Менеджмент.Финансовая математика

ожидание повышения процентных ставок), вторая — падению доходности после некоторого ее роста.

Существуют несколько конкурирующих или, скорее, допол­ няющих теорий, объясняющих закономерности “поведения” кривых доходности. Остановимся на двух из них: теории лик­ видности (liquidity preference theory) и теории ожиданий (expecta­ tions theory). Согласно первой изменения доходности связыва­ ются с увеличением риска ликвидности инструмента в относи­ тельно короткие сроки. Вторая из упомянутых теорий утвер­ ждает, что форма кривой может рассматриваться как обобщен­ ная характеристика ожиданий инвесторов, вернее, их поведе­ ния в текущий момент в связи с ожиданиями изменений про­ центных ставок в будущем. Однако интерпретация формы кри­ вой в этом плане неоднозначна, да и не может быть иной, по­ скольку приходится принимать во внимание по крайней мере действие двух факторов: риск и ожидание изменений ставок. Например, положительная кривая может интерпретироваться как указание на то, что инвесторы ожидают рост ставок в буду­ щем. Иногда эта же форма кривой считается симптомом отно­ сительной стабильности денежно-кредитного рынка.

Кривые доходности получили широкое распространение как инструмент анализа, помогающий при решении ряда инвести­ ционных проблем, в частности, при сравнении доходности не­ скольких финансовых инструментов, корректировке портфеля активов и т.д.1

П Р И М Е Р 4 .2 1 . Рассмотрим на условном примере один из про­ стых способов применения кривой доходности применительно к расчету процентной ставки. Допустим, инвестор должен инвести­ ровать некоторую сумму денег на 4 года. Причем в силу ряда при­ чин у него есть только два варианта для этого: разместить эту сумму на депозитах сразу на весь срок или сначала на 3 года, а затем на 1 год. Пусть уровни ставок следуют нормальной кривой доходности: по трехлетним депозитам — 10 % , по четырехлетним

— 10 ,5 % сложных годовых. Размер ставки для депозита на пос­ ледний год в момент принятия решения, разумеется, неизвестен. Какой вариант размещения средств должен выбрать инвестор? Очевидно, что для того чтобы остановиться на втором варианте, он должен ожидать результат не хуже, чем при первом варианте. Задача, следовательно, сводится к определению того значения ставки для 4 -го года, при котором оба варианта будут равноцен­ ными в финансовом отношении.

1В гл. 7 приводится пример выбора поведения инвестора в зависимости от ожиданий размера процентной ставки.

91

Обозначим через /3 и /4 уровни процентных ставок для депози­ тов на 3 и 4 года, а через /0 — неизвестную ставку для годового депозита. В силу финансовой эквивалентности результатов поме­ щения средств множители наращения для обоих вариантов долж­ ны быть равными друг другу. Отсюда

d + »4)« = d + /3)з(1 + д .

П о данным примера находим ставку

/0 =	( 1 + / 4)4	1,105-*
	. ' з - 1 =	з - 1 = 0 ,12 0 14 , или 12 ,0 14 % .
	\ ■“■*"^з/	1»»

Таким образом, для того чтобы инвестор остановился на вто­ ром варианте, он должен ожидать, что через 3 года ставка по од­ ногодичным депозитам будет не менее 12 ,0 14 % , т .е . уровень ставок повысится. Соответственно, если он ожидает, что ставка не достигнет этого уровня, следует выбрать первый вариант.

Математическое приложение к главе

1. Приведем доказательство формулы (4.38). По определению

откуда	S" = S - ( S ~	P)g,
S" = (1 -	g)s + Pg = Р(i - g)(i +	ni) + pg = p[i + л(1 - g)i\.
2. Докажем формулу (4.41):
G, = (S,-	£м )* = />[(1 + /)'" (1 + 0М1* = P(\ + iГ ' x / x ? ,
	= Pis'! (i + oM.

Суммируются n —1 членов геометрической прогрессии: 2 (1 + ,r , = (| + 0 - i

Окончательно имеем

G = P \(\ + /)»-! ]g.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

1.Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. М.: Дело, 1995. Гл. 3.

2.Четыркин Е.М., Васильева Н.Е. Финансово-экономические расчеты. М.: Фи­ нансы и статистика, 1990. Гл. 2.

