4.6Функциональные свойства НИЗП

Теорема 4.20 (о предельном переходе). Пусть b — единственная особая точка функции f(x, y) на [a, b) при любом y Y . Пусть

определен несобственный интеграл I(y) =						Zb f(x, y) dx, y Y, y0 —
						a
предельная точка множества Y и выполняются следующие условия:
1) несобственный интеграл I(y) равномерно сходится на Y ;
[a,t]	g(x),		t		(a, b).
2) f(x, y) −−y →y0
−−→→

Zb

Тогда несобственный интеграл g(x) dx сходится и существует ко-

a

нечный предел

y y0	b	то есть y y0	b	b	y y0
	Z		Z	Z
lim I(y) =	g(x) dx,	lim	f(x, y) dx =		lim f(x, y) dx.
→	a	→	a	a	→

Для доказательства теоремы положим

Zt

ϕ(y, t) = f(x, y) dx, t [a, b).

a

В силу определения 4.2 равномерной сходимости несобственного интеграла,

ϕ(y, t) −→t−→b	b	f(x, y) dx, (t < b).
	Z
Y
→	a

Далее, согдасно теореме 4.9 о предельном переходе в СИЗП, существует конечный предел

y y0	y y0	t	t
		Z	Z		t		[a, b).
lim ϕ(y, t) = lim			f(x, y) dx = g(x) dx,
→	→	a	a

Поэтому для функции ϕ(y, t) выполнены условия теоремы 4.4 о перестановке предельных переходов, а значит,

	lim lim ϕ(y, t) = lim lim ϕ(y, t),
	y→y0 t→b		t→b y→y0
	то есть	b		t
	y→y0		t b
		Z		Z
	lim	f(x, y) dx = lim		g(x) dx,
		a	→ a

Zb

откуда следует сходимость несобственного интеграла g(x) dx. Посколь-

					a
t	b		b	b
t b Z	Z	g(x) dx, то	y→y0 Z	Z	g(x) dx.
ку lim	g(x) dx =		lim	f(x, y) dx =
t<b→ a	a		a	a

122

Теорема 4.21 (о непрерывности). Пусть функция f(x, y) непрерывна на множестве [a, b) × [c, d] и несобственный интеграл

Zb

I(y) = f(x, y) dx

a

сходится равномерно на отрезке [c, d]. Тогда функция I(y) C([c, d]).

Пусть y0

— точка отрезка [c, d]. Докажем непрерывность функции

для каждого

t

I(y)

в этой точке. По условию теоремы[a,t]

(a, b) f C(Πt),

f(x, y0),

t

где Πt = [a, t]

×

[c, d], а потому f(x, y) −−y →y0

(a, b). Согласно

теореме 4.20,

−−→→

y

y0

y y0

b

b

0

0

Z

Z

),

lim I(y) = lim

f(x, y) dx =

f(x, y

) dx = I(y

→

→

a

a

что означает непрерывность функции I(y) в точке y0. Поскольку y0 — произвольная точка отрезка [c, d], то f C([c, d]).

Теорема 4.22 (об интегрируемости по Риману). Пусть функция f(x, y) непрерывна на множестве [a, b) × [c, d], и несобственный инте-

Zb

грал I(y) = f(x, y) dx сходится равномерно на отрезке [c, d], тогда

a I(y) R[c,d] и

Zd I(y) dy =	Zd	Zb f(x, y) dx dy = Zb							Zd f(x, y) dy dx.
c	c	a					a		c
По условию теоремы f			C(Π		t),	где Πt			=	[a, t] × [c, d], t (a, b).

Поэтому, согласно теореме 4.12 об интегрировании СИЗП,

d t		f(x, y) dx dy =
Z	Z

ca

Zt Zd

ac

		t		(a, b).	(4.8)
f(x, y) dy dx,

Рассмотрим левую часть этого равенства. Из условия теоремы, опреде-

Zt

ления 4.2 и теоремы 4.10, если ϕ(y, t) = f(x, y) dx,, следует, что

a
c,d]	b
ϕ(y, t) C([c, d]), t [a, b], ϕ(y, t) −→t−→[ b	Z	f(x, y) dx (t < b).
→	a

Поэтому, в силу теоремы 4.9 о пределе СИЗП, существует предел левой части равенства (4.8) при t → b (t (a, b)) и

lim	d	ϕ(y, t) dy =	d lim ϕ(y, t) dy =		d	b f(x, y) dx dy.
t b	Z		Z	t b	Z	Z
t<b→ c			c	t<b→	c	a

