π/4		π/4		π/4
= 2	Z	ln 2 dt + 2	Z	ln sin t dt + 2	Z	ln cos t dt.
	0		0		0

	Так как cos t = sin	π	− t!, то
		2
	π/4ln cos t dt =			π/4ln sin	π	−	t! dt =	π/2ln sin u du.
					2
	Z			Z				Z
	0			0				π/4

Тогда

π

π/4

π/2

π

J = 2

ln 2 + 2

Z

ln sin t dt +

Z

ln sin u du

=

ln 2 + 2J.

4

2

0

π/4

π

Отсюда следует, что J = −

ln 2.

2

Пример 3.11. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

+∞

Z dx

0(x2 + 1)2

ивычислить его, если он сходится.

Применим теорему 3.4 о замене переменной в несобственном интеграле. Подынтегральная функция, очевидно, непрерывна на промежутке [1, +∞). Положим ϕ(t) = tg t, t [0, π/2). Все условия теоремы 3.4, наложенные на функцию ϕ(t), как легко проверить, выполнены. Значит данный несобственный интеграл сходится или расходится одновременно с интегралом

π/2	dt/ cos2 t		π/2
Z		=	Z	cos2 t dt,
	(1 + tg2 t)2
0			0

который является интегралом Римана на отрезке [0, π/2] от непрерывной функции cos2 t, и, следовательно, сходится. Тогда

+∞		dx		=	π/2cos2 t dt =	1	t +		1	sin 2t π/2		=	π		.
Z	(x	2	2			2								4
		+ 1)			Z			2
0					0						0

3.3Несобственные интегралы от неотрицательных функций

Пусть f : [a, b) → R, f(x) ≥ 0, x [a, b), и функция f локально интегрируема на [a, b). Рассмотрим функцию

Zt

F (t) = f(x) dx, t [a, b),

a

87

которая в силу свойств интеграла Римана (см. например, [9, с. 17–22]) неотрицательна и монотонно возрастает на [a, b). По теореме о существовании предела монотонной функции (см. [6, с. 147], [8, c. 57, теорема

2.43]) предел lim F (t) существует тогда и только тогда, когда функция

t→b t<b

F (t) ограничена сверху на [a, b). Поэтому из определений 3.2 и 3.3 получаем следующую теорему.

Теорема 3.5. Пусть f(x) ≥ 0 на [a, b) и функция f локально интегрируема на [a, b). f R[a,b) тогда и только тогда, когда

M > 0 : t [a, b)	Zt f(x) dx ≤ M.
	a

Из этого критерия сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций выведем полезные на практике теоремы сравнения.

Теорема 3.6 (первая теорема сравнения или признак сравнения в непредельной форме). Пусть f, g : [a, b) → R, 0 ≤ f(x) ≤ g(x) для всех x из [a, b), и функции f, g локально интегрируемы на [a, b). Тогда:

а) если Zb g(x) dx сходится, то	Zb f(x) dx сходится;
a	a

б) если Zb f(x) dx расходится, то	Zb g(x) dx расходится.
a	a

Zb

Докажем утверждение а). Пусть интеграл g(x) dx сходится. По тео-

a

Zt

реме 3.5 M > 0 : t [a, b) g(x) dx ≤ M. Тогда, в силу теоремы

a

об интегрировании неравенств (см. например, [6, c. 357], или [9, c. 21, теорема 1.18]),

Zt Zt

f(x) dx ≤ g(x) dx ≤ M, t [a, b).

a a

Zb

Следовательно, по теореме 3.5 интеграл f(x) dx сходится. Утверждение

a

б) легко следует из а) (докажите самостоятельно, пользуясь методом от противного).

