сказать нельзя. Но по формуле Тейлора

an

=

1

−

1

−p

= 1 +

p

+

p (p + 1)

1

+ o

1

, при n

+ ,

2n

(2n)

2

2

an+1

2n

2!

n

→ ∞

то есть

an

p/2

θn

, где θn =

p (p + 1)

+ o(1), при n → +∞.

=

1 +

+

an+1

n

n2

4 · 2!

Поэтому последовательность {θn} ограничена. В силу признака Гаусса исследуемый ряд сходится при p > 2 и расходится при 0 < p ≤ 2.

1.4Сходимость знакопеременных рядов

Определение 1.7. Числовой ряд называется знакопеременным, если у него бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов.

Начнем их изучение с преобразования Абеля. Пусть дан ряд

∞
kX	(1.11)
ak bk, ak, bk R, n N.
=1

Обозначим через Sn n-ые частичные суммы ряда (1.11), а через Bn —

∞

X

n-ые частичные суммы ряда bn. Если положить B0 = 0, то bn =

Bn − Bn−1			n=1
	, n N. Тогда
n		n	n−1
kX		X	X
Sn =		akbk =	ak(Bk − Bk−1) = (ak − ak+1)Bk + anBn, n N.
=1		k=1	k=1

Это преобразование n-ой частичной суммы ряда (1.11) называют преобразованием Абеля.

Лемма 1.1 (Абеля). Если числовая последовательность {an} монотонна, а последовательность {Bn} ограничена, то есть B > 0 :

|Bn| ≤ B, n N, то

				n
	|Sn| = |			kX
				akbk| ≤ B(|a1| + 2|an|), n N.
				=1
В силу преобразования Абеля						n−1
Sn	n−1 Bk(ak		ak+1) + an Bn		B		ak	ak+1 + an		, n N.
| | ≤ |	X	−		| | || | ≤		kX	| −	| | |
	k=1					=1

Поскольку разности ak − ak+1 для всех k ≥ 1 имеют один и тот же знак или равны нулю, то

n−1	n−1
X	kX	− an| ≤ |a1| + |an|, n N.
|ak − ak+1| = |	(ak − ak+1)| = |a1
k=1	=1

Поэтому |Sn| ≤ B(|a1| + 2|an|), n N.

14

Теорема 1.16 (признак Дирихле). Если в ряде (1.11) последовательность {an} монотонно стремится к нулю, а последовательность

∞

X

{Bn} частичных сумм ряда bn ограничена, то ряд (1.11) сходится.

n=1

Доказательство проведём с помощью критерия Коши сходимости числового ряда. Зафиксируем ε > 0. Оценим сверху сумму

p

| X ak+nbk+n|, n N, p N,

k=1

применяя к ней лемму 1.1. Прежде всего заметим, что

p bk+n

=

Bn+p

Bn

Bn+p

+

Bn

2B,

n

N,

p

N.

|

−

| ≤ |

|

|

| ≤

kX

=1

1.1 получаем неравенство

Из леммы

p

|

kX

ak+nbk+n| ≤ 2B(|an+1| + 2|an+p|), p N, n N.

=1

является бесконечно малой, то суще-

Так как последовательность {an}

ε

ствует такое n0 = n0(ε) N, что |an|

<

, n > n0. Поэтому

6B

p

kX

bn+kan+k| < ε,

p N, n > n0.

|

=1

Последнее означает сходимость ряда (1.11).

Теорема 1.17 (признак Абеля). Если в ряде (1.11) последователь-

∞

nX

bn сходится, то ряд

ность {an} монотонна и ограничена, а ряд

(1.11) сходится.

=1

По условию последовательность {an} монотонна и ограничена, поэто-

	∞
му является сходящейся. Положим, что a = lim an. Ряд	nX
	bn сходится,
	=1

поэтому последовательность его частичных сумм {Bn} ограничена. Поскольку

anbn = (an − a)bn + abn, n N,

	∞	∞
и ряд	nX	X
	(an − a)bn сходится по теореме 1.16, а ряд	abn сходится по
	=1	n=1

следствию теоремы 1.3, то ряд (1.11), являясь суммой этих двух рядов, сходится согласно теореме 1.4.

