Легко проверить, что отрезки не пересекаются. Пусть

0, x /

∞ "n

1

, n +

1

#

,

3

3

[

− n

n

n=2

n, x = n, n = 2, 3, . . . ,

f(x) =

1

4

n (x

n) + n, x

n

, n , n

2,

−

− n3

≥

4

1

n, n +

, n 2.

n (n x) + n, x

3

−

n

≥

То есть на "n −

1

, n#

и на "n, n +

1

#

f — линейная функция, причём

n3

n3

n,

1

! = 0

. Тогда,

f

n

f n

f

x

<

lim

f(x) = +

.

) =

± n3

0 =

lim

)

∞

(

(

x→+∞

x→+∞

На [0, +∞) функция f(x) локально интегрируема, поскольку непрерывна на [0, +∞). Как нетрудно установить, f(x) интегрируема на [0, +∞) в несобственном смысле и

+∞		∞ 1
Z	f(x) dx =	=2		< +∞
			n2
0		nX

3.2 Методы вычисления несобственных интегралов

Теорема 3.2 (интегрирование по частям). Пусть u(x), v(x) — непрерывно дифференцируемые функции на [a, b) и

lim u(x)v(x) = E R.

x→b x<b

Если сходится один из несобственных интегралов:

Zb	Zb
u(x)v0(x) dx,	v(x)u0(x) dx,
a	a

то сходится второй, и справедливо равенство

	Zb u(x)v0(x) dx = u(x)v(x) b			− Zb v(x)u0(x) dx,	(3.2)
	a		a	a
где u(x)v(x) b
	= E		u(a)v(a).
		−
a

Пусть t (a, b). В силу условий теоремы, функции u(x), u0(x), v(x), v0(x) непрерывны на [a, t] и потому на [a, t] справедлива теорема об интегрировании по частям для интеграла Римана:

Zt	u(x)v0(x) dx = u(x)v(x) t	− Zt u0(x)v(x) dx.	(3.3)
a	a	a

82

x→b, x<b

Zb

Пусть, например, u0(x)v(x) dx — сходящийся несобственный интеграл.

a

Так как lim u(x)v(x) = E то, переходя в равенстве (3.3) к пределу

при t → b, t < b, получим, что сущестует	конечный предел левой части
		b
этого равенства, то есть несобственный интеграл		Z	v0(x)u(x) dx сходится

a

и справедлива формула (3.2). Пример 3.5. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

π/2

Z

ln sin x dx.

0

Очевидно, что x = 0 — единственная особая точка подынтегральной функции. Пусть u(x) = ln sin x, v(x) = x. Легко проверить, что обе эти

функции непрерывно дифференцируемы на (0, π/2] и lim x ln sin x = 0.

x→+0

Рассмотрим интеграл

		π/2			π/2		cos x
		Z		u0(x)v(x) dx =	Z	x		dx.
							sin x
	0				0
	Функция g(x) = x	cos x		непрерывна на (0, π/2] и lim g(x) = 1. Доопре-
		sin x
								x→+0

деляя эту функцию по непрерывности в точке x = 0, получим функцию

g(x) =	x sin x ,		x (0, 2	],
		cos x	π
e		1,	x = 0.

Она непрерывна на отрезке [0, π/2] , а потому интегрируема на нем по

	Риману. Следовательно, функция x	cos x	, интегрируема в несобственном
		sin x
				π/2
	смысле на (0, π/2]. Тогда по теореме 3.2			Z	ln sin x dx — сходящийся
				0

несобственный интеграл. При этом

π/2ln sin x dx = x ln sin x π/2		π/2x			π
			cos x	dx =	2	x ctg x dx.
					− Z
Z		− Z	sin x
0	0	0			0

Теорема 3.3 (формула Ньютона–Лейбница). Пусть функция f

непрерывна на промежутке [a, b) и F — ее первообразная. Для того,

Zb

чтобы несобственный интеграл f(x) dx сходился, необходимо и до-

a

статочно, чтобы lim F (x) R, и, в случае сходимости, справедливо

x→b x<b

83

равенство

b	(		)		= t b	−		(	)
Z		x		dx			F			(3.4)
f					lim F (t)				a .
a					→
					t<b

Пусть t [a, b). На отрезке [a, t] к функции f применима формула Ньютона-Лейбница для определенного интеграла

Zt

f(x) dx = F (t) − F (a).

a

Zt

Поэтому существование предела lim f(x) dx равносильно существова-

t→b t<b a

нию предела lim F (t). Переходя в последнем равенстве к пределу при

t→b t<b

t → b, t < b, с учетом определения 3.2, получаем равенство (3.4). Пример 3.6. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

+∞

Z dx

01 + x2 .

Подынтегральная функция непрерывна на R. Известно, что перво-

1

образной для функции 1 + x2 на R является функция arctg x. Так как

lim arctg x = π/2, то по теореме 3.3 данный несобственный интеграл

x→+∞

сходится и

+∞

dx

lim

t

π

.

