Zb

Так как интеграл (f(x) − Smf (x))2 dx в тождестве Бесселя (5.3) неот-

a

рицательный, то

=0 ck2	b	f2(x) dx, m N0.
	γk ≤ Z
m
kX	a

Из критерия сходимости положительных числовых рядов, получаем и

∞

X

сходимость ряда c2kγk, и неравенство Бесселя.

k=1

Cледствие 3. При выполнении условий теоремы 5.2 lim c2kγk = 0,

а в случае если система функций {ϕn(x)}n∞=0 является ортонормиро-
ванной на отрезке [a, b], lim ck = 0, то есть klim Zb f(x)ϕk(x) dx = 0.
	→∞ a
m	f
kX
Определение 5.4. Если Qm(x) =	akϕk(x), и f R[2a,b], то вели-
=0

Zb

чину интеграла (f(x)−Qm(x))2 dx называют средним квадратичным

a

уклонением (отклонением) многочлена Qm(x) от функции f(x) на отрезке [a, b].

Определение 5.5. Говорят, что ряд Фурье функции f Rf2[a,b] по ортогональной системе функций {ϕn(x)}∞n=0 сходится на отрезке [a, b] к функции S в смысле средних квадратичных, если

m	b	−	m
	Z
lim (S(x)			Sf (x))2 dx = 0.
	→∞ a

Из определения 5.5 и тождества Бесселя следует утверждение.

Лемма 5.5. Если f Rf2[a,b] и система функций {ϕn(x)}∞n=0 ортогональна на отрезке [a, b], то следующие утверждения равносильны:

1) ряд Фурье функции f по системе {ϕn(x)}∞n=0 сходится к f(x) на отрезке [a, b] в смысле средних квадратичных;

	∞	2	b	2
			a
	kX
2) имеет место равенство Парсеваля	=0 ckγk =		Z	f (x) dx.

5.3 Ряды Фурье по тригонометрической системе

Определение 5.6. Функцию вида
Tn(x) =	α0	+	n	αk cos	kπx	+ βk sin	kπx	! ,	(5.5)
	2		kX		T		T
			=1

148

где α0, αk, βk R, k = 1, n, T > 0 и αn2 + βn2 6= 0, называют тригонометрическим многочленом порядка n, а функциональный ряд

	α0	+	∞	αk cos	kπx	+ βk sin	kπx	!	(5.6)
	2		kX		T		T
			=1

называют тригонометрическим рядом.

Учитывая 2T -периодичность членов тригонометрического ряда (5.6), легко убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

Лемма 5.6. Если тригонометрический ряд 5.6 сходится в точке x0, то он сходится в точках x0+2T k, k Z. Сумма ряда (5.6) является 2T -периодической функцией.

По лемме 5.4 и замечанию к ней функции f R[1−T,T ] соответству-

ет тригонометрический ряд Фурье по ортогональнойfна отрезке [

−

T, T ]

системе функций (5.1):

f(x)

a0

+

∞

ak cos

kπx

+ bk sin

kπx

! ,

(5.7)

2

kX

T

T

=1

1

T

kπx

1

T

kπx

где ak =

Z

f(x) cos

dx, k N0,

bk =

Z

f(x) sin

dx, k

N.

T

T

T

T

−T

−T

В частности, если T = π, то соответствующий ряд имеет вид

a0

∞

f(x)

kX

(5.8)

2

+ (ak cos kx + bk sin kx),

=1

1

π

1

π

где ak =

Z

f(x) cos kx dx, k N0,

bk =

Z

f(x) sin kx dx, k N.

π

π

−π

−π

Этот ряд называют классическим рядом Фурье функции f. Полученные в разделе 5.2 утверждения в том случае, когда система

функций {ϕk(x)}∞k=0 является тригонометрической системой (5.1), приобретают следующий вид.

Теорема 5.3. Если тригонометрический ряд сходится равномерно на отрезке [−T, T ] и его сумма равна S(x), то S R[−T,T ] и данный ряд является тригонометрическим рядом Фурье функции S на отрезке

[−T, T ].

Cледствие. Тригонометрический ряд Фурье многочлена Tn(x) (5.5) совпадает с этим многочленом, то есть коэффициенты Фурье многочлена Tn(x) по системе функций (5.1) до индекса n включительно совпадают с его соответствующими коэффициентами, а коэффициенты Фурье для индекса k > n равны нулю.

149

Теорема 5.4 (минимизирующее свойство частичных сумм тригонометрического ряда Фурье). Среди всех тригонометрических многочленов степени не выше n наименьшее среднее квадратичное укло-

нение от функции f Rf2[−T,T ] на отрезке [−T, T ] имеет n-ая частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции f, и справедли-

во тождество Бесселя

T

T

(f(x) − Sn

(x)) dx =

T

T

f

(x) dx −

2

n

+ bk , n N.

Z

Z

2

− ak

1

f

2

1

2

a0

2

2

T

T

k=1

−

−

X

Cледствие 1. Если f Rf2[−T,T ] и функции f соответствует тригонометрический ряд Фурье

a0

+

∞

ak cos

kπx

+ bk sin

kπx

! ,

2

kX

T

T

∞

=1

2

2

X

ak + bk сходится и справедливо неравенство Бесселя

то ряд k=1

a02

∞

2

2

1

T

+

=1(ak

+ bk)

≤

Z

f2(x) dx.