3.Шарп Х.Ф., Александер ГДж., Бейли Дж.В. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1997. Гл. 5, 13.

4.Cartledge P. Financial arithmetic. A practitioners guide. Euromoney Books, 1993.

Глава 5

ПОСТОЯННЫЕ ФИНАНСОВЫЕ РЕНТЫ

§5.1. Виды потоков платежей и их основные параметры

Современные финансово-банковские операции часто пред­ полагают не отдельные или разовые платежи, а некоторую их последовательность во времени, например, погашение задол­ женности в рассрочку, периодическое поступление доходов от инвестиций, выплаты пенсии и т. д. Такого рода последователь­ ность, или ряд платежей, называют потоком платежей. (В за­ падной финансовой литературе в аналогичном смысле приме­ няется термин cash flows stream — буквально, потоки налично­ сти, хотя речь идет о потоке денег в любом виде.) Отдельный элемент такого ряда платежей назовем членом потока (cash flow)1. Введение понятия поток платежей в финансовый коли­ чественный анализ, что произошло сравнительно недавно, за­ метно расширило рамки и возможности последнего.

Классификация потоков. В практике встречаются разнообраз­ ные потоки платежей. Причем один и тот же вид потока может быть использован в анализе различных финансово-кредитных операций. Поэтому в этой и следующей главах основное вни­ мание уделяется формальным соотношениям, а не конкретным экономическим показателям, связанным с этими операциями.

Потоки платежей могут быть регулярными (размеры платежей постоянные или следуют установленному правилу, предусмат­ ривающему равные интервалы между платежами) и нерегулярны­ ми. Члены потоков могут быть как положительными (поступле­ ния), так и отрицательными величинами (выплаты).

Поток платежей, все члены которого — положительные ве­ личины, а временные интервалы между платежами одинаковы,

1В переводной литературе обычно не различают термины: поток платежей и член потока.

94

называют финансовой рентой, или просто рентой (rent). Напри­ мер, рентой является последовательность получения процентов по облигации, платежи по потребительскому кредиту, выплаты в рассрочку страховых премий и т.д. Иногда подобного рода по­ ток платежей называют аннуитетом (annuity), что, строго гово­ ря, применимо только к ежегодным выплатам.

Использование в финансово-банковской операции условий, предполагающих выплаты в виде финансовой ренты, сущест­ венно упрощает количественный их анализ, дает возможность применять стандартные формулы и таблицы значений многих, необходимых для финансовых расчетов коэффициентов.

Рента описывается следующими параметрами: член ренты (rent) — размер отдельного платежа, период ренты (rent period, payment period) — временной интервал между двумя последова­ тельными платежами, срок ренты (term) — время от начала пер­ вого периода ренты до конца последнего, процентная ставка. Размер ставки не всегда прямо оговаривается в условиях фи­ нансовой операции. Однако, как будет показано далее, этот па­ раметр крайне необходим для ее анализа. При характеристике некоторых видов рент необходимо указать дополнительные ус­ ловия и параметры. Например, число платежей в году, способ и частота начислений процентов, параметры, характеризующие закономерность изменения размеров члена ренты во времени.

В практике применяют разные по своим условиям ренты. В основу их классификации может быть положен ряд признаков. Рассмотрим некоторые из таких классификаций.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые (выплата раз в году) и р-срочные (р — количество выплат в году). В анализе производственных инве­ стиций иногда применяют ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рент называют дискретными. В фи­ нансовой практике встречаются и с такими последовательно­ стями платежей, которые производятся так часто, что их прак­ тически можно рассматривать как непрерывные.

По числу раз начислений процентов на протяжении года различают: ренты с ежегодным начислением, с начислением т раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления процентов необязательно совпадают с моментами выплат чле­ нов ренты. Однако, как будет показано, расчеты заметно упро­ щаются, если два указанных момента совпадают.

По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми размерами члена ренты) и переменные. Члены пе­

95

ременных рент изменяют свои размеры во времени, следуя ка­ кому-либо закону, например арифметической или геометриче­ ской прогрессии, или несистематично (задаются таблицей). По­ стоянные ренты — наиболее рапространенный вид ренты.

