Так как f

, а α

дифференцируема в точке y

, то

C

(Π)

y

)

lim f(η, y

0

+

(

0

y→0

y) = f(α(y0), y0) и

lim

α(y0 +

y) − α(y0)

= α0(y0).

y→0

y

Поэтому существует предел lim τ(Δy) =

−

f(α(y

), y

)

α0(y

). Последнее

y→0

0

0

·

0

означает, что функция I1(y) дифференцируема в точке y0 и

I10 (y0) = −f(α(y0), y0) · α0(y0).

Аналогично доказывается, что функция I3(y) дифференцируема в y0 и

I30 (y0) = f(β(y0), y0) · β0(y0).

Следовательно, функция

и

I (y) дифференцируема в точке y0

βZ(y0)

I0 (y0) = fy0(x, y0) dx + f(β(y0), y0) · β0(y0) − f(α(y0), y0) · α0(y0).

α(y0)

Замечание. Теорема 4.11 и теорема о дифференцировании интеграла с переменным верхним (нижним) пределом являются частными случаями теоремы 4.14.

4.4Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Пусть функция f(x, y) определена на [a, b) × Y R2x,y, при каждом фиксированном y Y функция f(x, y) локально интегрируема на [a, b)

и интегрируема на [a, b) в несобственном смысле. Тогда на множестве Y определена функция

I(y) = Zb f(x, y) dx, y Y,	(4.4)
a

которая называется несобственным интегралом, зависящим от параметра (НИЗП).

Определение 4.2. Несобственный интеграл (4.4), зависящий от параметра, называется равномерно сходящимся на множестве Y, ес-

ли функция

Zt

ϕ(y, t) = f(x, y) dx

a

равномерно сходится к функции I(y) на множестве Y при t → b (в этом случае предполагается, что t (a, b)).

116

Ясно, что определение 4.2 равносильно следующему определению.

Определение 4.3. Несобственный интеграл (4.4) называется равномерно сходящимся на множестве Y, если для любого ε > 0 найдется число b0 = b0(ε) (a, b) такое, что для всех t (b0, b) и при любом y Y выполняется неравенство

Zb

t

f(x, y) dx < ε.

Теорема 4.15 (критерий Коши равномерной сходимости НИЗП).

Для того чтобы несобственный интеграл (4.4) равномерно сходился на множестве Y, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало b0 = b0(ε) (a, b) такое, что при всех t0, t00 из (b0, b) и при всех y Y было справедливо неравенство

Zt00

t0

f(x, y) dx < ε.

Справедливость критерия Коши равномерной сходимости НИЗП вытекает из определения 4.2 и критерия 4.1.

Теорема 4.16 (критерий Гейне равномерной сходимости НИЗП).

Для того чтобы несобственный интеграл (4.4) равномерно сходился на множестве Y, необходимо и достаточно, чтобы для любой последовательности {tn}∞n=1 такой, что tn (a, b), tn → b, функциональная последовательность

Ztn

ϕ(y, tn) = f(x, y) dx, n N,

a

равномерно сходилась к I(y) на множестве Y или, что одно и то же,

Zb

функциональная последовательность ψ(y, tn) = f(x, y) dx равномер-

tn

но сходилась к 0 на множестве Y .

Этот критерий следует из определения 4.2 и теоремы 4.3.

4.5Признаки равномерной сходимости НИЗП

Теорема 4.17 (признак Вейерштрасса равномерной сходимости НИЗП). Пусть функция f : [a, b) × Y R2x,y −→ R локально интегри-

руема на [a, b) при каждом y Y , и sup |f(x, y)| = g(x), x [a, b). Если

y Y

117

функция g(x) локально интегрируема на [a, b) и несобственный инте-

Zb

грал g(x) dx сходится, то несобственный интеграл (4.4) равномерно

a0

сходится по y на множестве Y .

