Функция ϕ непрерывна, возрастает на [−π, π], ϕ(−π) = a, ϕ(π) = b, поэтому, в силу теоремы Дарбу об образе отрезка при непрерывном отоб-

ражении, ϕ : [−π, π] → [a, b]

и биективно.

ε

e

0

e

части 2),

Положим

f

= f ◦ ϕ. Тогда

f C([−π, π]) и, согласно

max f(t)

P (t) < ε, а значит

f

такой, что

для любого

>

существует алгебраический многочлен P

t [−π,π] | e

− f

|

ϕ−1

ϕ−1

max f

(

x

P

(

x

))|

< ε.

x [a,b] | e(

)) − f(

Поскольку f(x) = fe(ϕ−1(x)), x [a, b], а ϕ−1(x) — линейная функция,

то f −1 является алгебраическим многочленом и

P (x) = P (ϕ (x))

max |f(x) − P (x)| < ε.

x [a,b]

Cледствие. Если f C([a, b]), то существует последовательность алгебраичеcких многочленов {Pn(x)}∞n=1, равномерно сходящаяся к f(x) на отрезке [a, b].

5.10Теорема Ляпунова

f

новлена равносильность сходимости

Ранее в теореме 5.5 для функции f из класса R2[−T,T ] была устатригонометрического ряда Фурье к

функции f на отрезке [−T, T ] в смысле средних квадратичных и выполнения равенства Парсеваля. Но условия, когда хотя бы одно из этих утверждений имеет место, указаны не были.

Теорема 5.14 (Ляпунова). Пусть f R2− и Sf (x) — n-ые ча-

[ π,π] n

стичные суммы классического ряда Фурье			функции f, тогда
			f
π	−	n
n→∞ Z
lim (f(x)		Sf (x))2 dx = 0,

−π

то есть классический ряд Фурье функции f сходится к f в смысле средних квадратичных на отрезке [−π, π].

Доказательство теоремы проведем в три этапа.

1). Пусть сначала f C([−π, π]) и f(−π) = f(π). Согласно теореме Фейера

[−π,π]

σnf f(x) при n → ∞, то есть

s

ε > 0 N = N(ε) N : |f(x) − σnf (x)| < 4επ, n > N, x [−π, π].

175

k=0

n−1

X

x [−π,π]

Поэтому для всех n > N

Zπ (f(x) − σnf (x))2 dx ≤ 4επ · 2π = 2ε < ε.

−π

Учитывая минимизирующее свойство частичных сумм ряда Фурье функции f, получаем, что

Zπ Zπ

(f(x) − Snf (x))2 dx ≤ (f(x) − σnf (x))2 dx < ε, n > N.

−π	−π
	π	−	n
Следовательно, существует	n→∞ Z
	lim (f(x)		Sf (x))2 dx = 0.
	−π

2). Пусть f R[−π,π]. Без ограничения общности можно считать, что f(−π) = f(π) (изменение значения функции в конечном числе точек не изменит ее интегрируемости на [−π, π], величины ее коэффициентов Фурье и среднего квадратичного отклонения Snf (x) от f(x) на отрезке [−π, π]). Можно считать, что f(x) не является постоянной на [a, b], так как случай непрерывной функции на [−π, π] был рассмотрен в части 1).

Зафиксируем ε > 0. Пусть M — колебание функции f(x) на отрезке

[−π, π], то есть M = sup f(x) − inf f(x). Так как f R[−π,π], то

x [−π,π]

существует такое разбиение τ = {xk}nk=0 отрезка [−π, π], что ωkf 4xk <

ε

, где ωkf — колебание функции f на отрезке разбиения [xk, xk+1], k =

16M

0, n − 1

.

