Глава 2

Функциональные последовательности

ифункциональные ряды

2.1Сходимость функциональных последовательностей

f	f	X
Пусть X	— непустое подмножество в R, D(X) — совокупность всех

вещественнозначных функций, определённых на множестве . Отобра-

жение F :

N →

D(X) называют функциональной

последовательностью,

f

заданной) на

X.

Образ

F (n)

числа

n

при этом отоб-

определённой (или f

ражении обычно обозначают

через

а всю последовательность —

f

fn(x),

через {fn(x)}.

Каждому x0 X функциональная последовательность {fn(x)} сопо-

последовательность

{

}

.

ставляет числовую f

fn(x0)

Определение 2.1. Если f и последовательность { } схо- x0 X fn(x0)

дится, то x0 называют точкой сходимости функциональной последовательности {fn(x)} и говорят, что последовательность {fn(x)} сходится в точке x0. Множество X X всех точек сходимости называют областью её сходи-

f

функциональной последовательности мости и говорят, что функциональная последовательность поточечно сходится на множестве X.

Определение 2.2. Пусть на множестве X функциональная последовательность {fn(x)} поточечно сходится. Функцию

f : x X → nlim→∞ fn(x)

называют предельной функцией данной последовательности.

Тот факт, что функциональная последовательность {fn(x)} поточечно сходится к функции f на множестве X символически записывают в виде

X

fn(x) −→ f(x) или f(x) = lim fn(x), x X.

n−→∞

Таким образом, функция f является предельной для функциональной последовательности {fn(x)} на множестве X (или иначе, последова-

35

тельность {fn(x)} поточечно сходится к f(x) на множестве X), если для любого ε > 0 и каждого x X найдётся такой номер N = N(ε, x), что для всех n > N выполняется неравенство |fn(x) − f(x)| < ε.

Очевидно, что из критерия Коши сходимости числовой последовательности вытекает критерий поточечной сходимости функциональной последовательности.

Теорема 2.1. Для того чтобы последовательность {fn(x)} поточечно сходилась на множестве X, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 и каждого x X нашёлся номер N = N(ε, x) такой, что неравенство |fn(x) − fm(x)| < ε выполняется для всех n > N, m > N.

Пример 2.1. Функциональная последовательность {fn(x)}: fn(x) = xn, n N, определена на R. Так как

	lim x	n	=		0,
n					1,
	−→∞				∞,

если |x| < 1, если x = 1, если |x| > 1,

и не существует предела в точке x0 = −1, то промежуток (−1; 1] является областью сходимости данной последовательности, а функция

f(x) =		0,	если |x| < 1,	(2.1)
		1,	если x = 1

является предельной для нее на множестве X = (−1, 1].

Отметим, что функция f терпит разрыв в точке x = 1, хотя все члены данной последовательности непрерывны в ней.

Определение 2.3. Последовательность {fn(x)}, определенная на X, называется равномерно сходящейся к функции f на множестве X0 X, если

ε > 0 N = N(ε) : |fn(x) − f(x)| < ε, n > N, x X0.

Тот факт, что последовательность {fn(x)} равномерно на множестве X0 сходится к функции f(x) символически будем записывать в виде

X0

fn(x) f(x).

Замечания.

1.В определении равномерной сходимости функциональной последовательности в отличие от определения поточечной сходимости номер N зависит только от ε и не зависит от точек x множества X0.

36

2.Из определения 2.3 непосредственно вытекает, что если функциональная последовательность {fn(x)} равномерно сходится к функции f на множестве X0, то она поточечно сходится к f на X0. Следовательно, равномерная сходимость является более сильной сходимостью по сравнению с поточечной.

3.Если каждая функция функциональной последовательности {fn(x)}

является постоянной на множестве X, то есть fn(x) = cn, x X и для всех n N, а числовая последовательность {cn} сходится и

X

nlim→∞ cn = c, то fn(x) c.

