Zb

димость интеграла f(x) dx эквивалентны. Тогда сходимость интеграла

a

Zb

f(x)ϕ(x) dx следует из первой теоремы сравнения и сходимости инте-

a

Zb

грала f(x) dx. Отметим, что проверка условий теорем Дирихле и Абеля

a

обычно сложнее проверки условий признака сравнения.

3.5Несобственные интегралы с несколькими особыми точками

Определение 3.6. Пусть f : (a, b) → R. Говорят, что точки a и b являются особыми точками функции f на (a, b), если f локально интегрируема на (a, b), и имеет место одно из следующих условий:

1)a = −∞, b = +∞;

2)a = −∞, b R, но f неограниченна в любой окрестности точки b;

3)b = +∞, a R, но f неограниченна в любой окрестности точки a;

4)a R, b R, но f неограниченна и в любой окрестности точки a, и в любой окрестности точки b.

Можно, опираясь на определение 3.4, дать другое определение, эквивалентное определению 3.6.

Определение 3.7. Пусть f : (a, b) → R. Будем говорить, что точки a и b являются особыми точками функции f на (a, b), если для некоторой точки c (a, b) функция f имеет на (a, c] и [c, b) единственные особые точки a и b, соответственно.

Замечание. Определение 3.7 не только эквивалентно определению 3.6, но и корректно в том смысле, что не зависит от выбора точки c из (a, b). Предлагаем студентам доказать это самостоятельно.

Определение 3.8. Пусть a и b — особые точки функции f на (a, b).

Zc

Если для некоторого c (a, b) оба несобственных интеграла f(x) dx

a

Zb

иf(x) dx сходятся (в смысле определения 3.2), то будем говорить,

c

что функция f интегрируема в несобственном смысле на интервале

95

Zb

(a, b), а символ f(x) dx будем называть сходящимся несобственным

a

интегралом. При этом под его значением будем понимать величину

Zc Zb

f(x) dx + f(x) dx.

ac

Если хотя бы один из указанных несобственных интегралов расходится, то будем говорить, что функция f неинтегрируема в несобственном смысле на интервале (a, b), а формально записанный символ

Zb

f(x) dx будем называть расходящимся несобственным интегралом.

a

Лемма 3.2. Определение 3.8 корректно в том смысле, что ни

Zb

сходимость несобственного интеграла f(x) dx, ни его величина в

a

случае, когда он сходится, не зависят от выбора точки c из (a, b).

Пусть a < c0 < c00 < b. Так как f — локально интегрируемая функция на (a, b), то по свойствам интеграла Римана

Zc00f(x) dx =	Zc0	f(x) dx + Zc00f(x) dx,	t (a, c0)
t	t	c0
Zy f(x) dx =	Zy f(x) dx − Zc00f(x) dx,		y (c00, b).
c00	c0	c0
Из первого равенства следует, что несобственные интегралы Zc0				f(x) dx,
			a

Zc00

f(x) dx сходятся или расходятся одновременно; из второго равенства

a

Zb Zb

следует, что несобственные интегралы f(x) dx, f(x) dx сходятся или

c0 c00

Zb

расходятся одновременно. Следовательно, сходимость f(x) dx не зави-

a

сит от выбора точки c (a, b).

Чтобы показать, что величина сходящегося несобственного инте-

Zb

грала f(x) dx не зависит от выбора точки c из (a, b), воспользуемся

a

свойством 2) несобственных интегралов (см. страницу 79) и запишем

96

цепочку очевидных равенств:

Zb Zc0 Zb

f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx =

a	a	c0
	= Zc00f(x) dx + Zc0 f(x) dx + Zc00f(x) dx + Zb f(x) dx =
	a	c00	c0	c00
			= Zc00f(x) dx + Zb f(x) dx.
			a	c00

Класс функций, интегрируемых в несобственном смысле на (a, b), будем обозначать символом R(a,b).

Если (a, b) — конечный интервал, то R(a,b) R[a,b) R(a,b] R[a,b]. Замечание. На практике встречаются случаи, когда функция f име-

ет более двух особых точек или особые точки являются внутренними точками [a, b]. И в этих случае можно дать определение сходящихся и расходящихся несобственных интегралов (см., например, [11, cтр. 365]).

Рассмотрим пример несобственного интеграла с двумя особыми точ-

ками.
π	cos x
Пример 3.16. Исследовать на сходимость интеграл Z	√		dx.
		sin x
0

У подынтегральной функции на (0, π) две особые точки: 0, π. Рассмотрим два несобственных интеграла:

π/2	cos x			π	cos x
Z	√		dx,	Z	√		dx.
		sin x				sin x
0				π/2

Подынтегральная функция на (0, π/2] имеет единственную особую точку x = 0, а на [π/2, π) — единственную особую точку x = π.

Так как

cos x

на (0, π/2],

cos x

1

при x → +0 и инте-

√

≥ 0

√

√

sin x

sin x

x

π/2

грал

Z

x−1/2 dx сходится (см. пример 3.1), то по теореме 3.7 интеграл

π/2

0

cos x

Z

√

dx

сходится.

sin x

0

cos x

cos x

1

Tак как

на [π/2, π),

при x → π − 0

√

≤ 0

√

−

√

sin x

π

−

x

π

sin x

и интеграл

Z

(π − x)−1/2 dx сходится (см. пример

3.1), то по теореме

π/2

π

cos x

3.7 интеграл

Z

√

dx сходится. Пользуясь определением 3.8, делаем

sin x

π/2

97

Zπ

вывод о том, что несобственный интеграл

0

cos x

√ dx сходится. sin x

Определение 3.9. Пусть f R(a,b). Если |f| R(a,b), то функцию f называют абсолютно интегрируемой в несобственном смысле на

Zb

(a, b), а несобственный интеграл f(x) dx — абсолютно сходящим-

a

ся. Если же |f| / R(a,b), то говорят, что несобственный интеграл

Zb

f(x) dx сходится условно.

a

Пример 3.17. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

+∞sin x
Z		dx, α > 0.
	xα
0

На интервале (0, +∞) подынтегральная функция имеет две особые точки: 0, +∞. Рассмотрим два несобственных интеграла

π/2 sin x			+∞sin x
Z		dx,	Z		dx.
	xα			xα
0			π/2

Так как	sin x	≥ 0 на (0, π/2],			sin x	1		при x → +0, то по теореме
	xα				xα		xα−1
		π/2 sin x
3.7 интеграл		Z		dx сходится, если α < 2, и расходится, если α ≥ 2.
			xα
		0			3.14). абсолютно сходится при α > 1 и
Второй интеграл (см. пример

условно сходится при 0 < α ≤ 1. Следовательно, исходный интеграл сходится абсолютно при 1 < α < 2 и условно при 0 < α ≤ 1.

3.6 Главное значение несобственного интеграла

Допустим, что на [a, b] функция f имеет единственную особую точку c (a, b) и функция f неограничена в любой окрестности точки c. По

Zb

определению несобственный интеграл f(x) dx будем называть в этом

a

случае сходящимся, если существует конечный предел

c−δ b

lim			Z	f(x) dx + lim			f(x) dx,
δ	→	+0		δ0	→	+0	Z
			a				c+δ0

который и является значением исходного интеграла. Заметим, что δ и δ0 стремятся к нулю независимо друг от друга.

98