В некоторых случаях, когда последний предел не существует, оказывается полезным рассмотреть предел того же выражения, но при усло-

вии, что δ = δ0 и δ → +0.
Если существует конечный предел
lim	c−δf(x) dx +	b	f(x) dx	,
→	a	c+δ
δ +0		Z
	Z

то его называют (следуя Коши) главным значением несобственного интеграла и обозначают символом

Zb

v.p. f(x) dx

a

(v.p. — value principal — главное значение). В этом случае говорят, что

Zb

интеграл f(x) dx существует (сходится) в смысле главного значения.

a

Очевидно, что если несобственный интеграл сходится, то он существует и в смысле главного значения; обратное, вообще говоря, неверно.

Пример 3.18. Интеграл Z1 dx как несобственный расходится, так

−1 x

				0	dx	1	dx
как расходятся интегралы Z						и Z		. В то же время
					x		x
				−1		0
−δ dx		1	dx
Z		+ Z		= ln |x||−−1δ + ln |x||δ1 = ln δ − ln δ = 0, δ (0, 1).
	x		x
−1		δ
								1	dx
Поэтому он существует в смысле главного значения и v.p. Z										= 0.
									x
								−1

3.7Задания для самостоятельной работы

	+∞
	Z
1. Пусть несобственный интеграл	f(x) dx сходится. Следует ли из

1

этого, что f(x) → 0 при x → +∞. Доказать, что если указан-

ный несобственный интеграл сходится и существует lim f(x), то

x→+∞

lim f(x) = 0.

x→+∞

2. Пусть функция f(x) монотонна на [1, +∞) и несобственный интеграл

+∞

Z

xαf(x) dx (α R) сходится. Доказать, что lim xα+1f(x) = 0.

x→+∞

1

99

3. Пусть функция f(x) монотонна на (0, 1] и несобственный интеграл

Z1

xαf(x) dx (α R) сходится. Доказать, что lim xα+1f(x) = 0.

0		x→+0
	+∞
4. Пусть несобственный интеграл	Z	f(x) dx сходится, а функция ϕ(x)

a

ограничена на [a, +∞). Сходится ли тогда несобственный интеграл

+∞

Z

f(x)ϕ(x) dx ?

a

5.	Пусть f(x) непрерывная функция на [0, +∞) и несобственный инте-
	+∞ dx			t +			1	t		∞
	Z	f(x)					t2	Z
	грал			сходится. Доказать, что	lim			f(x) dx = +			.
	0				→ ∞			0
6.	Привести пример функции, непрерывной и неограниченной на про-
	межутке [0, +∞), для которой несобственный интеграл								+∞
									Z	f(x) dx
	сходится.								0
7.	Привести пример такой непрерывной, неотрицательной, неограничен-
	ной на [0, +∞) функции, что интеграл				+∞
					Z	f(x) dx сходится.
					0

8. Пусть функция f(x) монотонна на [1, +∞) и несобственный интеграл

+∞

Z

f(x) sin x dx сходится. Доказать, что lim f(x) = 0.

x→+∞

1

9.Пусть a > 0, +∞ — единственная особая точка функций f и g на [a, +∞). Доказать, что если несобственные интегралы

		+∞			+∞
		Z	f2(x) dx и		Z	g2(x) dx
		a			a
сходятся, то сходятся и несобственные интегралы:
	+∞			+∞			+∞		f(x)
(a)	Z	|f(x)g(x)| dx ;	(b)	Z (f(x) + g(x))2 dx ; (c)			Z	|	x	|	dx .
	a			a			a

10.Пусть функция f(x) непрерывна на [a, +∞) и F (x)— её первообразная на [a, +∞); функция g(x) непрерывно дифференцируема на

[a, +∞), и несобственный интеграл	+∞	|g0(x)| dx сходится. Доказать,
	Z
	a		+∞
что для сходимости несобственного интеграла			Z	f(x)g(x) dx необ-
			a				R	.
ходимо и достаточно, чтобы существовал предел				lim F (x)g(x)
			x	→	+	∞

100

a

aZ+T

11. Пусть f(x) — многочлен степени n (n > 1). Доказать, что несоб-

	+∞
ственный интеграл	Z	sin f(x) dx сходится.
	0

12. Пусть функция f(x) положительна и не убывает на [1, +∞), а при

x → +∞ справедливо соотношение Zx f(tt) dt x. Доказать, что тогда

1

f(x) x при x → +∞.

