1

1

nX

−

или, учитывая, что α / Z,

=

+

∞ (

−

1)n

. По-

sin απ

απ

=1

π(α

n

)

скольку это представление верно для любых α 6= k, k Z, полагая απ = x, x / {kπ : k Z}, окончательно получим:

1	=	1	+ ∞	( 1)n			2x			! .
						2	−		2 2
sin x		x	nX	−	x			n π
			=1

Если в равенстве (5.19) положить x = π, то для всех α / Z

cos απ = sin απ

1

+

∞ (

1)n

2α

cos nπ

=

απ

−

π(α2

n2)

nX

−

=1

= sin απ

1

+

∞

2α

,

π(α2 n2)

απ

nX

−

=1

1

∞

2t

nX

Z}.

то есть ctg t = t +

t2

,

t / {nπ : n

=1

−

n2π2)

5.8 Ядра и многочлены Фейера

Пусть f Rf1[−π,π] и f(−π) = f(π). Последнее условие, как уже отмечалось ранее, обеспечивает продолжение функции f на множество R

по закону 2π—периодичности. При указанных ограничениях частичные суммы классического ряда Фурье функции f имеют интегральное представление через ядра Дирихле Dn(t):

1

π

Snf (x) =

Z

f(x + t)Dn(t)dt, x R, n N0,

π

где

−π

sin

1

! t

n +

2

,

x [

π, π] 0 ,

t

2 sin

−

\ { }

N

Dn(t) =

2

, n

0.

(5.20)

1

x = 0,

n + ,

2

Введем в

рассмотрение тригонометрические многочлены

σf

(x) =

S0f (x) + S1f (x) + · · · + Snf (x)

, n

N0

,

n

n + 1

которые называются n-ыми частичными суммами Фейера для классического ряда Фурье функции f. При этом, как легко видеть,

σnf (x) = π1 Zπ f(x + t)Φn(t)dt, x R, n N0,

−π

169

	где		D0(t) + D1(t) + · · · + Dn(t)
	Φ	(t) =		, t	R	, n	N0	.
			n + 1
	n

Функции Φn(t) называют ядрами Фейера.

Лемма 5.14. Ядра Фейера обладают следующими свойствами: 1) Φn(t), n N0, — четные, 2π—периодические, непрерывно диф-

ференцируемые на R функции;

2) Φn(t) ≥ 0, t R, n N0;

	1		π
3)			Z	Φn(t)dt = 1, n N0;
	π
			−π	δ≤|t|≤π
4)	Φn(t) 0 при n → ∞, δ (0, π).

Свойства 1) и 3) являются следствием леммы 5.10. Из представления (5.20) следует, что

n

sin k +

1

! t

1

n

1

t

(n + 1)Φn(t) =

2

=

2 sin k +

! t sin

=

=0

t

2

t

2

2

=0

kX

2 sin 2

4 sin

2

kX

2 n + 1

1

1 − cos(n + 1)t =

sin

t

≥ 0, t 6= 2kπ, k Z, n N0.

=

2

4 sin

2 t

2 t

2 sin

2

! +

2

!

1

+ 1 +

1

· · ·

+ n +

1

n + 1

2

Φn(0) =

2

2

=

, n N0,

n + 1

2

то есть имеет место свойство 2).

[−π, −δ] [δ, π], при

Докажем свойство 4). Так как для всех t

1

sin

2

n + 1

t

2

любом δ (0, π), Φn(t) =

·

, то

n + 1

2 sin2

t

2

1

1

при n → ∞.

0 ≤ sup

Φn(t) ≤

·

→ 0

n + 1

2 sin2

δ

δ≤|t|≤π

2

В силу критерия равномерной сходимости функциональной последова-

	δ≤|t|≤π
тельности (теоремы 2.4) Φn(t) 0 при n → ∞.
Теорема 5.11 (Фейера). Если f C([−π, π]) и f(−π) = f(π), то
f	[−π,π]
σn(x)	f(x) при n → ∞,

170

то есть последовательность сумм Фейера для классического ряда Фурье функции f равномерно сходится к функции f на отрезке [−π, π]

.

Фиксируем ε > 0. При указанных ограничениях на функцию f можно считать 2π—периодической и непрерывной на множестве R. Оценим на [−π, π] величину

γn(x) = |f(x) − σnf (x)|.

Воспользовавшись свойствами 2) и 3) ядер Фейера, получим, что

	1				π	(f(x) − f(x + t))Φn(t)dt		1		π
γn(x) =				Z			≤		Z		|f(x) − f(x + t)|Φn(t)dt,
	π							π
					π				−	π
			−

x [−π, π], n N0.