2

T

kX

T

Если f Rf[−T,T ], то

−

T

T

Cледствие 2.

2

Z

klim

Z

f(x) cos

T

dx = 0,

klim

f(x) sin

T

dx = 0.

kπx

kπx

→∞−T

→∞−T

Более того, если [a, b] [−T, T ], то

klim

b

f(x) cos T

b

f(x) sin

T

dx = 0.

Z

dx = klim Z

kπx

kπx

→∞ a

→∞ a

Первая часть утверждения вытекает из следствия 1 теоремы 5.4. Докажем вторую часть, для чего рассмотрим функцию

ϕ(x) = f(x), x [a, b],

0, x

[ T, T ]

[a, b].

−

\

2

В силу свойств определенного и несобственного интегралов ϕ R[−T,T ].

Вычислим коэффициенты Фурье функции ϕ по

тригонометрической си-

f

стеме (5.1):

1

T

kπx

1

b

kπx

Z

ϕ(x) cos

dx =

Z

f(x) cos

dx,

k N0,

T

T

T

T

−T

a

и

T

b

1

kπx

1

kπx

Z

ϕ(x) sin

dx =

Z

f(x) sin

dx,

k N.

T

T

T

T

−T

a

150

	Так как ϕ R[2−T,T ], то утверждение доказано.
	f	Следствие 1 к теореме 5.4 позволяет привести пример
	Замечание.		nX
	тригонометрического ряда, например,		∞ sin nx		, который поточечно схо-
			=3	ln n

дится в каждой точке x R, но не является тригонометрическим рядом Фурье некоторой функции класса R2[−π,π]. Действительно, если бы это

				∞	2	2				Rf[−π,π]
				некоторой функции					f	2	, то в
был тригонометрический ряд Фурьеf
силу следствия 1 теоремы 5.4 ряд				nX	(an + bn) должен сходиться и
				=1
	a02	+ ∞	(an2	+ bn2 ) =		∞	1	,
						X	2
2		nX
		=1				n=3 ln n

но это не так.

Теорема 5.5. Для того чтобы тригонометрический ряд Фурье (5.7) функции f Rf2[−T,T ] сходился к функции f в смысле средних квадратичных, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство Парсеваля

a02			∞	2	2	1			T
		+	=1(ak		+ bk) =			Z		f2(x) dx.	(5.9)
	2					T
			kX					−	T

При изучении задачи сходимости тригонометрических рядов Фурье большую роль играет следующее утверждение, которое уточняет результат следствия 2 теоремы 5.4.

Лемма 5.7 (Римана). Если f Rf1[a,b], то

α +	b	α	+	b
	Z			Z
lim		f(x) cos αx dx =	lim	f(x) sin αx dx = 0.
→ ∞ a			→ ∞ a

Доказательство первой части утверждения проведем в два этапа.

1)Пусть функция f R[a,b]. Тогда

ε > 0 τ(ε) = {xk}nk=0 N[a, b] : Sf (τ(ε)) − sf (τ(ε)) < ε/2.

Но если mf = inf f(x), k = 0, n − 1, то

k xk≤x≤xk+1

		Z	f(x) cos αx dx =	=0	Z	f(x) cos αx dx =
		b		n−1	xk+1
		a		kX xk
n−1	xk+1		f		n−1	xk+1	f
= k=0	Z	(f(x) − mk) cos αx dx +			=0	Z	mk cos αx dx = σ1	+ σ2.
X xk					kX xk

151

Для любого x [xk, xk+1], k =						, 0 ≤ f(x) − mkf ≤ Mkf − mkf ,
					0, (n − 1)
поэтому				≤ (Mkf − mkf ) (xk+1 − xk), k = 0, (n − 1),
		Z	(f(x) − mkf ) cos αx dx
		xk+1
		xk
и

|σ1| ≤ Sf (τ(ε)) − sf (τ(ε)) < ε/2.

Так как α можно считать положительным, то

n−1

f

|

sin αx

|

xxk+1

|

2

n−1

f

|σ2| ≤

|mk |

k

≤

·

|mk |.

α

α

=0

k=0

kX

X

Поэтому существует α0 = α0(ε) > 0 такое, что для всех α > α0

2

n−1

f

ε

·

|mk

| <

.

α

2

|

|

=0

kX

Итак,

b

f(x) cos αx dx = |σ1 + σ2| < 2

+ 2 = ε, α > α0, то есть

Z

a

ε

ε

α

+

b

R[a,b]

Z

f(x) cos αx dx = 0,

f

.

lim

→ ∞ a

2) Пусть f R[1a,b] и b — единственная особая точка функции f. Из

определения

несобственного интеграла следует, что

f

b

|f(x)| < 2, t (b0, b).

ε > 0 b0 = b0(ε) (a, b) : Z

ε

t

Зафиксируем ε > 0 и t0 (b0(ε), b). Тогда

Zb f(x) cos αx dx =

Zt0 f(x) cos αx dx + Zb f(x) cos αx dx.

a

a

t0

В силу первой части доказательства α0 = α0(ε) > 0 : α > α0

t0

f(x) cos αx dx < 2.

Z

a

ε

Поэтому для всех α > α0

b

b

|f(x)| dx < ε.

Z

f(x) cos αx dx ≤ 2 + Z

a

ε

t0

α +

b

Z

f(x) cos αx dx = 0.

Последнее означает, что

lim

→ ∞ a

152