→ 0 при k → ∞ и не более того.

Заметим, что коэффициенты Фурье функции Φ по классической тригонометрической системе обладают следующим свойством:

|bkΦ| = k3

= o k2 ! , k → ∞.

1

1

Пусть G(x) = Φ(x) +

π2x x3

, x [−π, π]. Из (5.22) следует, что

=

6

6

π2x

π2 ∞

(

1)k+1

=

kX

−

sin kx, x [−π, π].

6

3

=1

k

Поэтому

G(x) = 2

∞

(−1)k

sin kx +

∞

(−1)k+1π2

sin kx =

kX

X

k3

3k

=1

k=1

13

= 2

∞ (

1)k

π2 sin kx, x [ π, π],

kX

−

−

−

=1

k

6k

−

1

−

π2

k

6k

то есть bkG = 2( 1)k

3

,

k

N.

Последнее означает, что bkG =

O k1 !

Учитывая, что G(x) C([−π, π]), но G(−π) 6= G(π), заключаем, что условие G(−π) = G(π) существенно для справедливости теоремы 5.18 об абсолютной и равномерной сходимости классического ряда Фурье.

5.12Задания для самостоятельной работы

Если не оговорено другое, рассматриваются ряды Фурье по классической тригонометрической системе.

1. Пусть f Rf1[−π, π] и f(x + π) = f(x). Доказать, что a2n−1 = b2n−1 =

= 0, n N.

2.Пусть f Rf1[−π, π] и f(x + π) = −f(x). Доказать, что a0 = 0, a2n =

= b2n = 0, n N.

3.Пусть f Rf1[0, π] и f(π − x) = f(x). Доказать, что если функцию f разложить по косинусам, то a2n−1 = 0, n N, а если разложить по синусам, то b2n = 0, n N.

4.Какими особенностями обладают коэффициенты Фурье 2π—перио-

дической функции, график которой имеет центр симметрии в точках

(0, 0) и ±π2 , 0!?

187

5.Как связаны между собой коэффициенты Фурье afn, bfn и agn, bgn функций f и g, если f(−x) = g(x), x [−π, π]?

6.Как связаны между собой коэффициенты Фурье afn, bfn и agn, bgn функций f и g, если f(−x) = −g(x), x [−π, π]?

7.Пусть f — непрерывная, 2π-периодическая функция, an, bn — ее коэффициенты Фурье. Вычислить коэффициенты Фурье An, Bn функции

	1		π
F (x) =			Z	f(t)f(x + t)dt, x R.
	π
			−π

8. Пусть f Rf1[−π, π] и 2π-периодична. Зная ее коэфффициенты Фурье an, bn, n N0, вычислить коэффициенты Фурье An, Bn функции f(x + h), где h = const.

9. Пусть f — 2π-периодическая функция, f Rf1[−π, π] и в точке x0 из [−π, π] существуют конечные односторонние пределы f(x0+0), f(x0−

0). Доказать, что lim σf (x0) = f(x0 + 0) + f(x0 − 0), где σf (x) —

n→∞ n 2 n

суммы Фейера функции f.

10.Пусть f C([−π, π]), f(−π) = f(π) и |f(x)| ≤ M, x [−π, π]. Доказать, что |σnf (x)| ≤ M, x [−π, π], n N.

11. Пусть f Rf1[−π, π], 2π-периодична и имеет на отрезке [a, b] [−π, π] ограниченную производную. Доказать, что на любом отрезке [α, β] (a, b) ряд Фурье функции f сходится к f(x) равномерно.

12.Пусть функция f дифференцируема на отрезке [0, π], f0(x) Rf2[0, π] и f(0) = f(π) = 0. Доказать, что

Zπ Zπ

f2(x)dx ≤ (f0(x))2dx.

0

0

13.Доказать, что если классический тригонометрический ряд имеет подпоследовательность частичных сумм, равномерно сходящуюся на отрезке [−π, π] к функции f(x), то этот ряд является рядом Фурье функции f.