Пример 3.12. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

+∞sin2 x
Z		dx, λ > 1.
	xλ
1

88

Очевидно, что			sin2 x	1			x [1, +∞). Как показано в примере
		0 ≤		≤		,
			xλ		xλ
	+∞
3.2, интеграл	Z	x−λ dx сходится при λ > 1. В силу теоремы 3.6, при

1

λ > 1 сходится интеграл

+∞sin2 x
Z		dx.
	xλ
1

Теорема 3.7 (вторая теорема сравнения или признак сравнения в предельной форме). Пусть функции f и g неотрицательны, g 6= 0,x [a, b), функции f, g локально интегрируемы на [a, b) и существу-

ет предел lim f(x) = K.

x→b g(x) x<b

Zb

1) Если K < +∞, то из сходимости интеграла g(x) dx следует

a

Zb

сходимость интеграла f(x) dx.

a

Zb

2) Если K > 0, то из расходимости интеграла g(x) dx следует

a

Zb

расходимость интеграла f(x) dx.

a

1). Пусть K [0, +∞). По определению предела функции в точке

f(x)

b0 (a, b) : g(x) < K + 1, x [b0, b).

Значит, f(x) < (K + 1) g(x), x [b0, b). Отсюда в силу свойств несоб-

Zb

ственного интеграла и теоремы 3.6 следует сходимость интеграл f(x) dx.

a

2). Пусть K (0, +∞]. Если K = +∞, то по определению бесконечно большой функции

f(x)

b0 (a, b) : g(x) > 1, x [b0, b).

Zb

Тогда f(x) > g(x) > 0, x [b0, b), и по теореме 3.6 интеграл f(x) dx

a

расходится.

f(x) K

Если K (0, +∞), то b0 (a, b) : g(x) > 2 , x [b0, b). Как и вы-

ше, учитывая расходимость интеграла от функци g, в силу теоремы 3.6 и свойств несобственного интеграла получаем расходимость интеграла от функции f.

89

Cледствие 1. Пусть f, g : [a, b) → R и функции f, g локально интегрируемы на [a, b). Если функция g (или f) положительна в некоторой

окрестности точки b и существует предел
lim	f(x)	= γ, 0 < γ < +	∞	,
x b g(x)
→
x<b

то интегралы Zb f(x) dx и Zb g(x) dx сходятся или расходятся одновре-
менно.	a	a
		Пусть f, g : [a, b) → R, и функции f, g локаль-
Cледствие 2.
но интегрируемы на [a, b). Если функция g (или f) положительна

в некоторой окрестности точки b и f(x) g(x) при x → b (то есть

x b g(x)				, то интегралы	b			b		сходятся или расхо-
					Z			Z
lim	f(x)		= 1)		f(x) dx,			g(x) dx
→					a			a
x<b
дятся одновременно.
	Пример 3.13. Исследовать на сходимость несобственный интеграл
				1	(x(ex		e−x))1/3 .
				Z
						dx
				0		−

Точка x = 0 — единственная особая точка подынтегральной функции. Так как (x(ex − e−x))1/3 > 0, x (0, 1] и lim ex − e−x = 2, то есть ex −

x→0 x

e−x 2x при x → 0, то по следствию 2 теоремы 3.7, данный интеграл является равносходящимся с интегралом

1	dx		1	1	dx
Z		=		Z		.
	(2x2)1/3		21/3		x2/3
0				0

Последний интеграл сходится, поскольку 2/3 < 1 (см. пример 3.2).

3.4Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов

Теорема 3.8. Пусть f : [a, b) → R и f				локально интегрируема на
[a, b). Если |f| R[a,b), то f R[a, b) и
b f(x) dx		b	f(x)		dx.
Z		≤ Z	|	|
a		a

Прежде всего заметим, что если f локально интегрируема на [a, b), то такой же будет и функция |f|, что следует из свойств интеграла Римана (см., например, [6, с. 357], или [9, c. 18, теорема 1.14]). Так как интеграл

90

Zb

|f(x)| dx сходится, то по теореме 3.1 (критерию Коши)

a

ε > 0

b0 = b0(ε)

[a, b) :

t00

|

f(x)

|

dx

< ε,

t0

, t00

[b0, b).