Zb

По условию интеграл g(x) dx сходится. Значит, в силу критерия

a

Коши сходимости несобственного интеграла (теоремы 3.1), для любого числа ε > 0 найдется число b0 = b0(ε) (a0, b) такое, что для любых t0, t00 (b0, b) выполняется неравенство

Тогда

Zt00

t0

t00 g(x) dx

< ε.

Z

t0

f(x, y) dx

dx

t00 g(x) dx

≤

t00

|

f(x, y)

|

≤

< ε,

Z

Z

t0

t0

что, в силу критерия Коши 4.15, доказывает теорему.

Cледствие. Пусть функция f : [a, b) × Y R2x,y −→ R локально интегрируема на [a, b) при каждом y Y , и существуют функция g : [a, b) → R и число a0 [a, b) такие, что

|f(x, y)| ≤ g(x), y Y, x [a0, b).

Если функция g(x) локально интегрируема на [a0, b) и несобственный

Zb

интеграл g(x) dx сходится, то интеграл (4.4) равномерно сходится

a

на множестве Y.

Пример 4.4. Доказать, что несобственный интеграл

1	sin x
Z		dx	(4.5)
	xα
0

сходится равномерно на любом отрезке [0, β] [0, 2) и не сходится равномерно на промежутке [0, 2).

Несобственный интеграл (4.5) имеет единственную особую точку x = 0, сходится при α [0, 2) и расходится при α ≥ 2, поскольку подынте-

гральная функция положительна на промежутке (0, 1] и

sin x

1

при

xα

xα−1

x → 0 (см. пример 3.1). Так как на отрезке [0, β] [0, 2)

sin x

=

sin x

1

,

x

(0, 1],

α

α

≤ x

β 1

x

x

−

118

Z1 dx

и интеграл 0 xβ−1 сходится, то в силу следствия теоремы 4.17 интеграл

(4.5) равномерно сходится на [0, β] [0, 2).

Пусть теперь α [0, 2). Докажем, что существует последовательность {tn}∞n=1 такая, что tn (0, 1], tn → 0 и функциональная последовательность

tn sin x

[0,2)

ψ(tn, α) = Z

dx

6 0.

xα

0

Так как lim

sin x

= 1,, то

x

0

(0, 1) :

sin x

>

1

,

x

(0, x

), а поэтому

2

x 0

x

x

0

→

t

sin x

1

t

dx

Z

dx >

Z

, t (0, x0).

xα

2

xα−1

0

0

Пусть tn =

1

, αn = 2

1

, когда n > N0, где N0 =

"

1

# . Тогда n > N0

− n

x0

n

1/n

1/n

n x1/n

1/n

n

Z

sin x

dx >

1

Z

dx

=

1

=

>

1

.

2

1

n

xαn

x1

−

n

2

2 √n 2

0

0

0

1

1

1/n sin x

Итак, ε0 =

,

αn = 2−

, :

Z

dx > ε0, n > N0. Это означает, что

2

n

xαn

0 !

функциональная последовательность ψ n1 , α не сходится равномерно к

0 на [0, 2). Поэтому, в силу теоремы 4.16, интеграл (4.5) не сходится равномерно на [0, 2).

Теорема 4.18 (признак Абеля). Пусть функции ϕ(x, y) и g(x, y)

определены на [a, b) × Y R2x,y, при любом y Y имеют на [a, b) единственную особую точку x = b и удовлетворяют следующим условиям:

Zb

1) интеграл ϕ(x, y) dx равномерно сходится на множестве Y ;

a

2)функция g(x, y) ограничена на [a, b) × Y ;

3)функция g(x, y) монотонна по x на [a, b) при любом фиксированном y Y.

Zb

Тогда интеграл J(y) = ϕ(x, y)g(x, y) dx сходится равномерно на Y.

a

По условию 2) функция g(x, y) ограничена на множестве [a, b) ×Y, поэтому M > 0 : |g(x, y)| ≤ M, (x, y) [a, b)×Y. По условию 1) интеграл

119

Zb

ϕ(x, y) dx равномерно сходится на множестве Y , и по критерию Коши

a

4.15

ε > 0

b0

= b0(ε)

(a, b) :

t00

ϕ(x, y) dx

<

ε

,

t0

, t00

(b0

, b),

y

Y.