Замечание. Признаки Дирихле и Абеля нецелесообразно применять к положительным рядам, поскольку для них они являются частными

случаями теорем сравнения.
Пример 1.8. Исследовать на сходимость ряд
∞	sin αn
nX		, где α R.	(1.12)
=1	n

15

Прежде всего заметим, что при α = kπ, k Z, sin αn = 0, n N, поэтому ряд (1.12) сходится. Если же α 6= kπ, k Z, то для всех n N

n

2 sin

2

n

α

kX

X

Bn =

sin kα =

1

2 sin

sin kα =

α

2

=1

k=1

=

1

n

cos

k

1

! α

cos

k +

1

! α! =

2 sin

2

kX

− 2

−

2

1

α

−

=1

1

!

α!

1

(n + 1) α

n α

=

cos

cos

n +

=

2 sin

sin

,

α

α

2 sin

2

2

2 sin

2

2

2

2

откуда следует, что |Bn| ≤

1

,

n N. Поскольку последователь-

| sin(α/2)|

ность (

1

) является монотонной бесконечно малой последовательностью,

n

то при α 6= kπ, k Z, ряд (1.12) сходится по признаку Дирихле.

Таким образом, ряд (1.12) сходится для всех α R.

1.5 Ряд лейбницевского типа и его свойства

∞

Определение 1.8. Числовой ряд

nX

an

называется знакочередую-

=1

щимся, если любые его два соседних члена имеют противоположные знаки, то есть sgn(an · an+1) = −1, n N.

Заметим, что знакочередующийся ряд всегда можно записать в виде

	∞	∞
	nX	X
	(−1)n−1an или	(−1)nan, где an > 0, n N.
	=1	n=1
	Далее будем всегда использовать первое представление такого ряда
	∞
	nX	(−1)n−1an, an > 0.	(1.13)
	=1

Теорема 1.18 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд, у которого {an} — монотонная и бесконечно малая при n → +∞ последовательность, сходится, его сумма неотрицательна и не превосходит a1.

Поскольку an > 0, n N, то последовательность {an} является невоз-

∞

растающей бесконечно малой. Частичные суммы Bn ряда X (−1)n−1

n=1

образуют ограниченную последовательность. Следовательно, ряд (1.13) сходится по признаку Дирихле.

16

∞ (−1)n−1

X

n=k+1

∞

X

Поскольку a2k − a2k+1

Оценим сумму ряда (1.13), для чего рассмотрим подпоследовательности {S2n} и {S2n+1}, его частичных сумм. Так как для всех n N

S2n = (a1 − a2) + (a3 − a4) + · · · + (a2n−1 − a2n),

и a2k−1 − a2k ≥ 0, k N, то S2n ≥ 0, n N, и потому S = lim S2n ≥ 0. ≥ 0 для всех k N и для всех n N

S2n+1 = a1 − (a2 − a3) − · · · − (a2n − a2n+1),

то S2n+1 ≤ a1 для всех n N, и потому S = lim S2n+1 ≤ a1.

Определение 1.9. Знакочередующийся ряд, модули членов которого образуют монотонную бесконечно малую последовательность, называется рядом лейбницевского типа.

С учётом определения 1.9 теорема 1.18 принимает вид.

Теорема 1.19. Ряд лейбницевского типа сходится.

Из доказанной теоремы вытекает следующий результат.

Cледствие. Число σ(k) = (−1)n−1an — сумма k-го остатка

ряда лейбницевского типа (1.13), по модулю не превосходит модуля его первого члена, то есть |σ(k)| ≤ ak+1, k N.

Пример 1.9. Исследовать на сходимость ряд		.
n=1	n

Исследуемый ряд является, очевидно, рядом лейбницевского типа, по-

1

этому он сходится и |σ(n)| ≤ an+1 = n + 1, n N, то есть замена суммы S ряда величиной его n-ой частичной суммы допускает абсолютную погрешность, которая не превосходит n +1 1, n N.

1.6Абсолютная и условная сходимость ряда

∞		∞
X	|an| сходится, то ряд	nX
Лемма 1.2. Если ряд		an сходится.
n=1		=1

Доказательство утверждения следует из критерия Коши сходимости числового ряда, поскольку для всех n N и p N

	n+p	ak			n+p	ak .
	X			≤	|	|
k					X
									n
	=n+1				k=n+1		nX
Замечание. Обратное утверждение неверно: ряд							∞	(−1)		сходится,
								n
							=1

а ряд из модулей его членов (гармонический ряд) расходится.

17