По вероятности выплат ренты делятся на верные (annuity cer­ tain) и условные (contingent annuity). Верные ренты подлежат без­ условной уплате, например, при погашении кредита. Число членов такой ренты заранее известно. В свою очередь выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некото­ рого случайного события, число ее членов заранее неизвестно. К такого рода рентам относятся страховые аннуитеты — пос­ ледовательные платежи в имущественном и личном страхова­ нии. Типичным примером страхового аннуитета является по­ жизненная выплата пенсии.

По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, или ограниченные ренты (их срок заранее оговорен), и

бесконечные, или вечные ренты (perpetuity). С вечной рентой встречаются на практике в ряде долгосрочных операций, когда предполагается, что период функционирования анализируемой системы или срок операции весьма продолжителен и не огова­ ривается конкретными датами. В качестве вечной ренты логич­ но рассматривать и выплаты процентов по бессрочным облига­ ционным займам.

По соотношению начала срока ренты и какого-либо момен­ та времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или даты его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные (deffered annu­ ity). Пример отсроченной ренты: погашение долга в рассрочку после льготного периода.

Очень важным является различие по моменту выплат плате­ жей в пределах периода ренты. Если платежи осуществляются в конце этих периодов, то соответствующие ренты называют

обыкновенными, или постнумерандо (ordinary annuity), если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо (annuity due). Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.

Приведем пример. Контракт предусматривает периодическое погашение задолженности путем выплаты в конце каждого по­ лугодия одинаковых погасительных платежей на протяжении фиксированного числа лет, Таким образом, предусматривается постоянная, полугодовая, верная, ограниченная рента постну­ мерандо.

96

Обобщающие параметры потоков платежей. В подавляющем числе практических случаев анализ потока платежей предпола­ гает расчет одной из двух обобщающих характеристик: нара­ щенной суммы или современной стоимости потока. Наращен­ ная сумма (amount of cashflows) — сумма всех членов потока пла­ тежей с начисленными на них к концу срока процентами. Под

современной стоимостью потока платежей {present value of cash flows) понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока ренты или некоторый упреждающий момент вре­ мени. (В старой русской финансовой литературе аналогичный по содержанию показатель назывался настоящей ценой плате­ жей.) Конкретный смысл этих характеристик определяется со­ держанием его членов или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной за­ долженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, на­ копленный денежный резерв и т. д. В свою очередь современ­ ная стоимость характеризует приведенные к началу осуществле­ ния проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализи­ рованный доход или чистую приведенную прибыль от реализа­ ции проекта и т. п.

Обобщающие поток платежей характеристики, особенно его современная стоимость, широко применяются в различных фи­ нансовых расчетах. Так, без них, например, невозможно разра­ ботать план последовательного погашения задолженности, из­ мерить финансовую эффективность проекта, осуществить срав­ нение или безубыточное изменение условий контрактов, ре­ шать многие другие практические задачи. В связи со сказанным основное внимание в данной главе уделено методам расчета на­ ращенных сумм и современных стоимостей постоянных финан­ совых рент. Однако, до этого необходимо обсудить более общие подходы, применяемые при определении упомянутых парамет­ ров в анализе любых видов потоков платежей.

Прямой метод расчета наращенной суммы и современной сто­ имости потока платежей. Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей /?,, выплачиваемых спустя вре­ мя я, после некоторого начального момента времени. Общий срок выплат я лет. Необходимо определить наращенную на ко­ нец срока потока платежей сумму. Если проценты начисляют­ ся раз в году по сложной ставке /, то, обозначив искомую вели­ чину через S, получим по определению

97

■ г - х М ' + ' Г -

(5.1)

Современную стоимость такого потока также находим пря­ мым счетом как сумму дисконтированных платежей:

A - ^ R , V\	(5.2)
/

где А — современная стоимость потока платежей, Vя' — дис­ контный множитель по ставке /.

Как уже отмечено выше, современная стоимость потока пла­ тежей представляет собой обобщающую оценку, приуроченную к некоторому предшествующему моменту времени (у немедлен­ ной ренты — к началу срока). Наращенная сумма также явля­ ется обобщением всех членов потока в виде одного числа, од­ нако эта оценка приурочена к концу срока. Нетрудно обнару­ жить, что между величинами А и S существует функциональная зависимость. В самом деле, дисконтируем сумму S с помощью дисконтного множителя v", получим

Svn - 2 Л,(1 + / ) Я" 4 XV я	-	2 V * - Л.
t		t
Наращивая сумму А по той же ставке, получим
А( 1 + /)я =	S.	(5.3)

П Р И М Е Р 5 . 1 . График предусматривает следующий порядок вы­ дачи ссуды во времени: 1 июля 2000 г. — 5 млн р уб ., 1 января 2001 г. — 15 млн р уб ., 1 января 2003 г. — 18 млн руб. Необходи­ мо определить сумму задолженности на начало 2004 г. при усло­ вии, что проценты начисляются по ставке 20 % . Схематично усло­ вия задачи показаны на рис. 5 .1 .