Соединим последовательно точки Mk(xk, f(xk)),

k =

0, n

прямоли-

нейными отрезками, получим непрерывную ломаную L, каждое звено

MkMk+1 которой задается линейной функцией

f(xk+1) − f(xk)

ϕ

(x) = f(x

) +

(x

−

x

) , k =

0, n

−

1

.

k

k

xk+1 − xk

k

Функции ϕk(x), k =

определяют функцию ϕ

: [−π, π] → R та-

0, n − 1

кую, что ϕ(x) = ϕk(x), x [xk, xk+1], k = 0, n − 1. Тогда ϕ C([−π, π]),

ϕ(−π) = ϕ(π). Так как для всех x [−π, π]

f(x) = ϕ(x) + (f(x) − ϕ(x)),

то, полагая ψ(x) = f(x) − ϕ(x), x [−π, π], получим равенство: f(x) = ϕ(x) + ψ(x), x [−π, π].

Поскольку ϕ, ψ R[−π,π], то n-ые частичные суммы классических рядов Фурье этих функций и функции f удовлетворяют равенствам:

176

Snf (x) = Snϕ(x) + Snψ(x), x [−π, π], n N0. Отсюда, используя известное неравенство 2ab ≤ a2 + b2, a, b R, получим, что

γnf = Zπ (f(x) − Snf (x))2 dx = Zπ

(ϕ(x) − Snϕ(x)) + (ψ(x) − Snψ(x))

2 dx =

−π

−π

= Zπ (ϕ(x) − Snϕ(x))2 dx + Zπ (ψ(x) − Snψ(x))2 dx +

−π

−π

+ 2

Zπ (ϕ(x) − Snϕ(x))(ψ(x) − Snψ(x)) dx ≤

−π

≤ 2

Zπ (ϕ(x) − Snϕ(x))2 dx + 2

Zπ (ψ(x) − Snψ(x))2 dx.

−π

−π

Поскольку ϕ C([−π, π]) и ϕ(−π) = ϕ(π), то в силу части 1),

π

(ϕ(x) − Snϕ(x))2 dx < 4, n > N.

N = N(ε) N : γnϕ = Z

ε

−π

Так как

, то

2

и, применяя

тождество Бесселя,

Rf[−π,π]

получим: ψ R[−π,π]

ψ

γnψ = Zπ ψ(x) − Snψ(x) 2 dx ≤ Zπ ψ2(x) dx = Zπ (f(x) − ϕ(x))2 dx =

−π

−π

−π

n−1 xk+1

=

=0

Z

(f(x) − ϕk(x))2 dx =

kX xk

= n−1

xk+1 f(x)

−

f(xk)

−

f(xk+1) − f(xk)

(x

−

xk) 2

dx.

=0

Z

xk+1

−

xk

kX xk

Но для любого x из [xk, xk+1], k =

,

0, n − 1

(f(x)

−

f(xk))

−

(f(xk+1)

−

f(xk))

x − xk

xk+1 xk

≤

−

≤ ωk

· 1 + x

−

x !

≤ 2 ωk ,

f

x

xk

f

а значит

k+1 − k

ψ

n−1

f 2

n−1

f

ε

ε

γn ≤

X

≤

kX

4(ωk ) 4xk

4M ωk 4xk < 4M · 16M = 4.

k=0

=0

ε

ε

Итак, окончательно, γnf

≤ 2

+

! = ε, n > N, последнее означает,

4

4

что lim γf = 0.

n→0 n

177

3). Пусть, наконец, f Rf2[−π,π]. Для простоты будем считать, что f имеет на [−π, π] единственную особую точку π. Так как f2 Rf[−π,π], то

π	f2(x) dx < 4, η (L, π).
ε > 0 L (0, π) : 0 ≤ Z
		ε
η
Зафиксируем η0 (L, π) и положим

f1(x) =	f(x),		x [−π, η0)			, f2(x) =		0,	x [−π, η0) .
		0,	x		[η0, π]		f(x),		x		[η0, π]

Тогда f1 R[−π,π], а, значит, в силу части 2),

N = N(ε) N : γnf1 = Zπ f1(x) − Snf1 (x) 2 dx < 4ε, n > N.

