Глава 4

Интегралы, зависящие от параметра

4.1 Равномерная сходимость функции к предельной

Будем считать, каждый раз не оговаривая этого, что X R1x, Y

R1y, f : X × Y R2x,y → R, y0 — предельная точка множества Y . Обозначим через X0 множество тех точек x X, для которых существует

конечный предел lim f(x, y) = ϕ(x). Множество X0 X называют мно-

y→y0

жеством сходимости функции f(x, y) при y → y0, а функцию ϕ(x) — предельной функцией функции f(x, y) при y → y0. При этом говорят, что функция f(x, y) поточечно на множестве X0 сходится (или стремится) к предельной функции ϕ(x) при y → y0 или коротко: функция f(x, y) сходится (или стремится) к ϕ(x) на X0 при y → y0 и пишут:

ϕ(x) = lim f(x, y), x				X	, или f(x, y)	X0	ϕ(x).
y	→	y0		0		−−y →y0
						→

Приведем формальную запись поточечной сходимости f(x, y) к ϕ(x) на X0 при y → y0 в случае, когда y0 R :

X

f(x, y) −−→0 ϕ(x) x X0 ε > 0 Uy (δ), δ = δ(x, ε) > 0 :

y→y0 0

\ ◦

|f(x, y) − ϕ(x)| < ε, y Y Uy0 (δ).

Очевидно, что частным случаем поточечной сходимости функции f(x, y) к ϕ(x) на X0 при y → y0 является поточечная сходимость функциональной последовательности fn(x) на множестве X0 при n → +∞, поскольку fn(x) = f(x, n), x X, n N.

Пример 4.1. Найти множество сходимости и предельную функцию при y → +∞ для функции f(x, y) = sin xy, x ≥ 0, y > 0.

Если x [0, 1), то при y → +∞ имеем: xy → 0. Поскольку функция sin x непрерывна в точке x = 0, то f(x, y) = sin xy → sin 0 = 0 при y → +∞. Если x = 1, то при любом y ≥ 0 f(1, y) = sin 1, поэтому f(1, y) → sin 1 при y → +∞. Если x > 1, то xy → +∞ при y → +∞, а значит функция f(x, y) в этом случае не имеет предела при y → +∞.

103

Следовательно, множеством сходимости функции f(x, y) при y → +∞ является отрезок [0, 1], а предельная функция совпадает с функцией

ϕ(x) =		0,	x [0, 1),
	sin 1,		x = 1.

Определение 4.1. Пусть функция f(x, y) поточечно на множестве X сходится к предельной функции ϕ(x) при y → y0. Говорят, что функция f(x, y) равномерно на множестве X сходится к функции ϕ(x) при y → y0, если для любого положительного числа ε найдется

такая окрестность Uy0 точки y0, что для всех y	Y ∩	◦
		Uy0 и всех
x X справедливо неравенство |f(x, y) − ϕ(x)| < ε.

Eсли функция f(x, y) сходится поточечно на X при y → y0 к функции ϕ(x), но не удовлетворяет определению 4.1, то говорят, что функция f(x, y) сходится не равномерно на X к ϕ(x) при y → y0.

Равномерную сходимость функции f(x, y) на X при y → y0 к пре-

X

дельной функции ϕ(x) далее обозначается через f(x, y) −−−−→→ ϕ(x). Фор-

y→y0

мальная запись равномерной сходимости f(x, y) к ϕ(x) на множестве X при y → y0 имеет вид:

X

f(x) −−−−→→ ϕ(x) ε > 0 δ = δ(ε) > 0 :

y→y0

\ ◦

|f(x, y) − ϕ(x)| < ε, y Y Uy0 (δ), x X.

Непосредственно из определения 4.1 следуют следующие утвержде-

ния.

Лемма 4.1. 1) Если функция f(x, y) равномерно сходится на множестве X к функции ϕ(x) при y → y0 и X1 X, то f(x, y) равномерно сходится на множестве X1 к ϕ(x) при y → y0.

2) Если функции f1(x, y) и f2(x, y) равномерно сходятся на множестве X к функциям ϕ1(x) и ϕ2(x), соответственно, при y → y0, то любая их линейная комбинация αf1(x, y) + βf2(x, y), где α, β R, равномерно сходится к функции αϕ1(x) + βϕ2(x) на множестве X при y → y0.

