elemen_teorija

Глава 1

ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННОЕ ВВЕДЕНИЕ

§1.1. Общие понятия

Вдальнейшем изложении мы ограничиваемся простейшими понятиями из теории множеств; более полное изложение см., например, в [19]. Мы не будем использовать в этой части какой-либо специальной символики, оговаривая нужные условия словесно. В то же время некоторые теоретико-множественные (стандартные) конструкции потребуются, что в немалой степени связано с тем, что в данной книге рассматриваются именно конечно-аддитивные (к.-а.) меры. В этих вопросах определенную роль играют аксиомы современной теории множеств; в частности, это касается аксиомы выбора. В настоящей вводной и достаточно краткой главе мы ориентируемся в идейном отношении на аксиоматику Цермело-Френкеля с аксиомой выбора (система ZFC), хотя и не следуем строго аксиоматическому способу изложения, коль скоро настоящая книга имеет своей целью дать простое изложение «неклассической» теории меры и, на этой основе, наметить выход к построениям, используемым в теории А. Лебега. Такой вариант изложения потребует в некоторых местах оговорок, излишних в аксиоматике Цермело-Френкеля (например, нам потребуется выделить множественнозначные функции, т. е. функции, значениями которых являются множества), но все же позволит использовать традиционные обозначения, сложившиеся в соответствующих конкретных разделах математики, без появления какой-либо двусмысленности (в обозначениях).

Вдальнейшем рассматриваются объекты и свойства, которыми могут обладать те или иные объекты. Среди объектов особо выделяем множества; последние обладают важным свойством: они могут содержать какие-

10

то объекты в качестве своих элементов или точек. Если A — множество и x — элемент (точка) множества A, то, как обычно, используем обозначение x A. Если же объект y не является точкой множества A, то будем использовать обозначение y ̸A; последнее, стало быть, является отрицанием высказывания y A. В этой (и не только этой) связи уместно напомнить стандартные обозначения, касающиеся кванторов и связок. Мы используем кванторы и связки только для целей сокращения формулировок как заменители соответствующих словесных выражений.

Итак, следуем традиционным вариантам толкования; — для всякого (для всякой); — существует; ! — существует и единственно; ¬ — не; =

— влечет; — эквивалентно; — принадлежит (является элементом); & — и; — или. В дальнейшем def заменяет фразу «по определению», а

= обозначает равенство по определению. Двоеточие, используемое в формулах, заменяет фразу «такой, что» («такая, что», «такое, что»). В этих обозначениях для всяких объекта y и множества A

( )

(y ̸A) ¬(y A) .

Если α и β — объекты, то выражение α = β следует читать: α есть в точности тот же самый объект, что и β; соответственно α ≠ β означает отрицание равенства α = β, т. е.

( )

(α ≠ β) ¬(α = β) .

Иными словами, в случае α ≠ β мы говорим: объекты α и β не совпадают (являются различными).

Если A и B — два множества, то выражение A B означает, как обычно, что a B a A. В этом случае говорят также, что A есть подмножество (п/м) множества B.

Особо оговариваем понятие равенства двух множеств: если A и B — множества, то постулируем, что

(	)
(A = B) (A B) & (B A)	(1.1.1)

Иными словами, два множества совпадают тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. Отметим, что само понятие множества является для нас неопределимым. Требования, используемые в дальнейшем, касаются операций над множествами, законов преобразования последних. Отметим, что в принципе, опираясь на аксиоматическую

11

систему ZFC, можно было бы ограничиться случаем, когда в качестве объектов используются только множества. Такое ограничение вполне допустимо для работы в рамках самой теории множеств (см., например, [19, 26]). Однако в вопросах применения теории множеств в других разделах математики это может вызвать целый ряд затруднений, входить в детальное обсуждение которых у нас нет сейчас возможности. Отметим только, что это привело бы к серьезным затруднением с обозначениями (некоторые «привычные» обозначения получили бы двойное толкование, либо должны были быть должным образом усложнены). Кроме того, представление некоторых традиционно используемых математических объектов (таких, например, как вещественные числа) в виде множеств привело бы к неоправданным усложнениям при исследовании уже достаточно простых конкретных задач. По этой причине мы допускаем к рассмотрению объекты, не являющиеся множествами и называемые иногда индивидами. Так, например, в дальнейшем будет оговорено, что вещественные числа не рассматриваются в качестве множеств.

Мы полагаем, что есть такое (единственное в силу (1.1.1)) множество, для которого x ̸ при всяком выборе объекта x. Поскольку элементы всякого множества непременно являются объектами, можно сказать также следующее: есть (единственное) множество, не содержащее ни одного элемента (точки). Если же X — множество и при этом X ≠ , то непременно существует объект x, для которого x X.