5 15 18 S = ?

1 июля 1 января	— -------- ------- ►
	1 января 1 января t
2000 г. 2001 г.	2003 г. 2004 г.
	Рис. 5.1

98

Находим

S = 5 х 1 ,2 3'5 + 15 х 1 ,2 3 + 18 х 1 ,2 = 56,985 млн руб.

П о этим же данным определим современную стоимость пото­ ка на момент выплаты первой суммы. При прямом счете получим

А = 5 + 15 х 1 ,2~°'5 + 18 х 1 ,2~2 5 = 3 0 ,10 4 млн р уб .,

а по формуле (5.3)

А = 56,985 х 1 ,2 - м = 3 0 ,10 4 млн руб.

В частном, но распространенном случае, когда размеры чле­ нов потока произвольны, но выплаты постнумерандо произво­ дятся через равные интервалы времени, а их количество боль­ ше 5—7, есть смысл для расчета величины А применить про­ грамму НПЗ (NPV) пакета Excel.

Порядок действий при использовании программы НПЗ

1.Последовательно вызвать: fx, "финансовые функции”, НПЗ.

2.В строке Норма показать ставку начисляемых процентов за период.

3.В строках Значения последовательно показать данные, ха­ рактеризующие поток платежей, не более 29 членов потока.

После выполнения действий 1—3 в итоговой строке окна ав­ томатически показывается расчетная величина современной стоимости потока платежей. После нажатия ОК эта величина показывается в выделенной ячейке таблицы Excel.

Примечание. Пользователь может изменять размеры процент­ ной ставки и/или членов потока платежей, не выходя из окошка.

П Р И М Е Р 5 .2 . Определим современную стоимость потока, члены которого 40, 50, 45, 7 0 выплачиваются постнумерандо по полуго­ диям. Процентная ставка 12 % за полугодие.

Вызвав программу Н П З , введем данные:

Норм а: 12 % Значение 1: 40 Значение 2: 50 Значение 3: 45 Значение 4 : 70 Ответ: 152,09

99

§5.2. Наращенная сумма постоянной ренты постнумерандо

Методом прямого счета, как это было показано в § 5.1, можно найти наращенную сумму и современную стоимость любого потока платежей, в том числе и постоянной ренты. Однако удобнее, особенно в аналитических целях, воспользо­ ваться более компактными формулами. Поскольку обобщаю­ щие характеристики постоянных рент играют существенную роль в анализе финансовых операций, получим эти формулы для всех видов постоянных рент, хотя для понимания суще­ ства дела, вероятно, достаточно разобраться с расчетом соот­ ветствующих характеристик лишь для некоторых из них. В этом и следующем параграфах анализируются ренты постну­ мерандо.

Годовая рента. Начнем с наиболее простого случая — годо­ вой ренты постнумерандо. Пусть в течение п лет в банк в кон­ це каждого года вносится по R рублей. На взносы начисляются сложные проценты по ставке / % годовых. Таким образом, име­ ется рента, член которой равен R , а срок — п. Все члены рен­ ты, кроме последнего, приносят проценты — на первый член проценты начисляются п — 1 год, на второй п —2 и т.д. На по­ следний взнос проценты не начисляются (напомним, что рента постнумерандо). Наращенная к концу срока каждого взноса сумма составит:

Я(1 + О""1, Л(1 + 0я- 2, ..., Л(1 + /), R.

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Нетрудно убедить­ ся в том, что он представляет собой геометрическую профес­ сию со знаменателем (1 + /) и первым членом R. Число членов профессии равно п. Искомая величина очевидно равна сумме членов этой прогрессии.

Откуда

« »

Обозначим множитель, на который умножается Л, через нижний индекс n;i указывает на продолжительность ренты и ве­ личину процентной ставки (часто в литературе можно встретить

100