3) Если функция f(x, y) равномерно сходится на множествах X1 и X2 к ϕ(x) при y → y0, то f(x, y) равномерно сходится к ϕ(x) на множестве X1 X2 при y → y0.

Докажем полезную в дальнейшем лемму.

Лемма 4.2. Пусть функция f(x, y) непрерывна на прямоугольнике Q = [a, b] × [c, d] и y0 [c, d]. Тогда f(x, y) равномерно на отрезке [a, b] сходится к функции ϕ(x) = f(x, y0) при y → y0.

104

Так как функция двух переменных f(x, y) непрерывна на Π, то она раздельно непрерывна в каждой его точке. Поэтому при каждом фикси-

рованном x [a, b] lim f(x, y) = f(x, y0). Покажем, что эта сходимость

y→y0

является равномерной относительно x на [a, b]. В силу теоремы Кантора функция f(x, y) равномерно непрерывна на Π, поэтому для произвольного числа ε > 0 найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что для любых точек (x0, y0), (x00, y00) из Π, для которых ρ((x0, y0), (x00, y00)) < δ, выполняется

неравенство

|f(x0, y0) − f(x00, y00)| < ε.

Поэтому для y [c, d] таких, что |y − y0| < δ, и любых x [a, b] выполняется неравенство |f(x, y)−f(x, y0)| < ε. Последнее означает равномерную сходимость f(x, y) к f(x, y0) на отрезке [a, b] при y → y0.

Как и для функциональной последовательности имеет место

Теорема 4.1 (критерий Коши равномерной сходимости функции к предельной). Для того чтобы функция f(x, y) равномерно сходилась на множестве X при y → y0 к предельной функции, необходимо и дос-

таточно, чтобы для любого положительного числа ε нашлась такая

◦

окрестность Uy0 точки y0, что для любых точек y0, y00 Y ∩ Uy0 и всех x X было справедливо неравенство |f(x, y0) − f(x, y00)| < ε.

Необходимость. Пусть функция f(x, y) равномерно сходитсяк ϕ(x) на множестве X при y → y0. Тогда для любого числа ε > 0 найдется

◦		◦				и любых
окрестность Uy0 точки y0 такая, что для любых y Y ∩ Uy0
	ε
x X выполняется неравенство |f(x, y) − ϕ(x)| <		. Отсюда, для любых
	2
◦
точек y0, y00 Y ∩ Uy0 и x X, получим, что				ε			ε
|f(x, y0) − f(x, y00)| = |(f(x, y0) − ϕ(x)) − (f(x, y00) − ϕ(x))| <
						+		= ε.
			2				2

Достаточность. Пусть выполнено условие Коши равномерного стремления функции f(x, y) на X при y → y0 к предельной. Зафиксируем точку x X. Тогда для функции h(y) = f(x, y) выполняется условие Коши существования конечного предела функции при y → y0. Следовательно, для каждого x X существует конечный предел

ϕ(x) = lim h(y) = lim f(x, y).

y→y0 y→y0

Покажем, что полученная сходимость является равномерной на X. Действительно, пусть для фиксированного ε > 0 окрестность Uy0 точки y0 найдена по условию Коши равномерного стремления функции f(x, y) к предельной при y → y0, то есть

|f(x, y0) − f(x, y00)| < 2ε, y0, y00 Y ∩ U◦ y0 , x X.

105

В этом неравенстве при фиксированных x X и y0 Y перейдем к пределу при y00 → y0, и получим, что |f(x, y0) − ϕ(x)| ≤ 2ε < ε. Последнее

неравенство выполняется при любом x X и любом y0 Y T U◦ y0 .

X

Поэтому f(x, y) −−−−→→ ϕ(x).

y→y0

Cледствие (критерий отсутствия равномерной сходимости функции к предельной). Для того чтобы не имело места равномерное стремление функции f(x, y) на множестве X при y → y0 к предельной,

необходимо и достоточно, чтобы при некотором ε > 0 для любой

◦

окрестности Uy0 точки y0 существовали пара точек y0, y00 Y ∩ Uy0 и точка x X такие, что |f(x, y0) − f(x, y00)| ≥ ε.