Если A и B — два множества, то def A B — множество, для которого A A B, B A B и, кроме того, x A B

(x A) (x B).

Тем самым определено объединение множеств A и B; свойство единственности множества-объединения вытекает из (1.1.1). Ниже будет введено объединение «произвольного числа» множеств. Однако сначала мы введем целый ряд более простых понятий.

Если A и B — множества, то def A \ B — множество, для которого: 1) x A

(x / B) = (x A \ B).

2) справедливо следующее свойство: y A \ B

(y A) & (y / B).

Тем самым введено понятие разности множеств A и B : A \ B — мно-

12

жество всех таких z A, для каждого из которых z / B. В связи с единственностью множества-разности следует иметь в виду (1.1.1).

Втерминах разности определяется пересечение двух множеств: если A

иB — множества, то

A ∩ B = A \ (A \ B).

Легко видеть, что A∩B есть множество всех таких объектов x, для каждого из которых x A и x B.

Если A, B и C — три множества, то, как обычно, полагаем

( ) ( )

A ∩ B ∩ C = (A ∩ B) ∩ C & A B C = (A B) C ; (1.1.2)

разумеется, A ∩ B ∩ C = A ∩ (B ∩ C) и A B C = A (B C). Действуя по правилу (1.1.2), можно ввести пересечение и объединение всех множеств из любого конечного набора (множеств).

Полезно отметить также понятие симметрической разности двух множеств: если A и B — множества, то

A B = (A \ B) (B \ A);

легко видеть, что A B = (A B) \ (A ∩ B). Отметим некоторые свойства, связанные с симметрической разностью. Так, если U и V — множества, то

U V = V U.

Если A, B и C — множества, то справедливо равенство

(A ∩ B) (A ∩ C) = A ∩ (B C).

Введем в рассмотрение неупорядоченные и упорядоченные пары произвольных объектов, для чего сначала введем синглетоны (одноэлементные множества): если x — объект, то через {x} обозначаем такое единственное (см. (1.1.1)) множество, что x {x} и, вместе с тем,

x = y y {x};

разумеется, {x} ≠ . Если же p и q — объекты, то {p; q} = {p} {q} есть неупорядоченная пара объектов p и q. Разумеется, упомянутая неупорядоченная пара объектов является непустым множеством, содержащим каждый из объектов p, q и не содержащим никаких других объектов.

Понятие упорядоченной пары вводится с использованием неупорядоченных пар (напомним, что в наших построениях множества являются, в частности, объектами): если x и y — объекты, то упорядоченная пара объектов

x, y есть множество

{ }

(x, y) = {x}; {x, y} .

13

Отметим важный признак равенства упорядоченных пар (см. [19, c. 67], [27, c. 12]): если a, b, c и d — объекты, то

(a, b) = (c, d) (a = c) & (b = d) .		(1.1.3)
Данное (весьма «понятное»)(	свойство) ( используем в дальнейшем)	без до-

полнительных пояснений; мы имеем здесь аналог совпадения векторов на плоскости.

Множество, все элементы которого сами являются множествами, называем семейством; если такое множество, к тому же, непусто, то называем

его непустым семейством.
Если X — семейство, то			U есть def такое множество, что
		UX
(			(		)
		)				(1.1.4)
A	U A X	&		y	U V X : y V ;
	UX			UX

в силу (1.1.1) такое множество определено единственным образом. Мы ввели объединение всех множеств семейства X. Если X = , то упомянутое объединение — также пустое множество. Отметим, что в случае, когда

X = {A; B}, где A и B — множества, непременно

U = A B.

UX

Заметим, что в (1.1.4) вместо U можно, конечно, использовать произвольную букву (ПБ).

Как обычно, используем соглашение: если X — множество, то через {x X | . . .} обозначается множество всех точек x X, для каждой из которых истинно . . . ; данная конструкция образования множеств в терминах свойств согласуется на идейном уровне с системой ZFC. Мы используем сейчас эту конструкцию для определения пересечения всех множеств

непустого семейства.
Если Y — непустое семейство, то полагаем, что				}
∩		{
	Y =	z	Y | z U U Y	(1.1.5)
Y Y			Y Y

(разумеется, вместо Y можно использовать ПБ); легко видеть, что по смыслу (1.1.5) есть множество всех таких объектов, каждый из которых содержится во всяком множестве семейства Y.

