Определение 1.10. Числовой ряд (1.2) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд

∞
nX	(1.14)
|an|.
=1

Если же ряд (1.14) расходится, а ряд (1.2) сходится, то говорят, что ряд (1.2) сходится условно (не абсолютно).

Очевидно, что для знакопостоянного числового ряда понятия сходимости и абсолютной сходимости совпадают.

Пример 1.10. Исследовать на абсолютную и условную сходимость

ряд							∞ sin n
									, p R+.		(1.15)
							=1 np
							nX		∞
Так как	|	sin n	|		1					1
		np		≤		,	n N, и ряд				сходится при p > 1, то
					np					np
									=1
									nX

ряд (1.15) абсолютно сходится при p > 1. Если же p (0, 1], то для всех

n N

| sin n|

sin2 n

=

1 − cos 2n

=

1

cos 2n

.

≥

2np −

np

np

2np

2np

∞

1

Поскольку ряд

nX

расходится при p (0, 1] (см. пример 1.4), а ряд

=1 2 np

∞

cos 2n

nX

сходится при p (0, 1] по признаку Дирихле, то по теореме

=1

2 np

1.4 ряд

∞

1 − cos 2n

расходится. Поэтому при p

(0, 1] расходится и

nX

2np

=1

∞

ряд

| sin n|

и, значит, при p

(0, 1] ряд (1.15) не является абсолют-

nX

np

=1

но сходящимся. По аналогии с примером (1.12), применяя к ряду (1.15) признак Дирихле, убеждаемся в его сходимости, а, следовательно, в его условной сходимости при p (0, 1].

1.7Свойства сходящихся рядов

Определение суммы ряда существенно отличается от определения суммы конечного числа слагаемых, поскольку в первом используется предельный переход. Поэтому известные свойства суммы чисел переносятся на сумму ряда не полностью: некоторые из свойств выполняются только при определённых условиях.

Рассмотрим ряд (1.2). Объединяя его члены произвольным образом в группы, не меняя при этом порядка их следования, получим ряд

(a1 + a2 + · · · + an1 ) + (an1+1 + · · · + an2 ) + · · · +

(1.16)

18

+(ank−1+1 + · · · + ank ) + · · ·

Теорема 1.20 (сочетательное свойство сходящегося ряда). Если ряд (1.2) сходится, то ряд (1.16), полученный из (1.2) произвольной группировкой его членов без нарушения порядка их следования, сходится и имеет ту же сумму, что и исходный ряд.

Пусть Sn — n-ная частичная сумма ряда (1.2), σk — k-ая частичная сумма ряда (1.16). Тогда σk = Snk . Поскольку последовательность {Snk } является подпоследовательностью последовательности {Sn}, то из схо-

димости ряда (1.2) следует, что lim Snk = lim Sn = S R, а это означает

k→∞

не только сходимость ряда (1.16), но и равенство сумм рядов (1.16) и (1.2).

Замечание. Обратное утверждение неверно, то есть из сходимости ряда (1.16), вообще говоря, не следует сходимость ряда (1.2). Подтверждением этому являются ряды

(1 − 1) + (1 − 1) + · · · + (1 − 1) + · · ·

и

1 − 1 + 1 − 1 + · · · + 1 − 1 + · · · .

Однако в одном частном случае такое обращение имеет место.

Теорема 1.21. Если внутри каждой скобки ряда (1.16) все члены имеют один и тот же знак, то из сходимости ряда (1.16) следует сходимость ряда (1.2).

Доказательство этого результата оставляем читателю как упражнение (см. [12, с. 314]).

Пример 1.11. Исследовать на сходимость ряд

∞

(−1)[n/3]

.

(1.17)

nX

n

=1

kX

Рассмотрим ряд

∞ (

−

1)k

1 +

1

+

1

, полученный из ряда

=1

3k 3k + 1 3k + 2

(1.17) отбрасыванием первых двух членов и группировкой последовательных членов одного знака. Этот ряд, очевидно, является рядом лейбницевского типа, поэтому сходится, а значит, согласно теореме 1.21, сходится и ряд (1.17).

Хорошо известно, что в конечной сумме от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Выясним, обладают ли сходящиеся ряды таким свойством (его называют переместительным свойством). Напомним, что

19

биективное отображение σ : N → N называют перестановкой. Ряд, полученный из (1.2) с помощью перестановки σ : N → N (σ(k) = nk, k N) его членов, принимает вид

∞
jX	(1.18)
anj = an1 + an2 + an3 + · · · + ank + · · · .
=1

Теорема 1.22. Если положительный числовой ряд (1.2) сходится, то ряд (1.18), полученный из (1.2) с помощью перестановки σ, сходится и имеет ту же сумму, что и ряд (1.2).