Z

2M

t0

Рассмотрим при любых t0, t00

(b0, b) и y Y

интеграл

Zt00

ϕ(x, y)g(x, y) dx.

t0

Применяя к нему при фиксированном y Y вторую теорему о среднем, условия которой выполнены, найдем такую точку c между t0 и t00, что

Zt00

ϕ(x, y)g(x, y) dx = g(t0, y) Zc ϕ(x, y) dx + g(t00, y) Zt00

ϕ(x, y) dx.

(4.6)

t0

t0

c

В силу выбора b0 и c, получим, что

c

ϕ(x, y) dx

<

ε

,

t00

ϕ(x, y) dx

<

ε

.

Z

2M

Z

2M

c

t0

Поэтому для любых t0, t00

(b0, b) и y Y

Zt00

t0

ϕ(x, y)g(x, y) dx

≤ |

g(t0, y)

c

ϕ(x, y) dx

+

|

g(t00, y)

t00

ϕ(x, y) dx

<

|

Z

|

Z

c

t0

<M 2Mε + M 2Mε = ε.

Всилу критерия Коши 4.15 последнее означает равномерную сходимость несобственного интеграла J(y) на множестве Y.

Теорема 4.19 (признак Дирихле). Пусть функции ϕ(x, y) и g(x, y)

определены на множестве [a, b) ×Y R2x,y, при любом y из множества Y имеют на [a, b) единственную особую точку x = b и удовлетворяют условиям:

1) M > 0 :		t	ϕ(x, y) dx		M,		y		Y,
	Z			≤
	a

Y

2) g(x, y) −→ 0 (x (a, b));

−→

x→b

3)при каждом фиксированном y Y x на [a, b).

t [a, b);

функция g(x, y) монотонна по

120

Zb

Тогда интеграл J(y) = ϕ(x, y)g(x, y) dx равномерно сходится на Y.

a

Y

Так как g(x, y) −→ 0, (x < b), то по определению 3.1 равномерного

−→

x→b

стремления функции к предельной,

ε >

0

b0

(

a, b

) : |

g

x, y

)|

<

ε

,

x

(

b0, b

,

y

Y.

(4.7)

4M

(

)

Как и при доказательстве

предыдущей теоремы, рассмотрим интеграл

Zt00

ϕ(x, y)g(x, y) dx

t0

при любых t0, t00 (b0, b) и y Y. Применяя к нему вторую теорему о среднем, получим равенство (4.6). Затем, учитывая (4.7) и тот факт, что

t00

ϕ(x, y) dx

≤

2M,

y

Y,

t0

, t00

[a, b),

Z

t0

получим неравенство

Zt00

t0

ϕ(x, y)g(x, y) dx	< ε		2M + ε 2M = ε.
	4M		4M

В силу критерия Коши 4.15 несобственный интеграл J(y) сходится равномерно на множестве Y.

Пример 4.5. Доказать равномерную сходимость на отрезке [0, 1] интеграла

Z	√1 + x2 dx.
+∞ y sin xy
0
Положим ϕ(x, y) = y sin xy,	g(x, y) =			√		1	, x [0, +∞), y [0, 1].
					1	+ x2

При любом y [0, 1] функции ϕ(x, y), g(x, y) имеют единственную особую точку x = +∞. Так как

	t	y sin xy dx	=		cos xy	t		2, t	[0, + ), y [0, 1],
				−		0		≤	∞
Z						|
0

функция g(x, y) не зависит от y, монотонна на промежутке [0, +∞) и

lim g(x, y) = 0, то по признаку Дирихле интеграл сходится равномерно

x→+∞

на [0, 1].

121