Следующее определение является очень важным: речь идет о семействе всех п/м заданного множества. Если U — множество, то P(U) есть def

14

семейство всех п/м множества U; итак, P(U) есть (единственное в силу (1.1.1)) семейство, для которого:

1) для всякого множества V истинна импликация

2)	(V U)= (V P(U));
	W U W P(U).
Отметим кстати, что P( ) = { }. Далее, если H — множество, то
	′ H		H	) \ { }	.
	P (	) = P(

есть очевидно семейство всех непустых п/м множества H. Отметим следующее свойство двойного дополнения: если E — множество и H P(E), то

E \ (E \ H) = H.	(1.1.6)
Декартово произведение двух множеств. Если A и B — множества,
то полагаем, что (см. [19, c. 70])
A × B = {z P(P(A B)) | x A y B : z = (x, y)};	(1.1.7)

нетрудно показать, что (1.1.7) есть множество всех упорядоченных пар (a, b), a A, b B. Иными словами, (1.1.7) есть такое (единственное в силу (1.1.1)) множество, что

( ) ( )

(a, b) A×B a A b B & z A×B a A b B : z = (a, b) ;

в связи с проверкой данного свойства см. [19, c. 70] и [27, c. 21]. Отношения. Если X — множество, то условимся называть это мно-

жество X отношением, если для некоторых множеств P и Q имеет место вложение

X P × Q.

Итак, отношения — суть множества, «составленные» из упорядоченных пар. Разумеется, есть отношение, т. к. × . Рассмотрим простейший вариант непустого отношения: если u и v — объекты, то

{(u, v)} = {u} × {v}

(1.1.8)

есть непустое отношение. Это означает, что при всяком выборе упорядоченной пары z (каких-либо объектов) синглетон {z} есть непустое отношение. Разумеется, отношение (1.1.8) не представляет какого-либо самостоятельного интереса.

15

Если P — отношение, то единственным образом определяется множество Dom(P ), для которого:

1)существует множество Y такое, что P Dom(P ) × Y ;

2)если H — какое-либо множество, то из того, что P H × Y для некоторого множества Y, непременно следует вложение Dom(P ) H.

Обоснование данного свойства см., например, в [27, c. 168–170]. Называем, как обычно, множество Dom(P ) областью определения отношения

P.

Аналогичным образом для всякого отношения P определено единственное множество Im(P ), для которого:

1)существует множество X такое, что P X × Im(P );

2)если H — какое-либо множество, то из того, что P X × H для некоторого множества X, непременно следует вложение Im(P ) H.

Из двух вышеупомянутых определений вытекает свойство: если W — отношение, то

W Dom(W ) × Im(W )	(1.1.9)
и, кроме того, для всяких множеств X и Y истинна импликация
(W X × Y )= ((Dom(W ) X) & (Im(W ) Y )).	(1.1.10)

Возвращаясь к (1.1.8), мы получаем, что для всякой упорядоченной пары z непременно существует единственный объект x, для которого Dom({z}) = {x}. С учетом этого очевидного факта оказывается корректным следующее определение: если z — упорядоченная пара, то полагаем, что pr1(z) есть def объект, для которого

Dom({z}) = {pr1(z)}.

(1.1.11)

Тем самым введено (см. (1.1.11)) понятие первой компоненты произвольной упорядоченной пары.

Из (1.1.8) следует также, что при всяком выборе упорядоченной пары z непременно найдется единственный объект y, для которого Im({z}) = {y}. С учетом этого свойства полагаем для произвольной упорядоченной пары z, что pr2(z) есть def объект, для которого

Im({z}) = {pr2(z)}.

(1.1.12)

В (1.1.12) используется фактически вторая компонента упорядоченной пары z. С учетом (1.1.11) и (1.1.12) имеем, конечно, для всякой упорядоченной пары z следующие два положения:

16

()

1)справедливо равенство z = pr1(z), pr2(z) ;

2)для любых двух объектов x и y истинна импликация

( ) (( ) ( )) z = (x, y) = pr1(z) = x & pr2(z) = y .

В терминах компонент (1.1.11) и (1.1.12) легко реализуются представления области определения и области значений произвольного отношения (см. [27, c. 20]). Итак, если P — отношение, то

1) множество Dom(P ) есть «совокупность» всех первых компонент упо-

рядоченных пар из P, т. е.	) (	)
(
pr1(z) Dom(P ) z P	&	x Dom(P ) z P : x = pr1(z) ;
		(1.1.13)

2) множество Im(P ) есть «совокупность» всех вторых компонент упорядоченных пар из P, т. е.

( ) ( ) pr2(z) Im(P ) z P & y Im(P ) z P : y = pr2(z) .

Напомним определение отношения, обратного к заданному: если P — отношение, то

−1	{z Im(P ) × Dom(P ) | (pr2(z), pr1		(z)) P }
P =				(1.1.14)
есть отношение и при этом, как легко проверить,
	−1	−1
	(Dom(P ) = Im(P ))	& (Im(P ) = Dom(P )).

