Лемма 4.11 (формула дополнения для B-функции). Для любого

числа α (0, 1)	B(α, 1 − α) =						π
									.
							sin πα
Cледствие. (формула дополнения для -функции) Для любого
числа α (0, 1)	(α) (1 − α) =							π				.
								sin πα
Из формулы дополнения, в частности, следует, что
	B	1	,	1	! =	2 (1/2)					= 2		1	! = π.
							(1)
	2			2							2

	Поэтому	1	!	= √
					π. Наконец, пользуясь полученными равенствами,
		2
	делая замену x2 = t, легко вычислить интеграл Эйлера–Пуассона:
			+∞e−x2 dx =				1	+∞t−1/2e−t dt =	1		1	! =	√			.
														π
													2
			Z	2				Z	2		2
	0							0

4.9Задания для самостоятельной работы

1.Пусть функции f1(x, y) и f2(x, y) определены на множестве X ×Y из R2x,y, y0 — предельная точка множества Y и g(x, y) = f1(x, y)+f2(x, y),

X

h(x, y) = f1(x, y)−f2(x, y). Пусть g(x, y) −−−−→→ ϕ1(x), h(x,

y→y0

X

y) −−−−→→ ϕ2(x).

y→y0

Что можно сказать о равномерной сходимости на множестве X функций f1(x, y) и f2(x, y) при y → y0?

2. Пусть функция ϕ : X × Y R2x,y → R, y0 — предельная точка

X

множества Y и ϕ(x, y) −−−−→→ ϕ(x). Пусть функция f : X Rx →

y→y0

R и f(x) непрерывна на множестве X. Можно ли утверждать, что функция f(x)ϕ(x, y) сходится равномерно на множестве X при y → y0?

3.Пусть функция f : [a, b) × Y R2x,y → R, y0 — предельная точка множества Y и функция f удовлетворяет следующим условиям:

a)функция f непрерывна по x на промежутке [a, b) при каждом

фиксированном y Y ;

(a,b)

b) f(x, y) −−−−→→ ϕ(x);

y→y0

c) не существует предела f(a, y) при y → y0.

Доказать, что функция f(x, y) сходится неравномерно на (a, b) при y → y0.

138

4.Показать на примерах, что если функция f(x, y) определена на множестве X × Y R2, непрерывна по x на X при каждом фиксированном y Y и сходится при y → y0 к непрерывной на множестве X функции, то сходимость может быть как равномерной, так и неравномерной.

5. Пусть f, ϕ : X × Y R2x,y → R, y0 — предельная точка множества

X

Y и f(x, y) −−−−→→ f1(x), а ϕ(x, y) неравномерно сходится к ϕ1(x) на

y→y0

множестве X при y → y0. Имеет ли место равномерная сходимость функции f + ϕ на множестве X при y → y0?

6.Показать, что требование компактности множества X существенно для справедливости теоремы Дини.

7.Пусть Π = [a, b] × [c, d], f : Π → R и f непрерывна на Π. Пусть функция g(x) интегрируема по Риману на [a, b]. Доказать, что

Zb

a) функция I(y) = f(x, y)g(x) dx непрерывна на отрезке [c, d];

a

	b) при условии, что функция			∂f		(x, y) непрерывна на			, функция
								Π
				∂y
	I(y) непрерывно дифференцируема на [c, d], при этом
			b ∂f
			I0(y) = Z				(x, y) g(x) dx;
					∂y
			a
	c) Zd I(y) dy = Zb		dx Zd f(x, y) g(x) dy.
	c	a	c

8. Пусть функция f непрерывна на R и a > 0. Доказать, что функция

F (x) = 1 Za f(x + t)dt

2a−a

имеет непрерывную производную на R, найти F 0(x).

9. Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [c, d] и

Zy

I(y) = (x + y)f(x) dx, y [a, b] (a < 0 < b).

0

Найти I0(y), I00(y).

10. Пусть функция f непрерывна на [a, b], x0 (a, b), k 6= 0. Доказать,

что функция

I(x) = 1 Zx f(t) sin k(x − t)dt k x0

139

удовлетворяет уравнению I00 + k2I = f(x).

11. Пусть функция f	непрерывна на отрезке [a, b]				и a < a0 < x < b.
α 0	α	x	−		−	0
		Z
Доказать, что lim	1	(f(t + α)		f(t)) dt = f(x)		f(a	).
→		a0

12. Пусть функции f(x, y), ϕ(x, y) определены на множестве [a, b] × Y ,

Zb

f(x, y) dx, имеют единственную особую точку x = b при любой

a

Zb

фиксированной точке y Y и несобственные интегралы ϕ(x, y) dx

a

равномерно сходятся на множестве Y . Доказать, что для всех α, β

Zb

R несобственный интеграл (α f(x, y) + β ϕ(x, y)) dx равномерно схо-

a

дится на множестве Y .

