x) сходится поточечно
	n=1			=1
на множестве X и его сумма ограничена на X. Доказать, что ряд
∞
nX
an un(x) абсолютно и равномерно сходится на множестве X.
=1
		∞
8. Пусть числовой ряд		X an	сходится. Доказать, что ряд Дирихле

∞ a

n=1

X n сходится равномерно на множестве [0, +∞).

n=1 nx

		∞
9. Пусть функции un(x), n N, непрерывны на [a, b]	и ряд	nX
		un(x)
∞		=1
nX	un(b) сходится.
сходится равномерно на [a, b). Доказать, что ряд
=1

∞

10. Пусть функциональный ряд X |an+1(x) −an(x)| сходится равномерно

n=1

на множестве X, lim sup |an(x)| = 0, а функциональная последова-

n→+∞ x X

∞

тельность	k=1	bk(x)			=1	равномерно ограничена на X. Доказать, что
				n ∞
функциональный ряд						an(x)bn(x) сходится равномерно на X.
					=1
					nX				∞ anxn равен R. Найти
11. Пусть радиус сходимости степенного ряда
									=0
									nX
радиус сходимости степенного ряда								∞ bnxn, если:
								=1
							nX			an
(a) bn = (an)k (k N);
								(b) bn =			.
							∞			1 + |an|
12. Доказать, что если числовой ряд								an сходится и его сумма равна
							n=1
							X
S, то существует					lim	∞ anxn = S. Справедливо ли обратное
утверждение?			x		1 0	n=0
					→ −	X

13. Пусть функции un(x), n N, непрерывны на [a, b], un(x) > 0 для всех

	∞
x [a, b] и всех n N, а функциональный ряд	nX
	un(x) поточечно
	=1

сходится на [a, b] к непрерывной на [a, b] функции S(x). Доказать,

∞

X

что функциональный ряд un(x) сходится равномерно на [a, b].

n=1

14. Пусть a > 0 и b > 0 — фиксированные числа. Найти область сходи-

	nX			bn	! xn.
мости степенного ряда	∞	an	+
		n		2
			n
	=1

73

выполняются неравенства |an| <

anxn

f(4nx)

15. Пусть радиусы сходимости степенных рядов

X

nX

∞ anxn и

∞ bnxn равны

n=0

=0

R1 и R2, соответственно. Найти условия, которым должны удовле-

творять радиусы сходимости следующих степенных рядов:

(a)

∞ (an + bn) xn;

(b)

∞ an · bn xn.

X

nX

n=0

=0

nX

16. Пусть

R — радиус сходимости степенного

ряда

6= 0,

∞ anxn,

an

=0

N0, и l = nlim

an

an

. Доказать, что l

≤

≤

L.

n

, L = nlim

R

→∞

an+1

→∞

an+1

17. Пусть функция f(x) периодична с периодом T = 1 и

f(x) =			−	x,	если	x [0, 1/2],
		1		x,	если	x		(1/2, 1].

Пусть fn(x) = для всех x R и всех n N. Доказать, что

∞

4n

X

ряд fn(x) сходится на R, его сумма S(x) непрерывна на R и не

n=1

имеет производной ни в одной точке x R.

∞

X

18. Пусть M > 0 и для всех коэффициентов степенного ряда

n=0

Mn! . Доказать, что:

(a)сумма f(x) этого ряда бесконечно дифференцируема в любой точке a R;

∞

f(n)(a)

n

R.

(b) f(x) =

(x − a)

для любого x

n!

=0

nX

19. Доказать, что arctg x =

∞

(−1)n

x2n−1,

x

[ 1, 1].

=0

2n + 1

−

nP

∞

20. Пусть функции fn(x)

C ([a, b]), n N, и ряд

fn(x) равномер-

=1

nX

∞

но сходится на [a, b)

к S(x). Доказать, что числовой ряд

fn(b)

=1

сходится и S(x) C ([a, b]).

nX

∞

arctg nx

21. Доказать, что ряд

сходится не равномерно на (0, +∞).

=1

n

nX

74