4.7 Примеры вычисления несобственных интегралов

4.7.1 Интеграл Дирихле

+∞sin x

Интегралом Дирихле называют интеграл I

=

Z

dx.

Сходи-

x

мость этого интеграла доказана ранее (см. пример

0

3.14). Для его вы-

числения введем в рассмотрение вспомогательную функцию

sin x

e−xy,

x

(0, +

∞

), y

[0, +

∞

),

f(x, y) =

x

1, x = 0, y [0, +∞),

Отметим , что

sin x

,

x = 0,

f(x, 0) =

x

6

1,

x = 0.

+

∞

+

Рассмотрим НИЗП I(y) =

Z

Z

∞sin x

e−xy dx, y [0, +∞).

f(x, y) dx =

x

0

0

Сначала докажем, что функция I(y) непрерывна на луче y ≥ 0. Заметим, что f(x, y) C(Π), Π = [0, +∞) × [0, +∞). Как отмечалось выше,

	+∞sin x
несобственный интеграл	Z		dx сходится, а значит, он равномерно
		x
	0

сходится на луче y ≥ 0, поскольку подынтегральная функция от y не зависит. Функция e−xy ограничена на Π, так как 0 < e−xy ≤ 1, x ≥ 0,y ≥ 0, и при каждом y [0, +∞) монотонна на [0, +∞). Выполнены требования признака Абеля равномерной сходимости НИЗП, и интеграл I(y) равномерно сходится на луче y ≥ 0, а значит, на любом отрезке [0, y0], y0 > 0. Из равномерной сходимости несобственного интеграла на отрезке [0, y0] и непрерывности подынтегральной функции f(x, y) на Π из теоремы 4.21 вытекает непрерывность функции I(y) на любом отрезке [0, y0], y0 > 0, а, значит, ее непрерывность на луче [0, +∞).

Докажем теперь, что функция I(y) непрерывно дифференцируема на множестве (0, +∞). Как уже отмечалось, несобственный интеграл I(y) сходится на [0, +∞), функция f(x, y) C(Π). Наконец, функция f(x, y)

имеет на Π частную производную

∂f

=

−e−xy sin x, которая, очевидно,

∂y

непрерывна на Π.

+∞

∂f

Докажем, что

несобственный интеграл

Z

(x, y) dx

равномерно

∂y

0

сходится на любом отрезке [y0, y1] (0, +∞). Сначала заметим, что

∂f

(x, y) =

e−xy sin x

≤

e−xy0

,

x

[0, +

∞

)

×

[y0, +

).

∂y

−

∞

126

	+∞
Так как несобственный интеграл	Z	e−xy0 dx сходится, то в силу призна-

0

ка Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗП (теорема 4.17) несоб-

	+∞	∂f
ственный интеграл	Z		(x, y) dx	равномерно сходится на луче y ≥ y0,
		∂y
	0

а потому и на любом отрезке [y0, y1] (0, +∞). Следовательно, по следствию теоремы 4.24, все требования которого выполнены, функция I(y) непрерывно дифференцируема на луче (0, +∞), и

+∞

y (0, +∞).

I0(y) = − Z

e−xy sin x dx,

0

+∞

+∞

e−xy sin x dx = −1 − y2I0(y).

I0(y) = − Z

e−xy sin x dx = −1 + y2

Z

0

0

Значит, I0(y) = −

1

,

y (0, +∞), и

1 + y2

I(y) = − arctg y + c, y (0, +∞).

(4.11)

Отметим, что существует предел

lim I(y) =

lim

(

−

arctg y + c) =

π

y→+∞

y→+∞

−

+ c. С другой стороны, так как

2

1e−xy

+∞= 1,

y > 0,

0

I(y) =

+∞sin xe−xy dx

+∞e−xy dx =

≤ |

|

Z

≤ Z

−

x

y

y

0

0

0

(0, +∞)

то lim

I(y) =

(4.11) следует, что

0. Из равенства

Интегрируя два раза по частям, находим, что для y

y→+∞

π

π

c =

,

I(y) = − arctg y +

, y > 0.

2

2

Учитывая непрерывность функции I(y) в точке y = 0, получаем:

+∞sin x

π

!

π

I

Z

dx

I

lim I(y) = lim

− arctg

y

.

=

x

=

+ 2

= 2

(0) = y

→

+0

y

→

+0

0

Рассмотрим, как обобщение интеграла Дирихле, интеграл

+∞

Z sin xy dx, y R \ {0}. x

0

Если y > 0, то, делая замену yx = t (y dx = dt), находим, что

+∞

Z sint tdt = π2 .

0

127

Если y < 0,, то, делая замену −yx = t (−y dx = dt), находим, что

+∞sin t

π

− Z

dt = −

.

t

2

0

Следовательно,

2 ,

если y > 0

π

+∞sin xy

π

Z

π

x

2

0

dx =

−

2 ,

если y < 0

=

sgn y.

Этот интеграл иногда называют разрывным множителем Дирихле. Учи-

	+∞
тывая, что	Z	sin xy	dx = 0 при y = 0, через разрывный множитель
		x
	0

Дирихле можно записать интегральное представление функции sgn y :

		2		+∞		xy
		sgn y =		Z		sin		dx.
			π			x
				0
	Интеграл Дирихле можно использовать и для вычисления других
несобственных интегралов.				Z			x2
	Пример 4.6. Вычислить I = +∞				cos ax − cos bx				dx, если a > 0, b > 0.
				0
	Заметим, что f(x) =	cos ax − cos bx				непрерывна на луче (0, + ) при
		x2							∞

любых a, b R, поэтому функция f локально интегрируема на (0, +∞). А так как

	lim	cos ax − cos bx	=	b2 − a2	,
		x2		2
	x→0

то x = +∞ — единственная особая точка функции f на (0, +∞). Учиты-

вая, что

lim

cos ax − cos bx

=

lim

cos ax − cos bx

= 0, проинтегрируем

x→+∞

x

x→+0

x

заданный интеграл по частям:

bx

=

du

= −1(

a

ax

−

b

bx

dx

I =

u = cos ax − cosdx

sin

sin

)

=

dv

=

=

v

=

2

x

−x

+∞

a sin ax − b sin bx

=

dx.