Обратите внимание, что говоря «функция f(x, y) сходится неравномерно на множестве X при y → y0 к предельной», мы утверждаем существование поточечной сходимости функции к предельной на множестве X при y → y0, но отсутствие равномерного стремления функции f(x, y) к предельной при y → y0.

Теорема 4.2. Пусть функция f(x, y) поточечно сходится к функции ϕ(x) на множестве X при y → y0. Для того, чтобы эта сходимость была равномерной, необходимо и достаточно, чтобы функция

α(y) = sup |f(x, y) − ϕ(x)|

x X

была бесконечно малой при y → y0.

X

Необходимость. Если f(x, y) −−−−→→ ϕ(x), то

y→y0

ε

◦

ε > 0 Uy0 : |f(x, y) − ϕ(x)| <

,

y Y ∩ Uy0 , x X.

2

Потому, α(y) = sup

f(x, y)

−

ϕ(x)

| ≤

ε

< ε,

y

Y

∩

◦

, то есть

2

x

X |

Uy0

α(y) → 0 при y → y0.

Достаточность. Пусть α(y) → 0 при y → y0. Тогда для любого ε > 0

◦

найдется окрестность Uy0 такая, что |α(y)| = α(y) < ε, y Y ∩ Uy0 , то

есть

◦

sup |f(x, y) − ϕ(x)| < ε, y Y ∩ Uy0 .

x X

Отсюда следует равномерная сходимость функции f(x, y) к ϕ(x) на множестве X при y → y0.

Пример 4.2. Исследовать характер сходимости функции f(x, y) =

1, x [0, +∞), y (0, +∞) к предельной на промежутке [0, +∞) при

x + y

y → +∞.

106

Так как при каждом фиксированном x

[0, +

∞

)

lim

f(x, y) = 0,

y→+∞

то функция f(x, y)

поточечно на множестве [0, +∞)

сходится к фун-

кции ϕ(x) = 0 при

y → +∞. Поскольку α(y) =

1

1

,

sup

=

x + y

y

x [0,+∞)

y (0, +∞), то α(y) → 0 при y → +∞ и эта сходимость является равномерной на промежутке [0, +∞).

Теорема 4.3 (критерий равномерного стремления функции к предельной в терминах последовательностей). Для того чтобы функция f(x, y) равномерно сходилась на множестве X к функции ϕ(x) при y → y0, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {yn}∞n=1 точек множества Y, отличных от y0, стремящейся к y0, функциональная последовательность {f(x, yn)}∞n=1 равномерно сходилась на множестве X к функции ϕ(x).

Замечание. Часто этот критерий называют критерием Гейне равномерной сходимости функции к предельной.

X

Необходимость. Пусть f(x, y) ϕ(x) при y → y0. Тогда для любого числа ε > 0 найдется такая окрестность Uy0 точки y0, что

◦

|f(x, y) − ϕ(x)| < ε, x X, y Y ∩ Uy0 .

Зафиксируем числовую последовательность {yn}∞n=1 такую, что yn Y , yn 6= y0 для всех n N, и y → y0. По окрестности Uy0 найдем N = N(ε) N такое, что yn Uy0 , n > N. Поэтому для всех n > N имеем:

|f(x, yn) − ϕ(x)| < ε, x X.

Это означает, что функциональная последовательность {f(x, yn)}∞n=1 равномерно сходится к функции ϕ(x) на множестве X.

Достаточность. Пусть для любой последовательности {yn}∞n=1 такой, что yn Y , yn 6= y0 для всех n N, и yn → y0, последовательность

{f(x, yn)}∞n=1 сходится равномерно на множестве X к функции ϕ(x). Согласно теореме Гейне из теории предела функции, при каждом фиксиро-

ванном x X функция f(x, y) имеет конечный предел при y → y0, и он равен ϕ(x), то есть функция f(x, y) поточечно сходится на множестве X к функции ϕ(x) при y → y0.

Предположим, что эта сходимость не является равномерной. Тогда существует такое число ε0 > 0, что для любой окрестности Uy0 (δ) най-

◦

дутся yδ Y ∩ Uy0 (δ) и xδ X такие, что |f(xδ, yδ) − ϕ(xδ)| ≥ ε0. Если считать для определенности y0 R, то для любого δ = n1 , n N, найдут-

1

ся yn Y, 0 < |yn − y0| < n, и xn X такие, что |f(xn, yn) − ϕ(xn)| ≥ ε0.

107