Глава 3

Несобственные интегралы

3.1Определение несобственного интеграла

Определение интеграла Римана (или определенного интеграла) вводится для функций, заданных на отрезке вещественной оси. При этом, если функция f интегрируема по Риману на отрезке [a, b] (f R[a,b]), то она ограничена на нем, то есть,

sup{|f(x)| : x [a, b]} = K < +∞.

Рассмотрим расширение понятия определённого интеграла как на функции, заданные на неограниченных промежутках, так и на функции, заданные на ограниченных промежутках из R, но не ограниченные на них. В результате появится новый вид интегралов, которые называются несобственными, в отличие от определённых интегралов, называемых ещё собственными интегралами.

Напомним, что промежутком в R называют любое множество вида:

[a, b] = {x R : −∞ < a ≤ x ≤ b < +∞},

[a, b) = {x R : −∞ < a ≤ x < b ≤ +∞},

(a, b] = {x R : −∞ ≤ a < x ≤ b < +∞},

(a, b) = {x R : −∞ ≤ a < x < b ≤ +∞}.

Определение 3.1. Пусть X — промежуток в R и f : X → R. Будем говорить, что f — локально интегрируемая функция на X, если f интегрируема по Риману на любом отрезке [α, β] X.

Если X = [a, b], f : [a, b] → R и f — локально интегрируемая функция на [a, b], то f, очевидно, интегрируема по Риману на [a, b]. Иными словами, для отрезка понятие интегрируемости по Риману и локальной интегрируемости совпадают. Если же X = [a, b), где b R, то среди функций, локально интегрируемых на X, есть функции, которые при любом доопределении в точке x = b не будут интегрируемы на отрезке [a, b]. Подтверждением этого является функция f(x) = 1/(x − b).

75

Лемма 3.1. . Пусть функция f локально интегрируема на промежутке [a, b), b R. Для того чтобы функция f, доопределёная некоторым образом в точке b, была интегрируемой по Риману на [a, b], необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной на

промежутке [a, b).
	d,	x = b
Необходимость. Рассмотрим функцию f˜(x)= f(x),		x [a, b) . Пусть
Тогда она ограничена на
она интегрируема по Риману на отрезке [a, b].

отрезке [a, b], а значит функция f ограничена на полуинтервале [a, b). Достаточность. Пусть функция f ограничена и локально интегрируема на полуинтервале [a, b), а

f˜(x) =		f(x), x [a, b),
			d, x = b.
			˜
Пользуясь критерием Дарбу, докажем, что f R[a,b]. Ясно, что функция
f˜ ограничена на отрезке [a, b], то есть
M > 0 :	f˜(x)		≤ M, x [a, b].
			ε

Выберем число ε > 0 настолько малым, чтобы c = b − 4M (a, b).

Поскольку f˜ R[a,c], то существует разбиение τ1(ε) отрезка [a, c], для которого

Sf˜(τ1(ε)) − sf˜(τ1(ε)) < ε/2.

Обозначим через τ(ε) разбиение отрезка [a, b], полученное из τ1(ε) добав-

лением к нему точки b. Тогда					Mf − mf (b − c),
Sf (τ(ε)) − sf (τ(ε)) = Sf (τ1(ε)) − sf (τ1(ε)) +
˜		˜	˜	˜				˜	˜
где Mf˜ = sup nf˜(x) : x [c, b]o, mf˜ = inf nf˜(x) : x [c, b]o. Поскольку
˜	˜		˜	˜		ε			ε
Mf	− mf	≤ 2M, то Sf (τ(ε)) − sf (τ(ε)) <						+ 2M		= ε.
						2			4M
Следовательно, по критерию Дарбу f˜ R[a,b].

Рассмотрим полуинтервал [a, b), −∞ < a < b ≤ +∞, и функцию f, локально интегрируемую на [a, b). Тогда для каждой точки t [a, b) можно вычислить определённый интеграл (интеграл Римана)

Zt

F (t) = f(x) dx.

a

Определение 3.2. Если функция f локально интегрируема на [a, b)

и существует конечный предел
lim F (t) = L,	(3.1)
t→b
t<b

76

то он называется сходящимся несобственным интегралом от фун-

Zb

кции f на промежутке [a, b) и обозначается символом f(x) dx, а

a

сама функция f называется интегрируемой на промежутке [a, b) в несобственном смысле.

Определение 3.3. Если функция f локально интегрируема на промежутке [a, b), но конечного предела функции F (t) при t → b, t < b, не существует, то говорят, что функция f не интегрируема на [a, b)

Zb

в несобственном смысле, а формально записанный символ f(x) dx в

a

этом случае называют расходящимся несобственным интегралом.