123

Zt

Правая часть равенства (4.8) представляет собой интеграл ψ(x) dx, где

a

Zd

ψ(x) = f(x, y) dy. По теореме 4.10 о непрерывности СИЗП, ψ(x)

c

C([a, t]), t (a, b), поэтому функция ψ(x) локально интегрируема на [a, b), а, поскольку существует конечный предел левой части равенства

Zb

(4.8), то несобственный интеграл ψ(x) dx сходится, и

Zd Zb

ca

a	b d f(x, y) dy dx.
f(x, y) dx dy =
	Z	Z
	a	c

Теорема 4.23 (о несобственном интегрировании). Пусть функция f(x, y) непрерывна и неотрицательна на [a, b) × [c, d), функ-

Zb

ция I1(y) = f(x, y) dx непрерывна на множестве [c, d), а функция

	a
I2(x) =	Zd f(x, y) dy непрерывна на множестве [a, b). Если один из
	c

Zd Zb

несобственных интегралов I1(y) dy, I2(x) dx сходится, то сходит-

ca

ся другой, и они равны, то есть

d b f(x, y) dx dy =
Z	Z

ca

Zb Zd

ac

f(x, y) dy dx.

Эту теорему мы оставим без доказательства, отсылая за ним к учебникам по математическому анализу (см., например, [7, т.2, с.264–266]).

Теорема 4.24 (о дифференцируемости). Пусть f(x, y) — непрерывная на Π = [a, b) × [c, d] функция, которая имеет частную про-

изводную ∂f∂y , непрерывную на Π. Пусть несобственный интеграл

Zb

I(y) = f(x, y) dx поточечно сходится на отрезке [c, d], а несоб-

a
b	∂f
ственный интеграл Z		(x, y) dx равномерно сходится на [c, d]. Тогда
	∂y
a

несобственный интеграл I(y) сходится равномерно на отрезке [c, d], и функция I(y) непрерывно дифференцируема на [c, d], причем

b	∂f
I0(y) = Z		(x, y) dx,	y [c, d].	(4.9)
	∂y
a

124

Zt

Рассмотрим функцию ϕ(y, t) = f(x, y) dx, которая поточечно сходит-

a

ся при t → b (t (a, b)) на [c, d] к функции I(y). Так как ∂f∂y C(Π), то ∂f∂y C(Πt), где Πt = [a, t] × [c, d], t [a, b). Следовательно, из теоремы

4.11 о непрерывной дифференцируемости СИЗП, получим, что функция ϕ(y, t) имеет частную производную по переменной y на Πt и

∂y (y, t) = Z

∂y (x, y) dx, t [a, b).

∂ϕ

t

∂f

a

b

∂f

По условию теоремы несобственный интеграл

Z

(x, y) dx

равномер-

∂y

a

∂ϕ

[c,d]

b

∂f

но сходится на [c, d],

поэтому

(y, t) −→t−→b

Z

(x, y) dx, (t

< b). Из

∂y

∂y

→

a

теоремы 4.8 о дифференцируемости предельной функции следует, что

c,d]	b
ϕ(y, t) −→t−→[ b	Z	f(x, y) dx, то есть несобственный интеграл I(y) равномерно
→	a

сходится на [c, d], функция I(y) дифференцируема на [c, d] и имеет место формула (4.9). Из теоремы 4.21 следует, что I0(y) C([c, d]).

Cледствие. Пусть Y — некоторый промежуток числовой прямой, функция f(x, y) непрерывная на Π = [a, b) × Y и имеет част-

ную производную ∂f∂y , непрерывную на Π. Пусть несобственный ин-

Zb

теграл I(y) = f(x, y) dx поточечно сходится на промежутке Y , а

a
b	∂f
несобственный интеграл Z		(x, y) dx	равномерно сходится на лю-
	∂y
a

бом отрезке [c, d] Y. Тогда несобственный интеграл I(y) сходится равномерно на любом отрезке [c, d] Y (сходится равномерно внутри промежутка Y ), а функция I(y) непрерывно дифференцируема на промежутке Y, причем

b	∂f
I0(y) = Z		(x, y) dx,	y Y.	(4.10)
	∂y
a

Замечание. Теорема остается справедливой, если вместо условия поточечной сходимости на промежутке Y несобственного интеграла I(y), потребовать его сходимости только в некоторой точке y0 Y . Предлагаем студентам доказать это обобщение самостоятельно.

125