14.Не вычисляя коэффициентов Фурье функции f(x) = πx − x |x|, выяснить, сходится ли соответствующий ей классический тригонометрический ряд Фурье равномерно на отрезке [−π, π].

15.Пусть f R[−π, π], afn, bfn (n N) — коэффициенты Фурье функции

	nX	|anf | + |bnf |
f. Доказать, что ряд	∞	n	сходится.
	=1

188

16. Пусть f C([−π, π]) и ее ряд Фурье сходится к функции g(x) на [−π, π]. Доказать, что f(x) = g(x) на [−π, π].

17. Пусть f C([−π, π]), 2π-периодическая функция, an, bn — ее коэффициенты Фурье. Вычислить коэффициенты Фурье An, Bn, n N0 функции Стеклова

1 xZ+h

fh(x) = 2hx−h f(ξ)dξ, h = const.

18.Пусть f C([−π, π]), 2π-периодична и an, bn — ее коэффициенты

Фурье по классической тригонометрической системе. Доказать, что если an = o n1 ! , bn = o n1 ! , n → ∞, то ряд Фурье равномерно сходится к f(x) на отрезке [−π, π].

19.Доказать, что многочлены Лежандра

	Pn(x) =	1		dn ((x − 1)n)	, n = 0, 1, . . . ,
		2n n!		dxn

образуют ортогональную систему функций на отрезке [−1, 1].

20.Пусть ϕ(t) = sgn(sin 2πt), ϕn(t) = ϕ(2nt), n = 0, 1, . . . . Система функций {ϕn(t)}∞n=1 называется системой Радемахера. Доказать, что она ортогональна на отрезке [0, 1].

21.Пусть ξ1, ξ2, . . . возрастающая последовательность всех положитель-

ных корней уравнения ctg ξ = c ξ, c — константа. Доказать, что си-

стема

(cos

ξn x

)∞

ортогональна на [0, T ].

T n=1

22. Пусть последовательность {an} такова, что

n

N kX

a

k|

< +

∞

,

a

.

sup

a

lim

n = 0

n

| k+1 −

=1

Доказать, что на любом отрезке [ε, 2T − ε], ε (0, T ), равномерно сходятся тригонометрические ряды

∞ an sin	πnx	,	∞ an cos	πnx	,
nX	T		X	T
=1			n=1

а на любом отрезке [−T + ε, T − ε], ε (0, T ), равномерно сходятся тригонометрические ряды

∞	n		πnx		∞	n		πnx
nX					X
		an sin	T ,				an cos	T .
(−1)					(−1)
=1					n=1

189

Литература

[1]Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. Лекции по математическому анализу. — М.: Высшая школа, 2000.

[2]С. Банах. Дифференциальное и интегральное исчисление. — М.: Наука, 1972.

[3]И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. Математический анализ в задачах и упражнениях. — М.: Изд–во МГУ, 1991.

[4]И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий. Задачи и упражнения по математическому анализу, т.1. — М.: Высшая школа, 2000.

[5]Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Контрпримеры в анализе. — М.: Мир, 1967.

[6]В. А. Зорич. Математический анализ, т. 1, 2. — М.: Наука, 1981.

[7]В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ, т. 1, 2. — М.: Изд–во МГУ, 1987.

[8]Т.И. Коршикова, Ю.А. Кирютенко, Л.И. Калиниченко, В.А. Савельев. Курс лекций по математическому анализу, I курс, 1-й семестр.

— Ростов-на-Дону: Из-во ООО «ЦВВР», 2006.

[9]Т.И. Коршикова, Л.И. Калиниченко, Ю.А. Кирютенко. Курс лекций по математическому анализу, I курс, 2-й семестр. — Ростов-на- Дону: Из-во ООО «ЦВВР», 2007.