− Z

x

0

Поскольку a > 0, b > 0, то

+∞a sin ax

a π

+∞b sin bx

b π

Z

dx =

,

Z

dx =

.

x

2

x

2

0

0

Окончательно, получаем, что I = (b − a)π.

2

128

4.7.2 Интеграл Фруллани

Интегралом Фруллани называют несобственный интеграл вида

+∞

f(ax) − f(bx)

dx, a > 0, b > 0.

(4.12)

Z

x

0

Чтобы его вычислить, докажем две следующие теоремы Фруллани.

Теорема 4.25. Пусть f C([0, +∞)) и существует конечный пре-

lim

f(x) = f(+

).

дел x→+∞

∞

Тогда интеграл 4.12 сходится, и

+∞

f(ax) − f(bx)

dx = (f(0)

−

f(+

)) ln

b

, (a > 0, b > 0).

(4.13)

Z

x

∞

a

0

Так как f C([0, +∞)), то x = +∞ и, возможно, x = 0 — особые точки подынтегральной функции. Для исследования и вычисления интеграла воспользуемся определениями 3.8, 3.2 и при 0 < δ < < +∞

рассмотрим интеграл

Z

− Z

Z

x

ax

bx

I(δ, Δ) =

f(ax) − f(bx)

dx =

f(ax)

d(ax)

f(bx)

d(bx) =

δ

δ

δ

a

f(t)

b

f(t)

bδ f(t)

b

f(t)

= Z

dt − Z

dt = Z

dt − Z

dt.

t

t

t

t

aδ

bδ

aδ

a

Функция f(t) непрерывна на отрезках [aδ, bδ] и [a

, bΔ], а функция

1

t

монотонна на них, поэтому, в силу первой теоремы о среднем,

bδ f(t)

bδ dt

b

η0 [aδ, bδ] : Z

dt = f(η0) Z

= f(η0) ln

,

t

t

a

aδ

aδ

b

f(t)

b

dt

b

η00 [a , bΔ] : Z

dt = f(η00) Z

= f(η00) ln

.

t

t

a

a

a

Устремим теперь δ → +0, → +∞, и получим, что существует предел

δ→+0

δ→+0

a −

a

!

−

∞

a

lim I(δ, Δ) =

lim

f(η0) ln

b

f(η00) ln

b

= (f(0)

f(+

)) ln

b

,

→+∞

→+∞

то есть несобственный интеграл (4.12) сходится и имеет месть равенство

(4.13).
	Теорема 4.26. Пусть f C([0, +∞)) и несобственный интеграл
+∞f(x)
Z			dx, A > 0, сходится. Тогда интеграл 4.12 сходится и
	x
A
			+∞	f(ax) − f(bx)	dx = f(0) ln	b	, (a > 0, b > 0).
				x
			Z		a
			0

129

+∞

При δ > 0 рассмотрим интеграл I(δ) = Z f(ax) − f(bx) dx. Тогда, x

δ

проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям в теореме 4.25, и применяя первую теорему о среднем, получим, что

+∞

f(ax) − f(bx)

dx =

+∞

f(ax)

dx

−

+∞

f(bx)

dx =

Z

x

Z

x

Z

x

δ

δ

δ

+∞f(t)

+∞f(t)

bδ f(t)

bδ dt

b

= Z

dt − Z

dt =

Z

dt = f(η) Z

= f(η) ln

,

t

t

t

t

a

aδ

bδ

aδ

aδ

где η

[a δ, b δ]. Так как η

→

0 при δ

→

+0, то lim f(η) = f(0). Следова-

δ

→

0

тельно, существует конечный предел

lim

+∞

f(ax) − f(bx)

dx = f(0) ln

b

,

δ

→

+0

Z

x

a

δ

то есть интеграл

+∞

f(ax) − f(bx)

dx сходится к числу f(0) ln

b

.

Z

x

a

0

Пример 4.7. Вычислить интеграл +∞

e−ax − e−bx

dx, где a > 0, b > 0.

Z

x

0

В данном случае f(x) = e−x, поэтому f C([0, +∞)), f(0) = 1 и

lim f(x) = 0. По теореме 4.25 заданный несобственный интеграл схо-
x→+∞
дится и
+∞	e−ax − e−bx	dx = (f(0)	−	f(+	)) ln	b	= ln	b	.
	x					a
Z				∞				a
0

Заметим, что к этому интегралу можно применить и теорему 4.26, так

+∞e−ax

как несобственный интеграл

Z

dx сходится и потому

x

1

+∞

e−ax − e−bx

dx = f(0) ln

b

= ln

b

.

a

Z

x

a

0

Пример 4.8. Вычислить интеграл

+∞

cos(ax) − cos(bx)

dx, предпола-

Z

x

гая, что a > 0, b > 0.

0

Так как f(x) = cos x C([0, +∞)), и не существует предела фун-

кции cos x при x → +∞+, то теорему 4.25 применять нельзя. Однако,
Z		x
несобственный интеграл	∞cos(ax)			сходится для любого a > 0 в си-
			dx

1

лу признака Дирихле, поэтому по теореме 4.26 исходный несобственный

130