4.На каждом конечном подмножестве (состоящем из конечного числа точек) множества X cходимости функциональной последовательности эта последовательность сходится равномерно.

5.Если функциональная последовательность {fn(x)} поточечно сходит-

ся к f(x) на множестве X, равномерно сходится на множествах X1 X, X2 X и X = X1 S X2, то она равномерно сходится на множестве X. Наоборот, если функциональная последовательность равномерно сходится на множестве X, то она равномерно сходится на любом подмножестве Y X.

Геометрически равномерная сходимость функциональной последовательности {fn(x)} к функции f на множестве X означает, что для любой

ε-полосы Gε = {(x, y) R2 : f(x) − ε < y < f(x) + ε, x X} найдётся такой номер N = N(ε), что графики функций y = fn(x) с номерами n > N будут лежать в полосе Gε.

Пример 2.2. Показать, что последовательность fn(x) = xn сходится равномерно к предельной функции f(x) ≡ 0 на любом отрезке [−q, q], если 0 < q < 1, и неравномерно сходится на интервале (0, 1).

В самом деле, для q (0, 1) рассматриваемая последовательность схо-

дится к функции f(x) ≡ 0 (см. пример 2.1)	и
|fn(x) − f(x)| = |xn| ≤ qn, x	[−q, q], n > N.	(2.2)

Поскольку lim qn = 0, то для любого ε > 0 существует номер N = N(ε) такой, что qn < ε для всех n > N. Из неравенства (2.2) получаем, что

|fn(x) − f(x)| < ε, n > N, x [−q, q].

[−q,q]

Следовательно, fn(x) 0, если q (0, 1).

Последовательность {xn} поточечно на (0, 1) сходится к той же функции f(x) ≡ 0. Для доказательства неравномерной сходимости этой последовательности на интервале (0, 1) следует найти такое ε0 > 0, что для

37

любого N N существует номер n > N и точка xn (0, 1), для которых

|fn(xn) − f(xn)| = |fn(xn)| ≥ ε0.

Заметим, что точки

xn = 1

1

(0, 1),

n

N, и

fn(xn)

= 1

1

!n .

− n

|

|

− n

− n

!n

e

Поскольку lim 1

1

=

1

, то существует такое n0, что для всех n > n0

1

1

!n >

1

.

− n

2e

Тогда, если ε0 =

1

, то для любого N > n0 найдётся такое n > N, что

2e

!n

xn = 1

1

(0, 1) и

fn(xn)

>

1

= ε0.

− n

|

|

2e

Последнее означает, что данная последовательность неравномерно сходится на (0, 1).

Неравномерную сходимость последовательности {xn} на (0, 1) мож-

(0,1)

но доказать иначе. Предположим, что xn 0. Тогда для числа ε = 1/3 существует номер N, такой, что для всех n > N и для всех x (0, 1) вы-

	n		n		1						√n
полняется неравенство |x		−0| = x		<		. Однако, для xn = 1/						2 (0, 1),
					3
получаем очевидное неравенство (xn)n =							1	>	1		, n N. Полученное про-
							2		3

тиворечие доказывает, что предположение неверно и последовательность {xn} неравномернo сходится на интервале (0, 1).

Замечание. Из приведённых доказательств второй части примера

2.2 следует, что				[0,1]	f(x) =		если |x| < 1, .
xn	[0,	f(x) = 0,	xn			0,
	1)			6			если x = 1
	6					1,

Помимо понятия равномерной сходимости на множестве, часто используется понятие равномерной сходимости внутри множества.

Определение 2.4. Говорят, что функциональная последовательность {fn(x)} равномерно сходится к f(x) внутри множества X, если она равномерно сходится к f(x) на любом ограниченном, замкнутом подмножестве множества X. Символически этот факт записывают

(X)

так: fn(x) f(x).

Очевидно, что если X — ограниченное, замкнутое множество, то на X определения 2.4 и 2.3 совпадают.

38