13. Пусть функция f(x, y) : [a, b] × Y → R имеет единственную особую

Zb

точку x = b при любой фиксированной точке y Y . Если f(x, y) dx

a

несобственный интеграл сходится на множестве Y и равномерно сходится на множествах Y1 Y и Y2 Y , то он равномерно сходится на множестве Y1 S Y2. Показать, что данное утверждение нельзя перенести на бесконечное объединение множеств.

14.Пусть функция g(x, y) определена на [a, b) × Y R2x,y, локально интегрируема на [a, b) при каждом y Y , ограничена на [a, b) × Y и

монотонна по x на [a, b) при любом фиксированном y Y . Доказать,

Zb

что если несобственный интеграл f(x) dx сходится, то несобствен-

a

Zb

ный интеграл g(x, y)f(x) dx равномерно сходится на множестве Y .

a

15. Пусть функция f(x) монотонна и ограничена на [a, b), а несобствен-

Zb

ный интеграл g(x, y) dx равномерно сходится на множестве Y . До-

a

Zb

казать, что несобственный интеграл g(x, y) f(x) dx равномерно схо-

a

дится на множестве Y .

16.Пусть функция g(x, y) определена на [a, b)×Y R2x,y и удовлетворяет условиям:

a)равномерно на Y сходится к нулю при x → b (x (a, b));

140

b) монотонна по x на [a, b) при каждом фиксированном y Y . Пусть функция f(x) локально интегрируема на [a, b) и

C > 0 :	Zt f(x) dx		≤ C, t [a, b).
	a

Zb

Доказать, что несобственный интеграл g(x, y) f(x) dx равномерно

сходится на Y .						a
17. Пусть f : [a, +∞) × Y Rx,y2				→ R, y0 — предельная точка множества
Y , F : [a, +∞) → R, и выполнены следующие условия:
[a,b]	f(x, y0) для любого [a, b]						[a, +			),
a) f(x, y) −−y →y0									∞
−−→→
b) |f(x, y)| ≤ F (x), (x, y) [a, +∞) × Y ,
				+∞
c) несобственный интеграл				Z	F (x) dx сходится.
				a
	y y0		+∞		+∞		0
Доказать, что			Z		Z			) dx.
	lim		f(x, y) dx = f(x, y
		→	a		a

18. Пусть функция f(x, y) непрерывна на множестве [a, b)×[c, d] и несоб-

Zb

ственный интеграл f(x, y) dx сходится равномерно на (c, d). Дока-

a

зать, что этот несобственный интеграл сходится равномерно на [c, d].

19.Пусть функция f(x, y) C([a, b] × [c, d]), а функция g абсолютно интегрируема на [a, b) в несобственном смысле. Доказать, что

				Zd	dy Zb f(x, y)g(x) dx = Zb				dx Zd g(x)f(x, y) dy.
				c		a	a		c
20. Пусть f : [a, b] × Y							Rx,y2 −→ R, y0	— предельная точка множества
Y , и выполнены следующие условия:
a) f(x, y) R[a,b], y Y ;
			[a,b]		ϕ(x);
b) f(x, y) −−y →y0
		−−→→
c) g(x) абсолютно интегрируема на [a, b) в несобственном смысле.
Доказать, что функция g(x) ϕ(x) интегрируема в несобственном смы-
	[		)		y y0		b	b
сле на		a, b		и			Z	Z	ϕ(x)g(x) dx.
					lim		f(x, y)g(x) dx =
					→		a	a

141

21.Пусть функция f(x, y) C([a, d] × [c, d]) имеет частную производную ∂f∂y , которая непрерывна на [a, b] × [c, d]. Пусть функция g(x)

абсолютно интегрируема на [a, b) в несобственном смысле. Доказать,

Zb

что функция I(y) = g(x) f(x, y) dx непрерывно дифференцируема

a
на отрезке [c, d] и I0(y) =	b	g(x) ∂y (x, y) dx, y [c, d].
	Z
			∂f
	a

22. Пусть функция f(x) локально интегрируема на [a, +∞), a > 0, c < d,

	+∞
и при y = c, y = d несобственный интеграл	Z	xy f(x) dx сходится.
	a

Доказать, что этот интеграл сходится равномерно на отрезке [c, d].

23. Пусть при каждом y Y функция f(x, y) монотонна на [0, +∞),

	+∞
несобственный интеграл	Z	f(x, y) sin x dx сходится равномерно на
	0			Y существует предел lim f(x, y) =
множестве Y , и для любого y
				x→+∞

0. Доказать, что при x → +∞ функция f(x, y) равномерно на множестве Y сходится к нулю.

24. Пусть f : [a, b] × [c, d] → R и для любого y [c, d] функция f(x, y) интегрируема по Риману на [a, b]. Пусть ϕ : [a, b] → R, y0 [c, d] и

lim f(x, y) = ϕ(x) для всех x [a, b]. Доказать, что:

y→y0

	y		y0	b	b
a)				Z	Z
	lim				f(x, y) dx = ϕ(x) dx;
		→		a	a
	y		y0	b	b
b)				Z	Z
	lim				f(x, y)g(x) dx = ϕ(x)g(x) dx для любой функции g(x), ин-
		→		a	a

тегрируемой по Риману на [a, b].

142