Наконец, отметим понятие суперпозиции двух произвольных отношений:

если A и B — отношения, то отношение

{

B ◦ A = z Dom(A) × Im(B) | x Im(A) ∩ Dom(B) :

((pr1(z), x) A) & ((x, pr2(z)) B)}		(1.1.15)
(суперпозиция A и B) таково, что	))	) &
( (
(Dom(B ◦ A) = Dom A ∩ Dom(A) × Dom(B)

( ( ( )))

& Im(B ◦ A) = Im B ∩ Im(A) × Im(B) .

17

В связи с обоснованием двух последних равенств см. [27, c. 170–172]. Отметим, что (1.1.14) и (1.1.15) потребуются нам в частном случае, а именно: в случае, когда соответствующие отношения являются функциями.

Отношение P называется функцией (см. [19]), если x P y P

(pr1(x) = pr1(y))= (pr2(x) = pr2(y)).

(1.1.16)

Разумеется, функция, как и всякое отношение, обладает областью определения и областью значений. Из (1.1.16) легко следует свойство: если f — функция и x Dom(f), то !y Im(f) : (x, y) f. Поэтому полагаем для всякой функции f и точки x Dom(f), что f(x) Im(f) def таково, что

(	)	(1.1.17)
x, f(x)	f.

Разумеется, в содержательном отношении функция f может рассматриваться как правило

f : Dom(f) −→ Im(f).

Упомянутая запись с использованием стрелок и некоторые ее аналоги будут активно использоваться в дальнейшем. Отметим, что к функциям применимо (1.1.15). Более того, если u и v — функции, то v ◦ u — функция, причем

u(x) Im(u) ∩ Dom(v) x Dom(v ◦ u).

Наконец, значение суперпозиции двух функций допускает традиционное представление: если u и v — функции, а x Dom(v ◦ u), то

(	)	(1.1.18)
(v ◦ u)(x) = v u(x) Im(v ◦ u).

Определения отношений и функций, приведенные выше, представляются на первый взгляд излишне общими. На деле, однако, они доставляют определенные удобства, в связи с чем мы рассмотрим ниже их традиционную детализацию.

Заметим прежде всего, что при всяком выборе множеств A, B и C P(A × B) имеем свойство: C есть отношение. Если X, Y, Z — множества, G P(X × Y ) и H P(Y × Z), то конструкция суперпозиции несколько

упрощается:

{ (( ) ) (( ) )}

H ◦ G = w X × Z | y Y : pr1(w), y G & y, pr2(w) H .

Если X, Y — множества и G P(X × Y ), то		)
−1	(
G=	{z Y × X | pr2(z), pr1(z) G}.

18

В частности, два последних представления можно использовать для функций в их более частном и более традиционном представлении. Именно, пусть для всяких множеств X и Y

Y X = {f P(X × Y ) | x X !yX Y : (x, y) f}.		(1.1.19)
Ясно, что каждый элемент множества Y	(1.1.19) является отношением.

Стало быть, при f Y X имеем два множества Dom(f) и Im(f). Далее, из (1.1.19) имеем, что x X z f : x = pr1(z). Это означает, что (см. (1.1.13)) X Dom(f). Но f X × Y, а потому (см. (1.1.13))

Dom(f)			X	f		Y .
( X			) & (Im(		)	)
Стало быть, для f Y	имеем, что f есть отношение со свойством
		Dom(f) = X,				(1.1.20)

причем в силу (1.1.19) получаем, что u f v f

( ) ( ) pr1(u) = pr1(v) = pr2(u) = pr2(v) .

Следовательно, (1.1.19) есть множество функций, т. е. оно составлено из функций: если f Y X , то f — функция. Более того, мы знаем уже, что

всякая функция f Y X обладает свойствами
(Dom(f) = X) & (Im(f) Y ).	(1.1.21)

Напротив, пусть f есть функция в смысле определения (1.1.16), для которой выполнено (1.1.21). Тогда для x X определена точка f(x) Im(f) со свойством (1.1.17). В силу (1.1.21) имеем, в частности, включение f(x) Y. Если же y˜ Y таково, что (x, y˜) f, то (см. (1.1.16), (1.1.17))

f(x) = y˜.

Поскольку выбор y˜ был произвольным, то установлено, что

x′ X !y′ Y : (x′, y′) f.

(1.1.22)

Поскольку f — отношение, то из (1.1.9) и (1.1.21) следует включение f P(X ×Y ) и, в силу (1.1.22), f Y X . Итак, установлено, что каждая функция, для которой выполняются условия (1.1.21), непременно является элементом множества Y X .

19