Замечание. Если f : [a, b] → R и f R[a,b], то f R[a,t], t [a, b]

и по свойству непрерывности интеграла Римана с переменным верхним пределом (см., например, [6, стр. 360], или [9, теорема 1.21])

t b	t	b
	Z	Z
lim	f(x) dx =	f(x) dx,
t<b→ a		a

Zb

где f(x) dx — интеграл Римана от функции f на [a, b]. Следовательно,

a

в этом случае функция f будет интегрируемой на [a, b) и в смысле определения 3.2. Это позволяет нам сделать вывод о том, что класс функций, интегрируемых на ограниченном промежутке [a, b) в несобственном смысле, включает в себя класс функций, интегрируемых на [a, b] по Риману. Кроме того, это оправдывает употребление для обозначения сходящегося несобственного интеграла обычного символа интегрирования.

Покажем, что в случае ограниченного промежутка [a, b) существуют функции, интегрируемые на [a, b) в несобственном смысле, но не интегрируемые на [a, b] по Риману.

Пример 3.1. Пусть −∞ < a < b < +∞. Изучим вопрос об интегрируемости на [a, b) функции f(x) = (b − x)−µ, µ — фиксированное число.Если µ ≤ 0, то функция f непрерывна на отрезке [a, b] и, следовательно, интегрируема по Риману на нем. Если же µ > 0, то функция f неограничена на [a, b) и не может быть интегрируемой по Риману на [a, b] при любом доопределении в точке b. В то же время, для любого t из [a, b) функция (b − x)−µ, µ > 0, будет непрерывной функцией по x на [a, t] и, значит, интегрируемой по Риману на [a, t]. При этом

t

1

(b

x)−µ+1

x=t

,

если µ > 0, µ = 1,

dx

−

1

µ

−

6

=

−

Z

(b x)

µ

x=t

a

−

если µ = 1.

ln(b x) x=a ,

−

−

|

77

сходится). Если же µ ≥ 1, то эта функция не ин-

Легко видеть, что при 0 < µ < 1

t

(b x)µ

= 1 µ

( −

)

+∞

t b 0 Z

lim

dx

1

b

a

−µ+1 <

,

−

−

а при µ ≥ 1

→ − a

t

t b 0 Z

(b x)µ = +∞

lim

dx

.

−

→ − a

Таким образом, при 0 < µ < 1 функция f(x) = (b − x)−µ интегрируема на [a, b) в несобственном смысле (или, что всё равно, несобственный

интеграл

Zt dx

a (b − x)µ

тегрируема на [a, b) в несобственном смысле (то есть, несобственный

Zt dx

интеграл a (b − x)µ расходится).

Рассмотрим теперь неограниченный промежуток [a, +∞), |a| < +∞. Для функций, определённых на этом промежутке нельзя говорить об интегрируемости по Риману. В то же время легко привести примеры функций, интегрируемых в несобственном смысле на [a, +∞).

Пример 3.2. Пусть 0 < a < +∞. Изучим вопрос об интегрируемости

∞

на [a, + ) функции f(x) = x−α, α — фиксированное число.

∞

Функция x−α является непрерывной на луче [a, + ) и, следовательно,

локально интегрируемой на нём. При этом

если α 6= 1,

t dx

1

1

α · xα1

1

x=a,

−

x=t

=

−

x=t

Z x

α

a

ln x

x=a,

если α = 1.

В случае, когда α > 1,

lim

1

x−α+1

x=t =

−

1

a−α+1.

1

α

1

t

→

+

∞

α

−

x=a

−

Если же α ≤ 1, то

lim Zt dx = +∞.

t→+∞ a xα

Итак, функция f(x) = x−α при α > 1 интегрируема в несобственном смысле на промежутке [a, +∞) (a > 0), и несобственный интеграл

+∞

Z dx

a xα

78

сходится. При α ≤ 1 функция f(x) = x−α не интегрируема в несобственном смысле на [a, +∞) (a > 0), то есть несобственный интеграл

+∞

Z dx

a xα

расходится.

Всюду далее, класс функций, интегрируемых на промежутке [a, b) в несобственном смысле, будем обозначать символом R[a,b).

Замечание. Если [a, b) — ограниченный промежуток, и R[a,b] — класс функций, интегрируемых по Риману на [a, b], то R[a,b) R[a,b].

Непосредственно из определения 3.2 и свойств интеграла Римана вытекают следующие простые свойства несобственных интегралов:

1) если f, g R[a,b), λ, µ R, то λf + µg R[a,b) и

Zb Zb Zb

(λf(x) + µg(x)) dx = λ f(x) dx + µ g(x) dx;

a a a

2)если f R[a,b), λ R, µ R \ {0} функция g локально интегрируема на [a, b), но g / R[a,b), то λf + µg / R[a,b);

3)	если f	— локально интегрируемая функция на [a, b), и c [a, b), то
	f R[a,b) тогда и только тогда, когда f R[c,b), при этом
			Zb f(x) dx = Zc f(x) dx + Zb f(x) dx;
			a					a		c
		R[a,b)	b		(		)		= 0
4)	если f		t b Z	f		x		dx		.
			, то lim

→

t<b t

Предлагаем студентам доказать эти свойства самостоятельно. Замечание. Не все свойства, которыми обладают определённые ин-

тегралы, имеют место для несобственных интегралов. Например, для определённого интеграла справедливо утверждение: если f, g R[a,b], то f · g R[a,b]. Для несобственного интеграла аналогичное утверждение не

имеет места. Действительно, если f(x) = g(x) =				√	1		, x [0, 1), то
					1 −	x
1		1
несобственные интегралы Z	f(x) dx,	Z	g(x) dx сходятся, в то же время
0		0
Z1

несобственный интеграл f(x)g(x) dx расходится (см. пример 3.1).

