1.10Задания для самостоятельной работы

						∞	∞
1. Доказать,что если один из числовых рядов						X	nX
						an,	bn сходится, а
				∞		n=1	=1
другой расходится, то ряд				nX
				(an ± bn) расходится.
				=1
			∞		∞
	∞ nX				X
2. Пусть числовые ряды			an и		bn расходятся. Что можно сказать
	nX		=1		n=1
о сходимости ряда		(an + bn)? Привести примеры.
		=1
	∞		∞	∞		∞
3. Доказать, что				nX	X
	если	ряды			(an + bn) и	(an − bn) сходятся, то
	X		nX	=1	n=1
сходятся ряды				bn.
	an и
	n=1		=1

4. Привести пример двух последовательностей {an} и {bn} таких, что

∞	∞
nX	X
an ≥ bn, n N, ряд	an сходится, а ряд bn расходится.
=1	n=1

5. Привести пример двух последовательностей {an} и {bn} таких, что

∞	∞
X	nX	bn расходится.
|an| ≥ |bn|, n N, ряд	an сходится, а ряд
n=1	=1
∞
nX	an сходится, то последовательность сумм
6. Доказать, что если ряд
=1			∞
его остатков является бесконечно малой, то есть			→∞ n X	an = 0.
		lim
		k	=k+1

7.Доказать, что если положительные последовательности {an} и {bn} являются бесконечно малыми одного порядка, то есть an = O(bn) и

∞∞

X X

→+∞ то соответствующие ряды an и bn

сходятся или расходятся одновременно.				n=1		n=1
							X
		nX
8. Доказать, что если положительный ряд			∞ an сходится, то ряд				∞ an2
			=1			n=1
сходится. Верно ли обратное утверждение?					nX
	X
9. Доказать, что сходимость ряда ∞ a2 влечет сходимость ряда					∞		|an|	.
	n=1	n			=1 n
		X		nX
10. Доказать, что из сходимости рядов		∞ an2	и	∞ bn2 следует сходимость
рядов ∞ |anbn|,	∞ (an + bn)2.	n=1		=1
X	nX
n=1	=1

31

				∞
11. Пусть an ≥ 0, n N, и ряд				nX
				an — сходится. Доказать, что ряд
∞ Sn			n	=1
X			kX
n=1 n		расходится, где Sn =	=1 ak, n N.

12. Пусть {an} — последовательность неотрицательных чисел. Доказать,

∞

X

что из сходимости ряда an следует сходимость рядов:

nX

n=1

X

an

an

(a)

∞

;

(b)

∞

;

=1

1 + a

n=1

1 + n a

n

n

∞

∞

(c)

nX

max(an, an+1, an+2);

(d)

X

min(an, an+1, . . . , a2n−1);

=1

n=1

√

∞

√

∞

.

(e)

;

(f)

an

an an+1

nX

X

n

=1

n=1

13. Пусть {bn}—последовательность неотрицательных чисел. Доказать,

∞

X

что из расходимости ряда bn следует расходимость рядов:

n=1

	nX	bn
(a)	∞			;
	=1	1 + b
			n

14. Доказать, что если lim nan =

∞

X

(b)max(bn, bn+1, . . . , b2n−1).

n=1
a 6= 0, то ряд	∞
	X an расходится.

n=1

15. Пусть {an} — убывающая последовательность положительных чисел

∞

X

и ряд an сходится. Доказать, что lim n an = 0.

n=1

n→∞

∞

∞

nX

X

16. Пусть положительные ряды

an и

bn сходятся, Rna и Rnb — n-ые

=1

n=1

∞

nX

bn сходится медленнее ряда

остатки этих рядов. Говорят, что ряд

∞ an, если

Rna

=1

lim

= 0. Доказать, что для каждого положитель-

nX

n

→∞

R

b

n

=1

∞

∞

ного сходящегося ряда

X

nX

an существует положительный ряд

bn,

n=1

=1

который сходится медленнее его.