−π

Функция f2 Rf2[−π,π] и в силу выбора точки η0 из тождества Бесселя для функции f2(x) получаем, что для всех n N

π	π	f22(x) dx =	π	f2(x) dx < 4.
γnf2 = Z	(f2(x) − Snf2 (x))2 dx ≤ Z		Z
					ε
−π	−π		η0

Так как f(x) = f1(x) + f2(x), x [−π, π], то как и при доказательстве части 2), для всех n N

Zπ Zπ

γnf ≤ 2 (f1(x) − Snf1 (x))2 dx + 2 (f2(x) − Snf2 (x))2 dx = 2 γnf1 + γnf2 .

−π −π

		ε				ε
Поэтому γnf	< 2 ·		+ 2 ·				= ε, для всех n > N, а значит
		4				4
				π				−	n
	n→∞ Z									(x))2 dx = 0.
	lim				(f(x)				Sf
			−π
Cледствие. Если f R[2−π,π], то для функции f на отрезке [−π, π]
имеет место равенство				Парсеваля (5.9).
					f

Пример 5.5. Найти разложение в тригонометрический ряд Фурье функции f(x) = x2 − x + 1 на отрезке [−1, 1], и выписать для нее соответствующее равенство Парсеваля.

Отрезку [−1, 1] соответствует ортогональная тригонометрическая система функций: 1, sin πx, cos πx, sin 2πx, cos 2πx, . . . , sin nπx, cos nπx, . . . .

Так как f

C([

−

1; 1]), то f

1

1]

, и функции f соответствует триго-

Rf[−1,f

∞

a0

f

f

нометрический ряд Фурье f(x)

+

ak cos kπx + bk sin kπx. Найдем

2

=1

коэффициенты Фурье функции f:

kX

1

1

8

a0f = Z (x2 − x + 1) dx = 2 Z

(x2 + 1) dx =

,

3

−1

0

178

akf = Z1

(x2 − x + 1) cos kπx dx = 2 Z1(x2 + 1) cos kπx dx =

−1

kπ

0

+ 2x

k2

π2

0

0

sin kπx 0

= k−2π2

,

= 2 (x2 + 1)

− k3π3

sin kπx

1

cos kπx

1

2

1

4 ( 1)k

1

1

bkf = Z

(x2 − x + 1) sin kπx dx = −2 Z

x sin kπx dx =

−1

−

kπ

0

k2π2

0

0

kπ

=

−

2

sin kπx

x cos kπx

1 +

1

1

=

2 (−1)k .

4

kX

4

k

Следовательно, f(x)

+

∞

(

−

1)k cos kπx +

2 (−1)

sin kπx.

3

=1 k2π2

kπ

Поскольку f C1([−1; 1]), то в силу признака Липшица полученный ряд сходится на множестве R, его сумма S(x) является 2—периодической функцией, и

				f(x),				x (−1, 1),
S(x) =
	f( 1 + 0) + f(1 0) 3 + 1
				−				= 2, x = ±1.
	−		2		=	2

Таким образом, функция f разлагается в тригонометрический ряд Фурье на интервале (−1, 1), то есть для всех x (−1, 1)

f(x) =

4

+

∞

4

( 1)k cos kπx +

2(−1)k

sin kπx.

(5.21)

kX

3

−

kπ

=1 k2π2

Полагая в равенстве (5.21) x = 0, получим, что

∞

(−1)k−1

= π2 .

kX

k2

12

=1

Учитывая, что сумма ряда Фурье функции f в точке x = 1 равна 2, находим, что

∞

1

π2

kX

k2 =

6 .

=1

Складывая две полученные суммы, легко получаем равенство

∞

1

π2

kX

(2k

−

2 = .

=1

1)

4

Так как, очевидно, f R[2−1,1], то в силу следствия из теоремы

Ляпунова для функции f

имеет место равенство Парсеваля (5.9):

f

1

f2(x) dx =

f

2

+

=1((ak )2

+ (bk )2).

Z

2

(a0 )

∞

f

f

−

1

kX

179