Z

t0

t00

t00

Z

≤ Z

|

|

t0

t0

Но для функции, интегрируемой по Риману,

f(x) dx

f(x)

Тогда

t00 f(x) dx

< ε,

t0, t00

[b0, b).

Z

t0

b

Вновь, применяя критерий Коши, убеждаемся, что интеграл

Z

f(x) dx

a

сходится. Чтобы доказать нужное неравенство, достаточно перейти к пределу при t → b, t < b, в следующем неравенстве

	t	f(x) dx	t		f(x) dx,
Z			≤ Z	|	|
a			a

справедливом в силу свойств интеграла Римана для всех t [a, b). В связи с доказанной теоремой дадим такое определение.

Определение 3.5. Пусть функция f локально интегрируема на [a, b). Если |f| R[a,b), то будем говорить, что функция f абсолютно интегрируема в несобственном смысле на [a, b), а несобственный ин-

b	R[a,b)		|		| 6 R[
Z		,
теграл f(x) dx абсолютно сходится. Если же f				f	a,b),
a

Zb

то будем говорить, что несобственный интеграл f(x) dx сходится

a

не абсолютно (условно).

Приведём два признака сходимости несобственных интегралов, подынтегральная функция которых не обязательно положительна, а сами интегралы, возможно, не сходятся абсолютно.

Теорема 3.9 (признак Дирихле). Пусть функции f и ϕ удовлетворяют следующим условиям:

1) функция f локально интегрируема на промежутке [a, b), а функ-

Zt

ция F (t) = f(x)dx ограничена на [a, b);

a

2) функция ϕ монотонна на [a, b);

91

3) lim ϕ(x) = 0.

x→b x<b

Zb

Тогда несобственный интеграл I = f(x)ϕ(x) dx сходится.

a

Не нарушая общности будем считать, что ϕ(x) ≥ 0, x (x0, b). Вос-

пользуемся критерием Коши 3.1 сходимости несобственного интеграла.

Zt2

Зафиксируем ε > 0 и рассмотрим f(x)ϕ(x) dx, где

t1

x0 ≤ t1 < t2 < b.

Поскольку функция f интегрируема на [t1, t2], то к последнему интегралу применима вторая интегральная теорема о среднем (теорема Бонне — [8, теорема 1.28, с. 33]), согласно которой

Zt2

Zη

Zt2

η (t1, t2) : f(x)ϕ(x)dx = ϕ(t1)

t1

t1

f(x) dx + ϕ(t2) f(x) dx.

η

Поэтому

	t2 f(x)ϕ(x) dx		≤ |	ϕ(t1)	|		η
Z						Z
t1						t1

f(x) dx + |ϕ(t2)|

Zt2

η

f(x) dx .

			Z			≤
			a	t
По условию		M > 0 :					M, t [a, b), поэтому
					f(x) dx

Zt2

Аналогично,

η

	η f(x)dx		=		η
Z				Z
				a
t1

f(x) dx ≤ 2M.

Zt1

f(x) dx −

a

f(x) dx ≤ 2M.

По условию теоремы lim ϕ(x) = 0, поэтому

x→b

ε

b0 = b0(ε) (x0, b) : |ϕ(x)| < 4M , x (b0, b).

Следовательно, для всех t1, t2 (b0, b), выполняется неравенство

	t2 f(x)ϕ(x)dx		<	2Mε			+	2Mε		= ε.
					4M			4M
Z
t1

По критерию Коши (теореме 3.1) несобственный интеграл I сходится. Пример 3.14. Исследовать на сходимость при α > 0 несобственный

	+∞sin x
интеграл	Z		dx.
		xα
	1

92

t

−

|

≤

∞

Z

1

=

cos x

1t

2,

t

[1, +

), а функция 1/xα

Так как

sin x dx

→ ∞

, то в

силу признака Дирихле дан-

монотонно стремится

к 0 при x

+

ный интеграл сходится. Заметим, что

sin x

1

, и при α > 1 интеграл

α

α

+

x

≤ x

∞

Z

x−

α

dx сходится (см. пример

3.2). Следовательно, при α > 1 данный

1

интеграл сходится абсолютно.