Пусть Sn и Uk — частичные суммы рядов (1.2) и (1.18) соответственно:

Sn = a1 + a2 + · · · + an, n N,

Uk = an1 + an2 + · · · + ank , k N.

По условию ряд (1.2) является положительным сходящимся, поэтому, если S — сумма ряда (1.2), то в силу замечания, сделанного после теоремы 1.6, имеем, что Sn ≤ S, n N. Если pk = max{n1, n2, . . . , nk}, k N, то

Uk ≤ Spk ≤ S, k N.

По теореме 1.6 ряд (1.18) сходится и его сумма U удовлетворяет условию U ≤ S. Но ряд (1.2) получается из ряда (1.18) перестановкой σ−1, тогда, в силу доказанного, S ≤ U. Значит S = U.

	∞
Рассмотрим знакопеременный ряд	nX
	an. Положим
	=1

an	=	an,	если an >		0
+
		0,	если an	≤	0

Ряды

∞

X n=1

,

a+n ,

an− =		−an,	если an < 0 .
		0,	если an	≥	0
∞
nX
an−					(1.19)
=1

являются положительными и к их исследованию применимы признаки сравнения.

Теорема 1.23. Для знакопеременного ряда (1.2) справедливы следующие утверждения:

1)ряд (1.2) абсолютно сходится тогда и только тогда, когда сходятся ряды (1.19) ;

2)если один из рядов (1.19) сходится, а другой расходится, то ряд (1.2) расходится;

3)если ряд (1.2) сходится условно, то ряды (1.19) расходятся.

20

1). Пусть Sn, σn+, σn− — n-ые частичные суммы рядов (1.2), (1.19), соответственно. Так как ряд (1.2) абсолютно сходится, то сходится ряд

∞

X

|an|. Если Sn — n-ая частичная сумма последнего ряда, то, согласно

n=1

теореме 1.6, существует число M > 0 такое, что Sn ≤ M, n N. Но Sn = σn+ + σn−, поэтому

σn+ ≤ M, σn− ≤ M, n N,

что означает сходимость рядов (1.19) , а значит, и рядов, составленных из положительных и отрицательных членов.

Докажем обратное утверждение. Пусть ряды (1.19) сходятся. По теореме 1.6 существуют числа M1 > 0 и M2 > 0 такие, что

σn+ ≤ M1, σn− ≤ M2, n N.

Тогда

Sn = σn+ + σn− ≤ M1 + M2, n N,

и ряд (1.2) сходится абсолютно.

2). Пусть первый ряд (1.19) сходится, а второй ряд расходится. Тогда по теореме 1.6 и её следствию существует M1 > 0 такое, что σn+ ≤ M1,n N, а σn− → +∞. Но для частичной суммы ряда (1.2) имеет место представление

Sn = σn+ − σn−, n N,

поэтому последовательность {Sn} является бесконечно большой и ряд (1.2) расходится.

3). Пусть ряд (1.2) сходится условно. Предположим, что ряды (1.19) не являются одновременно расходящимися. Тогда, если эти ряды одновременно сходятся, то по первой части этой теоремы ряд (1.2) абсолютно сходится, что противоречит условию. Если же один из рядов (1.19) сходится, а второй расходится, то по второй части этой теоремы ряд (1.2) расходится, что также противоречит условию. Следовательно, ряды (1.19) расходятся.

Теорема 1.24 (переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов). Если ряд (1.2) абсолютно сходится, то ряд (1.18), полученный из (1.2) произвольной перестановкой его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и ряд (1.2).

По условию ряд (1.2) абсолютно сходится, поэтому по теореме 1.22

∞

X

сходится ряд |ank |, соответствующий ряду (1.18), а значит ряд (1.18)

k=1

абсолютно сходится. Докажем, что суммы рядов (1.2) и (1.18) совпадают.

21

В силу теоремы 1.23 ряды

∞	∞	∞		∞
X	X	kX	a+ ,	X
	a+,	a−,		a−
n=1	n	n	nk	nk
	n=1	=1		k=1

сходятся. Поскольку последние ряды положительны, то по теореме 1.22

∞	∞	∞	∞
X	X	X	kX
a+ = a+ ;		a− = a− .
n	nk	n	nk
n=1	k=1	n=1	=1

Наконец, так как ak = a+k − a−k , k ≥ 1, то

∞

∞

∞

∞

X

X

X

kX

an = (ak+ − ak−) = ak+

−

ak− =

n=1

k=1

k=1

=1

∞

∞

∞

∞

X

X

X

a+

a−

kX

.