0

79

Вернёмся к вопросу о связи между определённым интегралом Римана на отрезке [a, b] и несобственным интегралом, введённым определением 3.2, на [a, b). Если f — локально интегрируемая функция на [a, b), то возможны две ситуации:

1)функция f ограничена на промежутке [a, b),

2)функция f неограничена на промежутке [a, b).

Впервом случае функция f интегрируема по Риману на [a, b] (лемма 3.1), при произвольном доопределении её в точке x = b. Во втором случае, так как f локально интегрируема на [a, b), она ограничена на любом отрезке [a, c], a < c < b. В то же время на промежутке [a, b) f неограниченна. Последнее, очевидно, равносильно тому, что f неограниченна на любом промежутке [c, b), a < c < b.

Определение 3.4. Пусть f : [a, b) → R1. Будем говорить, что точка x = b — единственная особая точка функции f на промежутке [a, b), если f локально интегрируема на [a, b) и либо b = +∞, либо |b| < +∞, но функция f неограничена на [a, b).

Замечание. Аналогично предыдущему можно рассмотреть промежуток (a, b], −∞ ≤ a < b < +∞, функции, локально интегрируемые на нём, и дать определение сходящихся и расходящихся несобственных интегралов от таких функций, а также выделить интегралы от функции по промежутку (a, b] с единственной особой точкой x = a. (Предлагаем студентам самостоятельно привести соответствующие определения.)

В дальнейшем, если не оговорено что-то другое, мы будем рассматривать лишь интегралы на промежутке [a, b), для которых b — единственная особая точка функции f.

Пользуясь критерием Коши существования конечного предела функции (см., например, [6, с.141-142], [8, с.62, теорема 2.46]), можно доказать для несобственных интегралов следующий общий результат.

Теорема 3.1 (критерий Коши сходимости несобственного интеграла). Пусть f : [a, b) → R и функция f локально интегрируема на

Zb

[a, b). Для того, чтобы несобственный интеграл f(x) dx сходился,

a

необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлось число

b0 = b0(ε) из промежутка [a, b) такое, что								(b0, b).
	t00 f(x) dx		< ε,		t0	, t00
Z
t0

Zt

Пусть F (t) = f(x) dx, t [a, b). По определению, f R[a,b) тогда

a

80

k→+∞

lim

и только тогда, когда существует конечный предел lim F (t). Пользуясь

t→b t<b

критерием Коши существования конечного предела функции F (t) при t → b, t < b, получаем, что lim F (t) существует тогда и только тогда,

					t→b
					t<b					(b0, b)
когда для любого ε > 0 существует b0 [a, b) : t0, t00
F (t0)	−	F (t00)	=	t0	f(x) dx	t00 f(x) dx		=	t00 f(x) dx		< ε.
				Z		− Z			Z
				a		a			t0

Заметим, что в теории числовых рядов из критерия Коши сходимости числового ряда следует необходимое условие его сходимости: если ряд X∞k=0 ak сходится, то ak = 0. Аналогичное утверждение не имеет места для несобственных интегралов по неограниченному промежут-

+∞

Z

ку: если f(x) dx сходится, то f(x) не обязательно стремится к нулю

a

при x → +∞. Приведём соответствующие примеры.

Пример 3.3. Рассмотрим на [0, +∞) функцию

0, x (n, n + 1), f(x) = n=0

	∞
	S
n, x = n, n = 0, 1, 2, . . . .

Zt

Тогда f локально интегрируема на [0, +∞) и f(x) dx = 0, t [0, +∞).

t

0

t

+

Z

Следовательно,

lim

f(x) dx = 0, и по определению 3.2, f интегрируе-

→ ∞

0

+∞

ма в несобственном смысле на [0, +∞), причём

Z

f(x) dx = 0. В то же

время, как легко видеть, 0 =

0

.

lim f(x) <

x

lim f(x) = +

∞

x

→

+

∞

→

+

∞

Рассмотренная в примере функция не является непрерывной на промежутке [0, +∞). Приведем пример неограниченной и непрерывной на [0, +∞) функции, интегрируемой в несобственном смысле, для которой

0 =

lim f(x) <

lim

f(x) = + .

x

→

+

∞

x

→

+

∞

∞

Пример 3.4. Рассмотрим отрезки "n

− n

n

# для целых n

≥

1

, n +

1

2.

3

3

81