[10]Л.Д. Кудрявцев. Математический анализ, т.1, 2, 3. — М.: Высшая школа, 1973.

[11]С. М. Никольский. Курс математического анализа, т. 1, 2. — М.: Наука, 1973.

[12]Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 2, т. 3. — М.: Наука, 1966.

[13]Тер–Крикоров А.М., Шабунин М.И., Курс математического анализа. — М.: Изд-во МФТИ, 2000.

190

Оглавление

1 Числовые ряды		3
1.1	Сходимость числового ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . .	3
1.2	Простейшие свойства сходящихся рядов . . . . . . . . . .	6
1.3	Сходимость положительных рядов . . . . . . . . . . . . . .	7

1.4Сходимость знакопеременных рядов . . . . . . . . . . . . . 14

1.5Ряд лейбницевского типа и его свойства . . . . . . . . . . 16

1.6Абсолютная и условная сходимость ряда . . . . . . . . . . 17

1.7 Свойства сходящихся рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8Умножение рядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.9Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.10 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 31

2 Функциональные последовательности и ряды

35

2.1Сходимость функциональных последовательностей . . . . 35

2.2Арифметические операции с равномерно сходящимися функциональными последовательностями . . . . . . . . . . . . 39

2.3Критерии равномерной сходимости функциональной после-

	довательности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	40
2.4	Сходимость функционального ряда . . . . . . . . . . . . .	42
2.5	Достаточные признаки равномерной сходимости функцио-
	нального ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	43

2.6Функциональные свойства предельной функции и суммы ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.7Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.8Функциональные свойства степенного ряда . . . . . . . . . 61

2.9Разложение функций в ряд Тейлора . . . . . . . . . . . . . 64

2.10Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 69 2.10.1 Функциональные последовательности . . . . . . . . 69

2.10.2 Функциональные ряды . . . . . . . . . . . . . . . .	72
3 Несобственные интегралы	75

3.1Определение несобственного интеграла . . . . . . . . . . . 75

191

3.2Методы вычисления несобственных интегралов . . . . . . 82

3.3Несобственные интегралы от неотрицательных функций . 87

3.4Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.5Несобственные интегралы с несколькими особыми точками 95

3.6Главное значение несобственного интеграла . . . . . . . . 98

3.7Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . 99

4 Интегралы, зависящие от параметра

103

4.1Равномерная сходимость функции к предельной . . . . . . 103

4.2Функциональные свойства предельной функции . . . . . . 108

4.3Свойства cобственных интегралов, зависящих от параметра 111

4.4Несобственные интегралы, зависящие от параметра . . . . 116

4.5Признаки равномерной сходимости НИЗП . . . . . . . . . 117

4.6Функциональные свойства НИЗП . . . . . . . . . . . . . . 122

4.7 Примеры вычисления несобственных интегралов . . . . . 126

4.7.1Интеграл Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.7.2Интеграл Фруллани . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.8Эйлеровы интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.8.1Свойства Г-функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

4.8.2 Свойства B-функции . . . . . . . . . . . . . . . . .	134
4.9 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . .	138
5 Ряды Фурье	143

5.1Ортогональные системы функций . . . . . . . . . . . . . . 143

5.2Определение ряда Фурье по ортогональной системе . . . . 145

5.3Ряды Фурье по тригонометрической системе . . . . . . . . 148

5.4 Интегральное представление частичных сумм ряда Фурье 153

5.5Сходимость в точке тригонометрического ряда Фурье . . . 156

5.6Разложение функции только по синусам или косинусам . 165

5.7 Разложение sin1 x и ctg x на простые дроби . . . . . . . . . 168

5.8Ядра и многочлены Фейера . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.9Теоремы Вейерштрасса об аппроксимации . . . . . . . . . 172

5.10Теорема Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

5.11Дифференцирование и интегрирование

тригонометрического ряда Фурье . . . . . . . . . . . . . .	180
5.12 Задания для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . .	187
Литература	190

192