=

a+

−

a−

= (

−

a

nk

nk

nk

nk

nk ) =

=1

k=1

k=1

k=1

Покажем, что условно сходящиеся ряды переместительным свойством не обладают: в каждом таком ряде с помощью перестановки членов можно изменить сумму и даже нарушить сходимость.

Теорема 1.25 (Римана). Если ряд (1.2) сходится условно, то для любого L [−∞, +∞] существует такая перестановка его членов, что при L (−∞; ∞) соответствующий ряд (1.18) сходится и его сумма равна L, а при L = +∞ или L = −∞ соответствующий ряд (1.18) расходится и последовательность его частичных сумм является, соответственно, положительной или отрицательной бесконечно большой.

1). Пусть L = +∞. Так как ряд (1.2) сходится условно, то согласно

	∞	∞
	nX	X
теореме 1.23 ряды	an+,	an− расходятся. Удалим в этих рядах нулевые
	=1	n=1
элементы, получим соответственно
		∞	∞
		kX	X
		a+ и	a− .
		nk	mk
		=1	k=1

Последовательности частичных сумм этих рядов являются положительными бесконечно большими. Следовательно,

						p1
		p				kX		a−
			1 N :			nk	1 +		m1 ;
						=1
						p2
	p	N	, p		> p	k=X1	a+ >			a−
	2			2		1 :	nk		2 +	m2	;
						p +1
						p3
	p	N	, p		> p	k=X2	a+ >			a− ,
	3			3		2 :	nk		3 +	m3
						p +1
. . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Рассмотрим ряд
a+	a+	a−	a+	+ · · · +	a+	a−	a+	+ · · ·	(1.20)
n1 + · · · +	np1 −	m1 +	np1+1		np2 −	m2 +	np2+1
Покажем, что ряд (1.20) искомый. В силу выбора последователь-
ности {pk} частичные суммы Vk				ряда (1.20) обладают свойствами :

Vpk+1 > k, и Vpk > k + a−mk > k, k N, Vpk+1 < Vn < Vpk+1 , n (pk + 1, pk+1).

Значит последовательность {Vn} является положительной бесконечно большой и ряд (1.20) расходится.

Аналогично рассматривается ситуация L = −∞.

2). Пусть теперь L — положительное число. Согласно теореме 1.23

∞	+
kX	ank расходится. Поэтому найдётся p1 N такое, что
ряд
=1
		+	+	+	+	+			+	≤ L
	an1		+ an2	+ · · · + anp1 > L,	но an1	+ an2 +	· · · + anp1−1
							p1
	+	> L, то будем считать p1 = 1). Сумму					kX	+	возьмём в каче-
(если an1							=1	ank

стве первого члена вспомогательного ряда. Для построения второго члена этого ряда из первого члена будем последовательно вычитать члены

∞

kX

am−k

положительного расходящегося ряда

=1

до тех пор, пока не получим

неравенство

(

a+

+

a+

+ · · · +

a+

a−

a−

a−

L,

но

n1

n2

np1 ) − (

m1 +

m2 + · · · +

mq1 ) ≤

a+

a+

a+

(

a−

+

a−

+ · · · +

a−

> L.

n1 +

n2 + · · · +

np1 ) − (

m1

m2

mq1−1 )

Величину

−

m1

· · ·

mq1

примем за второй член конструируемо-

(a−

+

+ a− )

го вспомогательного ряда. На следующем шаге будем последовательно

∞

прибавлять следующие за a+

члены ряда

kX

до тех пор, пока не

a+

np

1

=1

nk

получим, что

a+

a+

a−

· · · +

a−

a+

a+

> L,

( n1 + · · · +

np1 ) − (

m1 +

mq1 ) + (

np1+1 + · · · +

np2 )

но

(

a+

a+

a−

a−

a+

+

· · · +

a+

L.

n1 + · · · +

np1 ) − (

m1 + · · · +

mq1 ) + (

np1+1

np2−1 ) ≤

+

+

будет

Сумма добавленных на этом шаге элементов (anp1+1 + · · · + anp2 )

третим членом вспомогательного ряда. Далее будем вычитать последова-

тельно члены ряда			kP				, пока не получим неравенства
			∞ a− , начиная с a−
			nk			nq1+1
			=1
(	a+	+ · · · +	a+	a−	+ · · · +	a−		a+	+ · · · +	a+
	n1		np1 ) − (	m1		mq1 ) + (		np1+1		np2 )−

23