Заметим, что если t [−π, π], то x + t [−2π, 2π], но f непрерывна, а, значит, и равномерно непрерывна на отрезке [−2π, 2π]. Поэтому по числу ε > 0 найдется число δ = δ(ε) (0, π) такое, что

|f(x0) − f(x00)| < 3ε, x0, x00 [−2π, 2π] : |x0 − x00| < δ.

В последнем интеграле разобьем отрезок интегрирования [−π, π] на три отрезка [−π, −δ/2], [−δ/2, δ/2], [δ/2, π] и оценим сверху каждое слагаемое. В силу выбора δ и того, что |x − (x − t)| = |t| ≤ δ/2 < δ, используя свойства определенного интеграла, получим

1

δ/2

ε

1

δ/2

ε

1

π

ε

Z

|f(x) − f(x + t)|Φn(t)dt ≤

·

Z

Φn(t)dt ≤

·

Z

Φn(t)dt =

.

π

3

π

3

π

3

−δ/2

−δ/2

−π

Поскольку функция f непрерывна на R и 2π—периодична, то f ограничена на R, то есть M > 0 : |f(x)| ≤ M, x R. Поэтому

1 Zπ

π δ/2

|f(x) − f(x + t)|Φn(t)dt ≤

	1		π		2M	π
≤			Z	(|f(x)| + |f(x + t)|)Φn(t)dt ≤		Z	Φn(t)dt.
	π				π
			δ/2			δ/2

В силу свойства 4) ядер Фейера

ε

n1 = n1(ε) N : |Φn(t)| < 6M , n > n1, t [δ/2, π].

Поэтому для всех n > n1 и всех x [−π, π]

1

π

f(x)

f(x + t)

Φn(t)dt

2M

ε

π

δ

!

ε

.

π

Z

|

−

≤

π

·

6M

·

−

2

|

≤

3

δ/2

171

ε

Аналогично, n2 = n2(ε) N : |Φn(t)| < 6M , n > n2, t [−π, −δ], а, значит, для всех n > n2 и всех x [−π, π]

1	−δ/2		ε
	Z	|f(x) − f(x + t)|Φn(t)dt <		.
π			3
	−π

Итак, ε > 0 n0 = max{n1, n2} : n > n0, x [−π, π] |f(x) − σnf (x)| < 3ε + 3ε + 3ε = ε,

[−π,π]

то есть σnf (x) f(x) при n → ∞.

Cледствие 1. Пусть f C([−π, π]) и является 2π—периодической функцией. Если классический ряд Фурье функции f сходится в точке x0 R, то его сумма равна f(x0).

Пусть классический ряд Фурье функции f сходится в точке x0 [−π, π], то есть сходится числовая последовательность {Snf (x0)}, где Snf

— n-ая частичная сумма ряда Фурье. Пусть lim Snf (x0) = A R. Воспользуемся теоремой Коши о пределе средних арифметических:

если числовая последовательность {an} сходится и lim an								= a, то
тот же предел имеет и последовательность	a	1 +	a	2	+		+ a		n	.
					· · ·
					n
Тогда lim σf (x0) = A. Но по теореме Фейера lim σf						(x0)		=		f(x0).
n					n

Следовательно, f(x0) = A.

В силу 2π—периодичности функции f утверждение имеет место в любой точке x0 + 2π`, ` Z.

Cледствие 2. Если f C([−π, π]), f(−π) = f(π), и классический ряд Фурье функции f сходится в каждой точке x [−π, π], то его сумма равна f(x), то есть

f(x) =	a0	+	∞ (ak cos kx + bk sin kx).
2			=1
			kX

5.9 Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации

Прежде всего напомним, что тригонометрическими многочленами n-го порядка называются функции вида

	a0	n
		kX	+ bn2	> 0,
Tn(x) = + (ak cos kx + bk sin kx), где an2
2		=1

172

x [a,b]

x [−π,π]

а алгебраическими многочленами n-ой степени — функции вида

n

X

Pn(x) = akxk, an 6= 0.

k=0

Теорема 5.12 (2-ая аппроксимационная теорема Вейерштрасса).

Если f C([−π, π]) и f(−π) = f(π), то для любого числа ε > 0 существует такой тригонометрический многочлен T (x), что

max |f(x) − T (x)| < ε,

то есть функцию f можно равномерно приблизить с любой степенью точности на отрезке [−π, π] тригонометрическим многочленом.

[−π,π]

Утверждение следует из теоремы Фейера. Так как σnf (x) f(x) при n → ∞, то

ε > 0 N = N(ε) N : |f(x) − σnf (x)| < 2ε, n > N, x [−π, π].