интеграл сходится условно, для

Докажем, что при 0 < α ≤ 1 этот

+

чего покажем, что в этом случае интеграл

Z

∞

| sin x|

dx

расходится.

xα

Для всех x [1, +∞)

1

sin2 x

| sin x|

≥

=

1

−

cos 2x

.

(3.5)

xα

2xα

xα

2xα

Как

было показано в примере

3.1, при

0 < α ≤ 1

несобственный инте-

+

грал

Z∞x−α dx расходится.

1

+∞cos 2x

Рассмотрим при 0 < α ≤ 1 несобственный интеграл

Z

dx. Его

2xα

1

подынтегральная функция имеет единственную особую точку x = +∞. При этом

t

cos 2x dx

=

1

sin 2x

t

1,

t

[1, +

).

2

1

≤

∞

Z

1

α

+

. По

Кроме того, функция

2x−

монотонно

стремится к 0 при x

→

∞

+∞cos 2x

признаку Дирихле несобственный интеграл

Z

dx сходится. Но

2xα

1

тогда из равенства (3.5) и из свойства 2) несобственных интегралов (см.

+∞

dx

страницу 79) следует, что интеграл

Z

sin2 x

расходится. Тогда, из

xα

1

+∞

sin x

теоремы 3.6 следует, что несобственный интеграл

Z

|

xα

|

dx расхо-

дится.

1

+∞

x dx

Окончательно, несобственный интеграл

Z

sin

сходится абсо-

xα

1

лютно при α > 1, сходится условно при 0 < α ≤ 1 .

Заметим, что попутно мы установили расходимость интеграла

+∞sin2 x

Z

dx

xα

1

93

при α (0, 1], а ранее (см. пример 3.12) было показано, что этот интеграл сходится (очевидно, абсолютно) при α > 1.

Замечание. Остался без ответа вопрос о характере сходимости ин-

	+∞sin x			+∞sin2 x
тегралов	Z		dx,	Z		dx при α ≤ 0. Предлагаем студентам са-
		xα			xα
	1			1

мостоятельно доказать, что в этом случае указанные интегралы расходятся.

Теорема 3.10 (признак Абеля). Пусть f R[a,b), а g(x) — монотонная и ограниченная функция на [a, b). Тогда сходится несобствен-

Zb

ный интеграл I = f(x)g(x) dx.

a

Так как функция g(x) монотонна и ограниченна на промежутке [a, b),

то

lim

g(x) = l. Тогда функция g(x) = g(x)

−

l удовлетворяет усло-

t→b,t<b

3),

а

функция

виям

2) и

f

удовлетворяет условию 1) признака Ди-

e

рихле, поскольку интеграл

Zb f(x) dx сходится. Значит, сходится инте-

Zb f(x)g(x) dx. В

a

грал

силу

условий теоремы несобственный

интеграл

b

a

e

Z

lf(x) dx , сходится. Поэтому интеграл I сходится как сумма двух схо-

a

дящихся несобственных интегралов.

Пример 3.15. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

+∞sin x

Z

arctg x dx.

x

0

+∞sin x

Так как интеграл

Z

dx

сходится (см. пример 3.14), а на луче

x

0

1

> 0!

[0, +

) функция arctg x монотонно возрастает

(arctg x)0 =

2

∞

1 + x

и ограничена

0

≤

arctg x

≤

π

!, то данный несобственный интеграл схо-

2

дится по признаку Абеля. Замечание. В формулировках признаков Дирихле и Абеля ограни-

чений на знаки подынтегральных функций нет. На деле, эти признаки нецелесообразно использовать для интегралов от знакопостоянных

функций. Например, пусть функции f(x) и ϕ(x) неотрицательны на

Zt

(a, b). В этом случае ограниченность функции F (t) = f(x) dx и схо-

a

94