Z

1 + x2

= t

arctg

− arctg 0 =

2

→

+

∞

0

Пример 3.7. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

Z2

1

dx . x ln x

Подынтегральная функция непрерывна на (1, 2] и x = 1 — её единственная особая точка, а функция F (t) = ln ln t является её первооб-

разной на (1, 2]. Так как lim F (t) = −∞, то исходный несобственный

t→1+0

интеграл расходится. Пример 3.8. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

+∞	1			1
Z			sin			dx.
		2
π	x			x
2

и вычислить его, если он сходится.

Подынтегральная функция непрерывна на [π/2, +∞), точка x = +∞

— её единственная особая точка, и F (x) = cos					1	— первообразная подын-
тегральной функции на				x
	[	π/ ,	+∞)	. Так как lim F (t) = cos 0 = 1, то по
		2		t→+∞

84

теореме 3.3 исходный несобственный интеграл сходится и

+∞	1	1				π
Z		sin		dx = cos 0	− cos		= 1.
	x2		x			2
π/2

Теорема 3.4 (о замене переменной). Пусть функция f непрерывна на [a, b), функция ϕ : [α, β) → [a, b), и выполняются условия

1)функция ϕ(t) непрерывно дифференцируема на [α, β);

2)функция ϕ(t) возрастает на [α, β);

3)ϕ(α) = a, lim ϕ(t) = b.

t→β t<β

Zb Zβ

Тогда несобственные интегралы f(x) dx, f(ϕ(t))ϕ0(t)dt сходятся

a α

или расходятся одновременно, и, если сходятся, равны.

Zb

1). Пусть сходится несобственный интеграл f(x) dx. Выберем произ-

a

вольно точку τ в [α, β). В силу условий 2)–3)

ϕ : [α, τ] → [ϕ(α), ϕ(τ)],

причём отображение ϕ — биекция. Таким образом, для указанных отрезков выполнены все условия теоремы о замене переменной в интеграле Римана. Следовательно,

		Zτ f(ϕ(t))ϕ0(t) dt =		ϕZ(τ)f(x) dx.
		α		a
	τ β		b
Так как			Z
	lim ϕ(τ) = b, а интеграл		f(x) dx сходится, то в последнем
	→		a
	τ<β

равенстве можно перейти к пределу при τ → β, τ < β. При этом мы по-

Zβ

лучим и сходимость интеграла f(ϕ(t))ϕ0(t) dt, и равенство интегралов.

α

Zβ

2). Пусть сходится интеграл f(ϕ(t))ϕ0(t) dt. Выберем произвольно

α

точку c в [a, b). В силу условий, наложенных на функцию ϕ(t),

ϕ : [α, ϕ−1(c)] → [a, c].

Здесь ϕ−1 — функция, обратная к ϕ, при этом ϕ−1 — непрерывна и возрастает на [a, c] (см. [8, теорема 3.11]). В силу теоремы о замене

85

переменной в интеграле Римана

Zc f(x) dx =	ϕ−1	(c)
	Z	f(ϕ(t))ϕ0(t) dt.
a	α

Zβ

По условию интеграл f(ϕ(t))ϕ0(t) dt сходится, а по свойству монотон-

α

ной функции (см., например, [6, C. 151]) lim ϕ−1(c) = β. Переходя в

c→b c<b

последнем равенстве интегралов к пределу при c → b, вновь убеждаемся в справедливости утверждения теоремы.

Замечание. Легко видеть, что справедливо аналогичное теореме 3.4 утверждение, и тогда, когда функция f непрерывна на [a, b), функция ϕ : (α, β] → [a, b), и выполняются условия

1) функция ϕ(t) непрерывно дифференцируема на (α, β];

2) ϕ(β) = a, lim ϕ(t) = b;

x→α t>α

3) функция ϕ(t) убывает на (α, β].

Пример 3.9. Исследовать на сходимость несобственный интеграл

+∞		dx
Z	e1/x		.
		x2
1

Подынтегральная функция, очевидно, непрерывна на [1, +∞). Функция ϕ(t) = 1/t удовлетворяет всем условиям замечания к теореме 3.4,

		1			1
	если (α, β] = (0, 1]. После замены x =			, получим интеграл	Z	etdt — ин-
		t
					0

теграл Римана (который сходится). Следовательно, исходный интеграл сходится и

	+∞e1/x	dx		=	1 et dt = et	1	= e	−	1.
		x2
	Z				Z
	1				0	t=0

Пример 3.10. Вычислить сходящийся интеграл Эйлера (пример

π/2

Z

3.5) J = ln sin x dx.

0

Подынтегральная функция, очевидно, непрерывна на (0, π/2]. Функция ϕ(t) = 2t возрастает, непрерывно дифференцируема на (0, π/4], ϕ(0) = 0, ϕ(π/4) = π/2. Поэтому по теореме о замене переменной

	π/4		π/4
J = 2	Z	ln sin 2t dt = 2	Z	ln(2 sin t cos t) dt =
	0		0

86