17. Пусть для последовательности положительных чисел

{

a

∞

суще-

ствует предел lim

a

n}n=1

n+1 = a. Доказать, что тогда существует

n→∞

an

lim

√n

= a.

an

n→∞

∞

18. Доказать признак Раабе. Пусть ряд

nX

an — строго положителен и

Rn = n an+1n

− 1 , n ≥ 1. Тогда:

=1

a

32

(a) если существует число r > 1 такое, что Rn ≥ r, n ≥ n0, то ряд
∞
an сходится;
=1
nX
(b) если Rn ≤ 1, n ≥ n1, то ряд расходится.
19. Пусть an	> 0, n N, и S — сумма ряда лейбницевского типа
∞
(−1)n−1an, . Доказать, что S2n ≤ S ≤ S2n+1, n N, где Sn — n-ая
=1
nX
частичная сумма ряда.
	∞		∞
20. Пусть ряд	an сходится абсолютно, а ряд			bn сходится. Доказать
	=1		n=1
	nX		X
			∞
что характер сходимости ряда			(an + bn) совпадает с характером
			=1
сходится второго ряда.			nX
		∞
21. Доказать, что если ряд		X an абсолютно сходится, то

n=1

∞

|

X

n=1

∞

an| ≤ X |an|.

n=1

22.Привести пример расходящегося ряда, для которого выполнено необходимое условие сходимости, но существует такая группировка членов, что полученный ряд сходится.

23.Привести пример расходящихся рядов, для которых ряд произведения в форме Коши сходится.

24.Доказать, что последовательность {an} сходится тогда и только то-

∞

X

гда, когда ряд (ak − ak−1) сходится.

k=2

25. Доказать, что если {an} — монотонная ограниченная последователь-

∞

ность, то ряд X |ak − ak−1| сходится. Верно ли это утверждение для

k=2

монотонной неограниченной последовательности?

26. Доказать необходимое условие сходимости ряда, используя определение сходимости ряда.

27. Пусть lim (an+1 +· · ·+an+p) = 0 при любом p N. Следует ли отсюда,

n→∞

∞

X

что ряд an сходится?

	n=1
	∞
28. Пусть	nX
	an — некоторый числовой ряд, а bn = (a2n + a2n+1), n N.
	=1	∞
	∞
	X	nX
Являются ли ряды an и		bn равносходящимися?
	n=1	=1

33

29. Пусть {bn} — ограниченная последовательность, а {an} — положи-

	∞	∞
тельная и ряд	X	nX
	an сходится. Доказать, что ряд	bnan сходится.
	n=1	=1

Верно ли это утверждение, если {an} является знакопеременной?

30.Верен ли признак сравнения в непредельной форме для знакопеременных рядов? Привести подтверждающие примеры.

31. Пусть an ≥ 0, bn ≥ 0, n N, и {ank } : ank < bnk . Доказать, что из
		∞				∞
		kX				X
расходимости ряда		ank следует расходимость ряда					bn.
		=1				n=1
			∞		∞
32. Пусть an			X	an,	nX	расходятся. Что
	≤ bn ≤ cn, n N, и ряды				cn
			n=1		=1
			∞
можно сказать о сходимости ряда			nX
			bn?
			=1
					∞	∞
33. Привести примеры таких сходящихся рядов					nX	X
					an,	bn, для кото-
	∞				=1	n=1
nX
рых ряд	anbn расходится.
	=1

34.Показать, что монотонность функции f на [1, +∞) существенна для справедливости интегрального признака Маклорена-Коши.

35.		∞	2(−1)	n		−n?
	Можно ли по признаку Даламбера исследовать ряд X
		n=1
		∞	n(n+1)
36.	Пусть cn > 0, n N и cn ↓ 0. Сходится ли ряд	nX				cn?
		(−1)	2
		=1

37. Показать существенность условия монотонности последовательности

	{an} в признаке Лейбница сходимости ряда				nX
					∞ (−1)nan.
					=1
		∞
	38. Пусть ряд	nX
		an сходится абсолютно (условно). Доказать, что для
		=1
		∞
	nX
	c 6= 0 ряд	can сходится абсолютно (условно).
		=1	X	nX
	39. Найти произведение по Коши рядов
			∞ an,		∞ bn, 0 < a, b < 1.
			n=1		=1

34