Если положить T (x) = σnf0 (x), где n0 > N, то T (x) — тригонометрический многочлен, для которого выполняется утверждение теоремы.

Cледствие 1. Любую непрерывную на R, 2π—периодическую функцию можно с любой степенью точности равномерно приблизить тригонометрическим многочленом, то есть для любого ε > 0 существует

такой тригонометрический многочлен T (x), что max |f(x)−T (x)| < ε.

x R

Cледствие 2. Если f C([−π, π]), f(π) = f(−π), то существует последовательность тригонометрических многочленов {Tn(x)}∞n=1, равномерно сходящаяся к f(x) на отрезке [−π, π].

Теорема 5.13 (1-ая аппроксимационная теорема Вейерштрасса).

Если f C([a, b]), то для любого ε > 0 найдется такой алгебраический многочлен P (x), что max |f(x) − P (x)| < ε, то есть функцию f

можно равномерно приблизить с любой степенью точности на отрезке [a, b] алгебраическим многочленом.

Доказательство теоремы проведем в три этапа.

1). Пусть сначала [a, b] = [−π, π] и f(−π) = f(π). В силу теоремы 5.12 по любому ε > 0 найдется тригонометрический многочлен

a0

n0

kX

(ak cos kx + bk sin kx), an2

+ bn2

T (x) =

+

0

0

> 0,

2

=1

для которого выполняется неравенство max

|

f

x

) −

T

(

x

)|

< ε/

. Но,

x [

−

π,π]

(

2

как известно, для всех x R

x2k

(−1)kx2k+1

cos x =

∞

( 1)k

, sin x =

∞

.

X

kX

−

(2k)!

(2k + 1)!

k=0

=0

173

Так как эти степенные ряды равномерно сходятся на любом отрезке, то они сходятся и на отрезке [−n0π, n0π]. Пусть N = N(ε) такое натураль-

ное число, что для всех n > N и всех x [−n0π, n0π]

2T0

− =0

−(2k)!

2T0

− k=0

(2k + 1)!

cos x

n

(

1)kx2k

<

ε

,

sin x

n

(−1)kx2k+1

<

ε

,

kX

X

n

где T0 = X0 (|ak|+|bk|). Зафиксируем некоторое натуральное число p0 > N

k=1

и положим

p0	k x2k			p0	k x2k+1
X			и Bp0 (x) =	kX
Ap0 (x) =	(−1)	(2k)!		(−1)		(2k + 1)!	.
k=0				=0

Так как kx [−n0π, n0π] для всех x [−π, π] и всех k = 1, 2, . . . , n0, то

| cos kx − Ap0 (kx)| <

ε

,

| sin kx − Bp0 (kx)| <

ε

.

2T0

2T0

Отсюда следует, что

)−

a0

n0

) ≤ x

)−

)|+

max

f

x

+

a

A

kx

)+

b

B

p0 (

kx

max

f

x

T

x

2

x [ π,π]

(

k

p0 (

k

[

π,π] |

(

(

−

=1

−

kX

n

0

max

a

k||

cos kx

−

A

p0

(kx)

+ b

k

|| sin

kx

−

B

p0

(kx)

<

+ x [

−

π,π] k=1 |

|

|

|

X

ε

ε

n0

ε

ε

(|ak| + |bk|) =

<

+

+

= ε,

2

2T

0

2

2

=1

kX

a

n0

akAp0 (kx) + bkBp0 (kx) яв-

и алгебраический многочлен P (x) =

0

+

2

=1

ляется искомым.

kX

2). Пусть теперь f(x) C([−π, π]) и f(−π) 6= f(π). Рассмотрим

функцию g(x) = f(x)

−

f(π) − f(−π)

x. Очевидно, что g(x)

C([

π, π]),

2π

−

g(π) = g(−π). В силу предыдущего

ε >

0

P

1(

x

) : x

max

g(x)

−

P

(x)

|

< ε,

[

π,π] |

1

или

−

ε > 0

P

(x) :

max

|

f(x)

−

f(π) − f(−π)

x

−

P

(x)

|

< ε.

1

x

[

π,π]

2π

1

−

Пусть P (x) =

f(π) − f(−π)

x + P1(x). Тогда P (x)

— алгебраический

многочлен и

2π

−

|

x

max

f(x)

P (x)

< ε.

[

π,π] |

−

3). Наконец, пусть f(x) C([a, b]), [a, b] 6= [−π, π], и

ϕ(t) =

b − a

t +

b + a

, t

[

−

π, π].

2π

2

174