13. Пусть функция f(x) дифференцируема на [a, +∞), f0(x) возрастает

на [a, +∞) и lim f0(x) = +∞. Доказать, что несобственные инте-

x→+∞

	+∞		+∞
гралы	Z	sin f(x) dx и	Z	cos f(x) dx сходятся условно.
	a		a

14. Пусть f — периодическая функция с периодом T > 0, локально интегрируемая на [a, +∞) и f(x) dx = 0. Пусть функция g(x)

монотонна на [a, +∞) и lim g(x) = 0. Доказать, что несобственный

x→+∞

+∞

a+T

интеграл J =

Z

f(x) g(x) dx сходится. Если же

Z

f(x) dx = K 6= 0,

a

a

то несобственный интеграл J сходится или расходится одновременно

+∞

с несобственным интегралом

Z

g(x) dx .

a

x

x

15. Пусть f(x) =

, g(x) = cos

, x [π n (n − 1), π n (n + 1)], n N. До-

n

n

казать, что функция f

(

x

)

монотонна на

,

и

lim

f(x) = 0, но

+∞

[0 +∞)

x +

→ ∞

несобственный интеграл

Z

f(x)g(x) dx

расходится. Какое условие

0

признака Дирихле нарушено?

16. Пусть f(x)

sin(cos x)

N. Доказать, что

=

√

,

x

[1, +∞), n

x

x +

x

[1

+∞)

Z

cos

t dt

— ограниченная на

,

функ-

lim f(x) = 0 и Φ(x) =

→ ∞

1

+∞

ция, но несобственный интеграл

Z

f(x) cos x dx

расходится. Какое

1

условие признака Дирихле нарушено?

17. Пусть f(x) =

(−1)n−1

sin

x

,

x

[π n (n

−

1), π n (n + 1)]. Показать,

n

n

+∞

что несобственный интеграл

Z

f(x) dx расходится, а числовой ряд

0

101

∞ πn(Zn+1)

X

f(x) dx сходится.

n=1πn(n−1)

18. Пусть f(x) — локально интегрируемая функция на [a, b) и

(a) {xn} : a = x0 < x1 < . . . < xn . . . < b, lim xn = b;

n→+∞

∞		xn
nX xn−1
(b) ряд	=1	Z	f(x) dx сходится.
Доказать, что несобственный интеграл Zb f(x) dx сходится.
							a
					+∞
19. Пусть несобственный интеграл					Z	f(x) dx сходится и +∞ — един-
					a
ственнаяx особая точка функции f на [a, +∞). Доказать, что функция
F (x) = Z	f(t) dt непрерывна на [a, +∞).
a
					+∞	|f(x)| dx сходится и +∞ — един-
20. Пусть несобственный интеграл					Z
					a	на [a, +∞). Следует ли отсюда,
ственная особая точка функции f
				+∞
что несобственный интеграл				Z	f2(x) dx сходится?
				a
					+∞
21. Пусть несобственный интеграл					Z	|f(x)| dx сходится, а функция ϕ
					a
ограничена и локально интегрируема на [a, +∞). Доказать, что то-
							+∞	|ϕ(x)f(x)| dx. Показать, что
гда сходится несобственный интеграл							Z

a

утверждение перестаёт быть верным, если функция f(x) интегрируема в несобственном смысле на [a, +∞), но не абсолютно.

102